人教版新课标A必修5第三章 不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性一课一练

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3.3.2　简单的线性规划问题基础过关练题组一　线性规划问题中线性目标函数的最值问题1.(2020浙江绍兴高二期末)若实数x,y满足不等式组则x+y的最小值是(　　)A. B.3 C.4 D.62.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为(　　)A.6 B.7 C.8 D.23题组二　线性规划问题中非线性目标函数的最值问题3.已知点P(x,y)的坐标满足条件则x2+y2的最大值为(　　)A. B.8 C.16 D.104.若实数x,y满足则的取值范围是(　　)A. B.C.[2,4] D.(2,4]5.如果点P在不等式组表示的平面区域内,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为　(　　)A.-1 B.-1 C.2-1 D.-1题组三　已知目标函数的最值求参数6.已知点P(x,y)的坐标满足约束条件若z=x+3y+m的最小值为6,则m=(　　)A.1 B.2 C.3 D.47.已知x,y满足且z=2x+4y的最小值为-6,则常数k=(　　)A.2 B.9 C.3 D.08.若直线y=2x上存在点(x,y)满足则实数m的最大值为(　　)A.-1 B.1 C. D.29.已知实数x,y满足不等式组目标函数z=y-ax(a∈R).若目标函数取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是　　　　.题组四　线性规划的实际应用10.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的,且对每个项目的投资不能低于5万元,对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)A.36万元 B.31.2万元C.30.4万元 D.24万元11.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇,现有4辆甲型货车、8辆乙型货车可供使用,每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台,若每辆货车至多运送一次,则该厂所花的最少运输费用为(　　)A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 800元12.某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100 g含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米食每100 g含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?     能力提升练一、选择题1.(2020山东烟台高二期中,★★☆)设O为坐标原点,A(1,1),若点B(x,y)满足则·取得最小值时,点B的个数是(　　)A.1 B.2 C.3 D.无数个2.(2019河北辛集中学高二期末,★★☆)已知a,b是正数,且满足2<a+2b<4,那么a2+b2的取值范围是(　　)A. B.C.(1,16) D.3.(2020河南洛阳高二期末,★★☆)若变量x,y满足约束条件则z=的取值范围是(　　)A.[0,1] B. C.[1,2] D.4.(2019四川成都高一期末,★★★)某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告费标准分别是500元/分钟和200元/分钟,假设甲、乙两个电视台为该公司做的广告能给公司带来的收益分别为0.4万元/分钟和0.2万元/分钟,通过该公司在甲、乙两个电视台的广告时间合理分配后,能使公司获得的最大收益是(　　)A.72万元 B.80万元 C.84万元 D.90万元5.(★★★)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是(　　)A.12万元 B.20万元C.25万元 D.27万元  二、填空题6.(★★☆)已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值范围是　　　　(用区间表示).7.(★★☆)若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值是　　　　.8.(★★★)某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制等数据列表如下: 体积质量可获利润甲每箱5 m3每箱100 kg每箱2 000元乙每箱4 m3每箱250 kg每箱1 000元托运限制不超过24 m3不超过650 kg 那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物各应被托运的箱数为　　　　.三、解答题9.(★★☆)已知f(x)=(3a-1)x+b-a,x∈[0,1],若f(x)≤1恒成立,求a+b的最大值.    10.(2020黑龙江东南联合体高一期末,★★☆)某工厂要制造A种电子装置45台,B种电子装置55台,需用薄钢板给每台装置配一个外壳,已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积2 m2,可做A、B的外壳分别为3个和5个,乙种薄钢板每张面积3 m2,可做A、B的外壳分别为6个和6个,求两种薄钢板各用多少张,才能使总面积最小.       答案全解全析基础过关练1.A　画出不等式组表示的平面区域,如图.由图知,x+y的最小值在直线x+2y-4=0与直线x-y=0的交点N处取得,所以x+y的最小值是.故选A.2.B　画出不等式组表示的可行域,如图.z=2x+3y可化为y=-+,易知当直线y=-+过点B时,目标函数取得最小值.