高中数学人教版新课标A选修2-3第一章 计数原理综合与测试免费课后练习题

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一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.设n∈N*,且n<20,则(20-n)(21-n)…(100-n)等于(　　)

A.  B.

C.  D.

2.六名同学站一排照相,要求A,B,C三人按从左到右的顺序站,可以不相邻,也可以相邻,则不同的排法共有(　　)

A.720种   B.360种   C.120种    D.90种

3.有4个不同书写形式的“迎”字和3个不同书写形式的“新”字,如果一个“迎”字和一个“新”字能配成一套,则不同的配套方法共有(　　)

A.7种  B.12种 C.64种 D.81种

4.(2x-3)的展开式中剔除常数项后的各项系数和为(　　)

A.-55  B.-61 C.-63  D.-73

5.将编号为1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同的放球方法有(　　)

A.16种 B.12种 C.9种  D.6种

6.(x+y)(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)

A.-40  B.40  C.30  D.-30

7.“中国梦”的英文翻译为“Chinese Dream”,其中Chinese又可以简写为CN,从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有(　　)

A.360种 B.480种 C.600种 D.720种

8.第二十届西北医疗器械展览于2019年6月21日至23日在兰州举行,现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作,每个展馆至少分配1名志愿者的分配方案种数为(　　)

A.540 B.300 C.180 D.150

9.已知(ax+b)6的展开式中x4的系数与x5的系数分别为135与-18,则展开式中所有项的系数之和为(　　)

A.-1 B.1 C.32 D.64

10.已知直线l:ax+by+1=0(a2+b2≠0)与☉O:x2+y2=100有公共点,并且公共点的横、纵坐标均为整数,则这样的直线共有　　　条(　　) 

A.60 B.66 C.72 D.78

11.已知数列{an}各项均为整数,共有7项,且满足=1,k=1,2,…,6,其中a1=1,a7=a(a为常数且a>0).若满足上述条件的不同数列共有15个,则a的值为(　　)

A.1 B.3 C.5 D.7

12.若a=2(x+|x|)dx,则在的展开式中,x的幂指数不是整数的项共有(　　)

A.13项 B.14项 C.15项 D.16项

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.(2x-1)6的展开式中x3的系数是　　　　.(用数字作答) 

14.若(a∈R,a<0)的展开式中,常数项为5 670,则展开式中各项系数的和为　　　　. 

15.古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋,今看我校学子论天、论地、指点江山.现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队,根据他们的文化、思维水平,分别担任一辩、二辩、三辩、四辩,其中四辩必须由甲或乙担任,而丙与丁不能担任一辩,则不同的组队方式有　　　　种. 

16.将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B在C的同侧,则共有　　　　种不同的排法. 

三、解答题(共70分)

17.(10分)(1)计算:+(n∈N*);

(2)解不等式:>6.

18.(12分)已知5名同学站成一排,要求甲站在中间,乙不站在两端,记所有满足条件的不同排法种数为m.

(1)求m的值;

(2)求的展开式中的常数项.

19.(12分)已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),且a2=7.

(1)求n的值;

(2)求-2a1+22a2-23a3+…+(-2)nan的值.

20.(12分)将7名师范大学应届毕业生分配到3所中学任教.

(1)若将4个人分到甲学校,2个人分到乙学校,1个人分到丙学校,有多少种不同的分配方案?

(2)若一所学校去4个人,另一所学校去2个人,剩下的一所学校去1个人,有多少种不同的分配方案?

21.(12分)已知的展开式中,前三项系数成等差数列.

(1)求含x2项的系数;

(2)将的展开式中的所有项重新排成一列,求有理项互不相邻的概率.

22.(12分)在杨辉三角中,从第3行开始,除1以外,其他每一个数值都等于它肩上的两个数之和,这个三角形数阵的部分数据如图所示.

(1)求证:+=;

(2)求证:第m斜列中(从右上到左下)的前k个数之和一定等于第(m+1)斜列中的第k个数,即++++…+=(m≥2,m,k∈N*).

(3)在杨辉三角中是否存在某一行,该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

一、选择题

1.C　由题意可得,共有(100-n)-(20-n)+1=81项,所以(20-n)(21-n)…(100-n)=,故选C.

2.C　根据题意,六名同学并排站成一排,有种情况,其中A,B,C三人顺序固定,按从左到右的顺序站,则不同的排法数为==6×5×4=120,故选C.

3.B　要完成配套,分两步:第一步,取“迎”字,有4种不同取法;第二步,取“新”字,有3种不同取法,故有4×3=12种不同的配套方法.故选B.

4.D　令x=1,得(2x-3)=-26=-64,而常数项为-3×+2×=9,所以展开式中剔除常数项后的各项系数和为-64-9=-73,故选D.

5.B　由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,将四个小球分组,有如下情况:

当1号球与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1号球与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当1号球与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2号球与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当2号球与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;

当3号球与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法.

综上,不同的放球方法有12种.故选B.

6.D　(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=·(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)rx5-ryr(r=0,1,2,3,4,5).

令5-r=1,得r=4,则x×2×xy4=10x2y4;

令5-r=2,得r=3,则y×22×(-1)3×x2y3=-40x2y4.

所以(x+y)(2x-y)5的展开式中x2y4的系数为10-40=-30.故选D.

7.C　从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,不同排列共有=600(种),故选C.

8.D　将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种,

分成1,1,3时,有·种分配方法;

分成2,2,1时,有·种分配方法,

由分类加法计数原理得,共有·+·=150种不同的分法,故选D.

