高中数学人教版新课标A选修2-11.4全称量词与存在量词免费课时练习

1.4.3　含有一个量词的命题的否定

基础过关练

题组一　全称命题与特称命题的否定及其真假判断

1.(2019云南玉溪高二期中)命题“∀x∈R,sin x+1≥0”的否定是(　　)

A.∃x0∈R,sin x0+1<0

B.∀x∈R,sin x+1<0

C.∃x0∈R,sin x0+1≥0

D.∀x∈R,sin x+1≤0

2.命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是(　　)

A.全等三角形的面积不一定都相等

B.不全等三角形的面积不一定都相等

C.存在两个不全等三角形的面积相等

D.存在两个全等三角形的面积不相等

3.命题p:∀x∈(-∞,0],2x≤1,则(　　)

A.p是假命题,¬p:∃x0∈(-∞,0],>1

B.p是假命题,¬p:∀x∈(-∞,0],2x≥1

C.p是真命题,¬p:∃x0∈(-∞,0],>1

D.p是真命题,¬p:∀x∈(-∞,0],2x≥1

4.已知命题p:∀x∈R,2x2+2x+<0,命题q:∃x0∈R,sin x0-cos x0=,则下列判断中正确的是(　　)

A.p是真命题 

B.q是假命题

C.¬p是假命题 

D.¬q是假命题

5.若命题p:∀x∈R,<0,则¬p:　　　　　　　　. 

6.(2018安徽蚌埠期末)命题“∃x0∈R,>1”的否定为　　　　　　　　. 

题组二　含量词命题的综合应用

7.已知命题p:∀x∈R,sin x+cos x≠2,命题q:∃x0∈R,+x0+1<0,则(　　)

A.命题p∧(¬q)是真命题

B.命题p∧q是真命题

C.命题p∨q是假命题

D.命题p∨(¬q)是假命题

8.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.(¬p)∨q    B.p∧q

C.(¬p)∨(¬q) D.(¬p)∧(¬q)

9.已知命题p:∃x∈R,ln x+x-2=0,命题q:∀x∈R,2x≥x2,则下列命题中为真命题的是(　　)

A.p∧q    B.(¬p)∧q

C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)

题组三　由含量词命题的真假求参数的范围

10.已知p:∀x∈R,ax2+2x+3>0,如果¬p是真命题,那么a的取值范围是(　　)

A.a<     B.0<a≤

C.a≤     D.a≥

11.已知命题p:∀x∈[1,2],都有ex-a≥0,若¬p是假命题,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-∞,e2) 

B.(-∞,e]

C.[e,+∞) 

D.[e2,+∞)

12.已知命题p:∃x0>0,x0+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是(　　)

A.(-∞,1) 

B.(-∞,1]

C.(1,+∞) 

D.[1,+∞)

13.已知函数f(x)的定义域为(a,b),若“∃x0∈(a,b),f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,则f(a+b)=　　　　. 

14.已知命题p:∀x∈R,∃m∈R使4x-2x+1+m=0,若命题¬p为假命题,则实数m的取值范围是　　　　. 

15.已知p:∀x∈R,mx2+1>0,q:∃x∈R,x2+mx+1≤0.

(1)写出命题p的否定¬p与命题q的否定¬q;

(2)若(¬p)∨(¬q)为真命题,求实数m的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(2019江苏扬州高二检测,★★☆)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　)

A.任意一个有理数,它的平方是有理数

B.任意一个无理数,它的平方不是有理数

C.存在一个有理数,它的平方是有理数

D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

2.(2018河北阜城中学月考,★★☆)设命题p:函数f(x)=ln为奇函数;命题q:∃x0∈(0,2),>,则下列命题为假命题的是(　　)

A.p∨q    B.p∧(¬q)

C.(¬p)∧q D.(¬p)∨(¬q)

3.(★★☆)已知命题p:∀x∈R,2x<3x,命题q:∃x0∈R,=1-,则下列命题为真命题的是(　　)

A.p∧q    B.(¬p)∧q

C.p∧(¬q) D.(¬p)∧(¬q)

4.(2018河北衡水周测,★★☆)已知命题p:∀b∈[0,+∞),f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上为增函数,命题q:∃x0∈Z,使log2x0>0,则下列结论为真命题的是(　　)

A.(¬p)∨(¬q) B.(¬p)∧(¬q)