由得所以点B的坐标为(2,1),所以zmin=4+3=7,故选B.3.D　画出不等式组对应的可行域,如图所示.x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方.易得A(1,1),|OA|=,B(2,2),|OB|=2,C(1,3),|OC|=.所以(x2+y2)max=|OC|2=()2=10.4.A　作出不等式组对应的可行域,如图所示,设z==,则z的几何意义是可行域内的点与点M连线的斜率k.由解得所以点A的坐标为(1,2).由得点B的坐标为(0,2).由图易得kmin=kMA=,kmax=kMB=4,所以的取值范围是,故选A.5.A　不等式组表示的区域为图中阴影部分(包括边界).点P到Q的最小距离为(-1,0)到(0,-2)的距离减去半径1,所以|PQ|min=-1=-1.6.D　根据题意,作出可行域(如图),由图可知,当直线z=x+3y+m过点时,z取得最小值6,从而m=6--=4.故选D.7.D　作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由图可知,当直线z=2x+4y经过直线x=3与x+y+k=0的交点(3,-3-k)时,z最小,所以-6=2×3+4×(-3-k),解得k=0.8.B　作出可行域,如图.若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则3-m≥2m,即m≤1,故m的最大值为1.9.答案　(1,+∞)解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,当直线y=ax+z的斜率大于1时,目标函数在点(1,3)处取得最大值.故a>1.10.B　设投资甲项目x万元,投资乙项目y万元,可获得利润z万元,则z=0.4x+0.6y.作出可行域如图所示.由图知,目标函数z=0.4x+0.6y在A点取得最大值.∴zmax=0.4×24+0.6×36=31.2(万元).11.B　设使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,所花运输费用为z元,则z=400x+300y,可行域为如图所示的阴影部分(为整点).由图可得,当直线z=400x+300y过点(4,2)时,z取得最小值,故zmin=2 200,故选B.12.解析　设每盒盒饭需要面食x百克,米食y百克,所需费用为z元,则z=0.5x+0.4y,且x,y满足作出可行域如图所示.由z=0.5x+0.4y,得y=-x+z,由图可知,直线y=-x+z过点A时,纵截距z最小,即z最小.由解得所以点A的坐标为.故每盒盒饭中含面食百克,米食百克时,既科学又费用最少.能力提升练一、选择题1.B　如图,阴影部分为点B(x,y)所在的区域.·=x+y,令z=x+y,则y=-x+z.由图可知,当直线y=-x+z过C点或D点时,z取最小值,故点B的个数为2.2.B　原不等式等价于作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示.a2+b2表示区域内的动点P(a,b)到原点距离的平方,由图可知当P在D点时,a2+b2最大,此时a2+b2=42=16,原点到直线a+2b-2=0的距离最小为=,此时a2+b2=,∴<a2+b2<16,选B.3.D　画出可行域,如图所示.z=的几何意义为可行域内的点(x,y)与点(0,-1)连线的斜率.由图易得,z=在(2,0)处取得最小值,且最小值为=;在(1,1)处取得最大值,且最大值为=2.故z=的取值范围是.故选D.4.B　设该公司在甲、乙两个电视台的广告时间分别为x,y分钟,总收益为z元,则由题意可得目标函数为z=4 000x+2 000y.在平面直角坐标系内画出可行域,如图所示.作直线l:4 000x+2 000y=0,即2x+y=0,平行移动直线l,当直线l过M点时,目标函数取得最大值,联立解得x=100,y=200,所以M点坐标为(100,200),因此目标函数的最大值zmax=4 000×100+2 000×200=800 000元=80万元.故选B.5.D　设生产甲产品x吨,乙产品y吨,获得的利润为z万元,则z=5x+3y.由题意得可行域如图中阴影部分所示.由图可知,当z=5x+3y过A点时,z取得最大值.由解得即A(3,4),所以zmax=5×3+3×4=27.故该企业可获得的最大利润是27万元.二、填空题6.答案　(3,8)解析　作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.作直线2x-3y=0,平移直线2x-3y=0,当直线经过x-y=2与x+y=4的交点A(3,1)时,目标函数有最小值,zmin=2×3-3×1=3;当直线经过x+y=-1与x-y=3的交点B(1,-2)时,目标函数有最大值,zmax=2×1+3×2=8.所以z∈(3,8).7.答案　1解析　不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.设t=x+2y,则y=-x+,z=3t.根据函数z=3t的性质知,要求z=3t的最小值,只需求t的最小值即可.由图知,当x=0,y=0时,tmin=0,此时z=3x+2y取得最小值,且最小值为1.8.答案　4,1解析　设甲、乙两种货物各被托运的箱数为x,y,所获利润为z元,则即目标函数z=2 000x+1 000y(x,y∈N),画出可行域如图中阴影部分(整点).由得A(4,1).易知当直线2x+y=0经平移过点A时,z取得最大值9 000.故甲、乙两种货物各被托运的箱数为4,1.三、解答题9.解析　因为f(x)≤1在[0,1]上恒成立,所以即将一组a,b的值对应为平面aOb上的点(a,b),则其表示的平面区域如图所示.由解得即A.求a+b的最大值可转化为在约束条件下,求目标函数z=a+b的最大值的线性规划问题.由图可知,当直线z=a+b经过点A时,z最大,此时z=a+b取得的最大值为.10.解析　设甲种薄钢板用x张,乙种薄钢板用y张,则可做A种产品外壳(3x+6y)个,B种产品外壳(5x+6y)个.由题意可得薄钢板的总面积是z=2x+3y,可行域的阴影部分如图所示(整点),其中l1:3x+6y=45,l2:5x+6y=55,l1与l2的交点为A(5,5).由图可得,当目标函数z=2x+3y过点A(5,5)时,z取得最小值,为2×5+3×5=25.即甲、乙两种薄钢板各用5张时,总面积最小.