9.D　(ax+b)6=(b+ax)6的展开式的通项为Tr+1=b6-r(ax)r=b6-rarxr,所以解得或所以|a+b|=2,令x=1,可得(ax+b)6的展开式中所有项的系数之和为(a+b)6=|a+b|6=26=64.故选D.

10.C　由题意,在☉O:x2+y2=100上横坐标、纵坐标都是整数的点共有12个点,

它们分别是(0,10),(0,-10),(10,0),(-10,0),(6,8),(6,-8),(-6,8),(-6,-8),

(8,6),(8,-6),(-8,6),(-8,-6).

(1)从这12个点中任选2个点可作=66条直线,其中过原点的直线有6条,不符合题意,舍去;

(2)过这12个点中的每个点作圆的切线,可知12条切线也符合题意.

综上可知符合题意的直线共有66-6+12=72条,故选C.

11.B　∵|ak+1-ak|=1,∴ak+1-ak=1或ak+1-ak=-1,设其中有x个1,则有(6-x)个-1,

∴a7-a1=(a7-a6)+(a6-a5)+…+(a2-a1),

∴a-1=x+(6-x)·(-1),∴x=,

∵这样的数列个数为=15,解得x=2或x=4,∴a=-1(舍去)或a=3,故选B.

12.C　因为a=2(x+|x|)dx=2=2x2=18,所以的展开式的通项为Tr+1=·()18-r=(-1)r(0≤r≤18,r∈N),当r=0,6,12,18时,展开式中x的幂指数为整数,所以的展开式中x的幂指数不是整数的项有19-4=15项.

二、填空题

13.答案　-180

解析　由题意得,(2x-1)6的展开式中含x3的项为x(2x)2(-1)4+(2x)4(-1)2=-180x3,所以展开式中x3的系数为-180.

14.答案　256

解析　其展开式的通项为Tr+1=x8-r·=arx8-2r(r=0,1,2,…,8),

令8-2r=0,则r=4,所以常数项为T5=a4=5 670,所以a4=81,因为a<0,所以a=-3,所以=,

令x=1,得展开式中各项系数的和为=(-2)8=256.

15.答案　24

解析　从五人中选四人有=5种选择方法,分类讨论:

若所选四人为甲、乙、丙、丁,则有×=4种组队方式;

若所选四人为甲、乙、丙、戊,则有××=8种组队方式;

若所选四人为甲、乙、丁、戊,则有××=8种组队方式;

若所选四人为甲、丙、丁、戊,则有=2种组队方式;

若所选四人为乙、丙、丁、戊,则有=2种组队方式.

由分类加法计数原理得,不同的组队方式有4+8+8+2+2=24(种).

16.答案　480

解析　如图所示的六个位置:

若C放在第1个位置,则满足条件的排法有种情况;

若C放在第2个位置,则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A,B,再在余下的3个位置排D,E,F,共种排法;

若C放在第3个位置,则可在1,2两个位置排A,B,其余位置排D,E,F,有种排法,或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A,B,再在其余3个位置排D,E,F,有种排法,共有+种排法;

若C在第4个位置,则有+种排法;

若C在第5个位置,则有种排法;

若C在第6个位置,则有种排法.

综上,共有2(+++)=480种排法.

三、解答题

17.解析　(1)由题意得

解得≤n≤,

又由可得n=10.

所以+=+=+=466.

(2)原不等式可变形为>6×,

即>,

化简得x2-21x+104>0,

解得x<8或x>13,

又因为解得2≤x≤9,且x∈N*,所以2≤x<8,x∈N*,

所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.

18.解析　(1)所有满足条件的不同排法种数m=·=12.

(2)由(1)知,=,的展开式的通项为Tr+1=·()9-r=·2r·(r=0,1,2,…,9),令=0,解得r=3,∴展开式中的常数项为·23=672.

19.解析　(1)的展开式的通项为Tr+1=(r=0,1,2,…,n).因为T3=,所以a2==7,即==28,解得n=8(n=-7舍去).

(2)由(1)可知,n=8.令x=0,得a0=1;令x=-2,得a0-2a1+22a2+…+28a8=28=256,

所以-2a1+22a2-23a3+…+(-2)nan=256-1=255.

20.解析　(1)利用分步乘法计数原理:

第一步,将4个人分到甲学校,有种分法;

第二步,将2个人分到乙学校,有种分法;

第三步,将剩下的1个人分到丙学校,有种分法,

所以总的分配方案有··=105(种).

(2)同样用分步乘法计数原理:

第一步,选出4人有种方法;

第二步,选出2人有种方法;

第三步,选出1人有种方法;

第四步,将以上分出的三组人进行全排列有种方法.

所以总的分配方案有···=630(种).

21.解析　(1)易知该式展开式中的前三项系数分别为1、、.

∵前三项系数成等差数列,

∴2×=1+,整理得n2-9n+8=0,

∴n=8或n=1(舍去),

∴展开式的通项为Tr+1=()8-r·=,r=0,1,…,8.

令4-r=2,得r=3,∴含x2项的系数为=7.

(2)当4-r为整数时,r=0,3,6.

∵n=8,∴展开式中共有9项,将各项重新排成一列共有种排法.

其中有理项有3项,有理项互不相邻有种排法,

∴有理项互不相邻的概率为=.

22.解析　(1)证明:+

=+

=+

=

==,

所以原式得证.

(2)证明:由(1)得+=,

∵原式左边=++++…+=+++…+=……=+==右边,∴原命题成立.

(3)存在.设在第n行的第r-1,r,r+1个数满足3∶8∶14,

即∶∶=3∶8∶14,解得∴这三个数依次为45,120,210.