C.p∧(¬q)    D.p∨(¬q)

5.(2019重庆铜梁一中高三月考,★★☆)下列说法错误的是(　　)

A.若p:∃x0∈R,-x0+1=0,则¬p:∀x∈R,x2-x+1≠0

B.若p:∃x0∈R,cos x0=1,q:∀x∈R,x2-x+1>0,则“p∧(¬q)”为假命题

C.命题“若a=0,则ab=0”的逆否命题是“若ab≠0,则a≠0”

D.“sin θ=”是“θ=30°”的充分不必要条件

6.(2019四川成都七中检测,★★☆)已知p:实数x满足x2+2x-3>0;q:实数x满足>1.若(¬q)∧p为真命题,则实数x的取值范围是(　　)

A.(-∞,-3)∪(1,2]∪[3,+∞)

B.(-∞,-3)∪[3,+∞)

C.(1,2]∪[3,+∞)

D.(-∞,-3)∪(1,2]

二、填空题

7.(2020天津高二期末,★★☆)已知“∃x∈,x2-mx+1≤0”是假命题,则实数m的取值范围为　　　　. 

8.(★★★)已知命题p:∃x0∈R,使-mx0+1=0,命题q:∀x∈R,有x2-2x+m>0.若命题q∨(p∧q)为真,¬p为真,则实数m的取值范围是　　　　. 

三、解答题

9.(★★★)已知命题p:∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0,命题q:∃x0∈R,a-2ax0-3>0,若p假q真,求实数a的取值范围.

10.(★★★)已知f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若同时满足:

①命题“对任意x∈R,f(x)>0和g(x)>0中至少有一个成立”为真命题;

②命题“对任意x∈(-∞,-4),都有f(x)g(x)≥0”的否定为真命题.

求实数m的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.A　 ∀x∈R,sin x+1≥0的否定为∃x0∈R,sin x0+1<0,故选A.

2.D　 全称命题的否定为特称命题,因为命题“全等三角形的面积一定都相等”为全称命题,所以其否定为“存在两个全等三角形的面积不相等”.

3.C　由指数函数y=ax(a>1)的性质知,当x∈(-∞,0]时,2x≤1,所以p是真命题,¬p:∃x0∈(-∞,0],>1.

4.D　因为2x2+2x+=2≥0,所以p是假命题,¬p是真命题.

又sin x0-cos x0=sin≤,所以q是真命题,¬q为假命题,故选D.

5.答案　∃x0∈R,使>0或x0-2=0

6.答案　∀x∈R,ex≤1

7.A　∀x∈R,sin x+cos x=sin≠2,命题p是真命题.∀x∈R,x2+x+1=+>0,命题q是假命题,∴命题p∧(¬q)是真命题,故选A.

8.C　命题p为真命题,q为假命题,故¬p为假命题,¬q为真命题,(¬p)∨(¬q)为真命题.故选C.

9.C　设f(x)=ln x+x-2,则f(1)=-1<0, f(2)=ln 2>0, f(x)在定义域上单调递增,

f(1)f(2)<0,因此p真;

由23=8<32=9知q假,故p∧q假,(¬p)∧q假,p∧(¬q)真,(¬p)∧(¬q)假.故选C.

10.C　因为命题¬p是真命题,所以命题p是假命题,而当命题p是真命题时,不等式ax2+2x+3>0对任意x∈R恒成立.

则解得a>.

因此当命题p是假命题时,a≤.故选C.

11.B　命题p:∀x∈[1,2],都有ex-a≥0.若¬p是假命题,则p是真命题,∴a≤e,∴实数a的取值范围为(-∞,e].故选B.

12.D　∵p为假命题,

∴¬p为真命题,即∀x>0,x+a-1≠0,

即x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1.

∴a的取值范围是[1,+∞).

故选D.

13.答案　0

解析　若“∃x0∈(a,b), f(x0)+f(-x0)≠0”是假命题,

则“∀x∈(a,b), f(x)+f(-x)=0”是真命题,

即f(-x)=-f(x),则函数f(x)是奇函数,

则a+b=0,f(a+b)=0.

14.答案　(-∞,1]

解析　命题¬p为假命题,则命题p为真命题,

也就是关于x的方程4x-2x+1+m=0,对任意x∈R恒成立,则m=-(4x-2x+1).

