人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试一课一练

这是一份人教版新课标A必修5第三章 不等式综合与测试一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(★★☆)已知点P(x,y)在经过A(3,0),B(1,1)两点的直线上,则2x+4y的最小值为( )
A.22B.42C.16D.不存在
2.(★★☆)设a>b>0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是( )
A.1B.2C.3D.4
3.(2020安徽芜湖中学高一期末,★★☆)设M是△ABC内一点,且AB·AC=23,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为12,x,y,则1x+4y的最小值为( )
A.8B.9C.16D.18
4.(★★★)已知a2+2a+2x≤4x2-x+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则( )
A.a的最小值为-3B.a的最小值为-4
C.a的最大值为2D.a的最大值为4
5.(★★★)△ABC中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若acs B-bcs A=35c,则tan(A-B)的最大值为( )
A.43B.1C.34D.3
二、填空题
6.(2020北京石景山高二期中,★★☆)已知正数x,y满足x+2y=2,则x+8yxy的最小值为 .
7.(★★☆)若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则2x+y的最小值是 .
三、解答题
8.(★★☆)已知a,b为正数,求证:1a+4b≥2(2+1)22a+b.
9.(2019山东菏泽高二期末,★★☆)
(1)已知x>1,求2x+1x-1的最小值;
(2)已知x>y>0,求x2+4y(x-y)的最小值.
10.(★★★)某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.预计2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).
(1)设2020年该产品的利润为y万元,将y表示为m的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用为多少万元时获得的利润最大?最大利润为多少?
答案全解全析
一、选择题
1.B 由A(3,0)、B(1,1)可求得直线AB的方程为x+2y=3.
∴2x+4y=2x+22y≥22x·22y
=22x+2y=223
=42当且仅当x=2y=32时取“=”.
故选B.
2.D a2+1ab+1a(a-b)=a2-ab+ab+1ab+1a(a-b)=a(a-b)+ab+1ab+1a(a-b)≥2a(a-b)·1a(a-b)+2ab·1ab=4,当且仅当a(a-b)=1a(a-b)且ab=1ab,即a=2b=2时,等号成立.故选D.
3.D 由条件可得|AB|·|AC|=4,设△ABC的面积为S,则S=12|AB|·|AC|sin∠BAC=1,
∵S△MBC=12,∴x+y=12,又x,y>0,
∴1x+4y=2(x+y)·1x+4y=25+yx+4xy≥25+2yx·4xy=18,当且仅当x=16,y=13时,等号成立.故选D.
4.A 因为x∈(1,+∞),所以a2+2a+2≤4xx2-x+x=4x-1+x.4x-1+x-1≥2·4x-1·(x-1)=4,当且仅当4x-1=x-1,即x=3时取等号,此时可得4x-1+xmin=5.由a2+2a+2≤4x-1+x对于任意的x∈(1,+∞)恒成立可得,a2+2a+2≤4x-1+xmin=5,化简可得(a+3)·(a-1)≤0,解得-3≤a≤1.故选A.
5.C 因为acs B-bcs A=35c,所以sin A·cs B-sin Bcs A=35sin C=35sin(A+B),即sin Acs B=4sin Bcs A,
亦即tan A=4tan B,
因此tan A>0,tan B>0,
从而tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=31tanB+4tanB≤321tanB·4tanB=34,当且仅当1tanB=4tan B,即tan B=12时取等号,故选C.
二、填空题
6.答案 9
解析 因为x、y为正数,且x+2y=2,所以x+8yxy=1y+8x·x2+y=x2y+8yx+5≥2x2y·8yx+5=9,当且仅当x=4y=43时,等号成立,所以x+8yxy的最小值为9.
7.答案 12
解析 解法一:∵x>0,y>0,
∴xy=12·(2x)·y≤12·2x+y22,
∴2x+y+6=xy≤18(2x+y)2,
∴(2x+y)2-8(2x+y)-48≥0.
令2x+y=t,则t>0,且t2-8t-48≥0,
∴(t-12)(t+4)≥0,
∴t≥12,即2x+y≥12,当且仅当2x=y,即x=3,y=6时取等号.
∴2x+y的最小值是12.
解法二:由x>0,y>0,2x+y+6=xy,得
xy≥22xy+6(当且仅当2x=y时取等号),即(xy)2-22xy-6≥0,
∴(xy-32)(xy+2)≥0,
又∵xy>0,
∴xy≥32,即xy≥18,
∴xy的最小值是18,
∵2x+y=xy-6,
∴2x+y的最小值是12.
三、解答题
8.证明 因为a>0,b>0,
所以(2a+b)1a+4b=6+ba+8ab
≥6+2ba·8ab=6+42=2(2+1)2(当且仅当b=22a时取等号),
即得1a+4b≥2(2+1)22a+b.
9.解析 (1)因为x>1,所以x-1>0,
所以2x+1x-1=2(x-1)+1x-1+2≥22(x-1)·1x-1+2=2+22,
当且仅当2(x-1)=1x-1(x>1),即x=1+22时,等号成立,
故2x+1x-1的最小值为2+22.
(2)因为x>y>0,所以x-y>0,所以0所以x2+ 4y(x-y)≥x2+ 16x2≥2x2·16x2=8,
当且仅当y=x-y,x2=16x2,x>y>0,即x=2,y=1时,等号成立,
故x2+4y(x-y)的最小值为8.
10.解析 (1)由题意,知当m=0时,x=1,
∴1=3-k,即k=2.∴x=3-2m+1.
又每件产品的销售价格为1.5×8+16xx元,
∴y=x1.5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83-2m+1-m=28-16m+1-m(m≥0).
(2)y=28-16m+1-m=29-m+1+16m+1,
∵m≥0,∴m+1+16m+1≥216=8,
当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,
∴y≤29-8=21,即当m=3时,ymax=21.
∴该厂家2020年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大,最大利润为21万元.