令f(x)=-(4x-2x+1),则f(x)=-(2x-1)2+1≤1,

因此实数m的取值范围是(-∞,1].

15.解析　(1)¬p:∃x∈R,mx2+1≤0;¬q:∀x∈R,x2+mx+1>0.

(2)由题意知,¬p为真或¬q为真.当¬p为真时,m<0;当¬q为真时,Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.因此当(¬p)∨(¬q)为真命题时,m<0或-2<m<2,即m<2.

能力提升练

一、选择题

1.B　量词“存在”否定后为“任意”,结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”.故选B.

2.C　因为f(x)=ln=ln=ln ex=x,所以f(x)是奇函数,所以命题p为真,则命题¬p为假;因为x∈(0,2)时,恒有2x>x2,所以命题q假.因此(¬p)∧q是假命题,故选C.

3.B　由20=30,知p为假命题,¬p为真命题;令h(x)=x3+x2-1,则h(0)=-1<0,h(1)=1>0,∴方程x3+x2-1=0在(0,1)内有解,∴q为真命题,∴(¬p)∧q为真命题,故选B.

4.D　f(x)=x2+bx+c=+c-,

其图象的对称轴为直线x=-,

令-≤0,解得b≥0,

所以命题p为真命题,¬p为假命题,

令x0=4∈Z,则log2x0=2>0,

所以命题q是真命题,¬q为假命题,p∨(¬q)为真命题.故选D.

5.D　p:∃x0∈R,-x0+1=0的否定为¬p:∀x∈R,x2-x+1≠0,A中说法正确;p:∃x0∈R,cos x0=1为真命题,q:∀x∈R,x2-x+1>0为真命题,所以“p∧(¬q)”为假命题,B中说法正确;“若a=0,则ab=0”的逆否命题是“若ab≠0,则a≠0”,C中说法正确;“sin θ=”是“θ=30°”的必要不充分条件,D中说法错误.综上,选D.

6.A　因为(¬q)∧p为真,所以q假p真.当q为真命题时,>1,即2<x<3;当p为真命题时,由x2+2x-3>0,解得x>1或x<-3,所以当q假p真时,解得x<-3或1<x≤2或x≥3.

二、填空题

7.答案　(-∞,2)

解析　由题意可知,∀x∈,x2-mx+1>0是真命题,

∴m<x+对任意x∈恒成立,

令f(x)=x+,x∈,则f(x)min>m.当x∈时,f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时等号成立,∴f(x)min=2,∴m<2.

8.答案　(1,2)

解析　由于¬p为真,所以p为假,则p∧q为假.又q∨(p∧q)为真,所以q为真,即p假、q真.命题p为假,即关于x的方程x2-mx+1=0无实数根,则m2-4<0,解得-2<m<2;命题q为真,则4-4m<0,解得m>1.故实数m的取值范围是(1,2).

三、解答题

9.解析　因为命题p是假命题,所以命题¬p:∃x0∈R,+(a-1)x0+1<0是真命题,则(a-1)2-4>0,解得a<-1或a>3.

因为命题q:∃x0∈R,a-2ax0-3>0是真命题.所以当a=0时,-3<0,不满足题意;

当a<0时,(-2a)2+12a>0,所以a<-3;

当a>0时,函数y=ax2-2ax-3的图象开口向上,一定存在满足条件的x0.故a<-3或a>0.

综上,实数a的取值范围是(-∞,-3)∪(3,+∞).

10.解析　“对任意x∈R, f(x)>0和g(x)>0中至少有一个成立”为真命题.

当m≤0时,显然不合题意;

当m>0时,因为f(0)=1>0, f(x)的图象的对称轴为直线x=,

若≥0,则0<m≤4,结论显然成立;

若<0,则m>4,只要方程2mx2-2(4-m)x+1=0的判别式Δ=4(4-m)2-8m<0即可.又m>4,所以4<m<8.

所以m∈(0,8).

当“对任意x∈(-∞,-4),都有f(x)g(x)≥0”的否定为真命题时,

即“存在x0∈(-∞,-4),使得f(x0)g(x0)<0”为真命题.

当m∈(0,8),x∈(-∞,-4)时,g(x)<0恒成立,由条件①可知,

必存在x0∈(-∞,-4),使得f(x0)>0成立.

综上,实数m的取值范围为(0,8).