数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步达标检测题

专题强化练3　直线与圆锥曲线的位置关系

一、选择题

1.(2019黑龙江大庆铁人中学高二月考,★★☆)如果椭圆+=1的弦被点(2,2)平分,那么这条弦所在的直线的方程是(　　)

A.x+4y=0    B.x+4y-10=0 

C.x+4y-6=0 D.x-4y-10=0

2.(★★☆)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线x-2y+4=0与C交于A,B两点,则sin∠AFB=(　　)

A.    B. 

C.    D.

3.(2018陕西宝鸡高二检测,★★★)已知抛物线y=2x2上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1x2=-,则m等于(　　)

A.   B.2  C. D.3

4.(★★★)已知椭圆+=1上的一定点A(2,1)和该椭圆上的两动点B,C,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=0,则直线BC的斜率k的取值情况为(　　)

A.k>或k<-   B.k=- 

C.k=         D.k的值不确定

5.(★★★)过双曲线C1:-=1(a>0,b>0)的左焦点F1作圆C2:x2+y2=a2的切线,设切点为M,延长F1M交抛物线C3:y2=2px(p>0)于点N,其中曲线C1与C3有一个共同的焦点,若|MF1|=|MN|,则双曲线C1的离心率为(　　)

A. B.-1 C.+1 D.

二、填空题

6.(2018安徽滁州期中,★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上.若MA⊥l,直线AF的倾斜角为,则|MF|=　　　　. 

7.(2019广西南宁高二月考,★★☆)若线段AB是椭圆+=1的任意一条与x轴不垂直的弦,O为椭圆的中心,M为AB的中点,则kAB·kOM的值为　　　　. 

8.(2018黑龙江牡丹江第一高级中学期末,★★★)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线,与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.若QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于　　　　. 

三、解答题

9. (2020黑龙江大庆高二期末,★★☆)已知椭圆E:+=1(a>b>0)经过点P,且右焦点F2(,0).

(1)求椭圆E的方程;

(2)若直线l:y=kx+与椭圆E交于A,B两点,当|AB|最大时,求直线l的斜率k.

答案全解全析

一、选择题

1.B　设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),

则两式相减得+=0,即=-·.

∵点(2,2)为弦AB的中点,

∴x1+x2=4,y1+y2=4,

∴kAB==-×=-,

∴弦AB所在直线的方程为y-2=-(x-2),

即x+4y-10=0,故选B.

2.B　由抛物线方程可知焦点F的坐标为(0,1).联立直线方程与抛物线方程,得解得或不妨令A(-2,1),B(4,4),则|AB|==3,|AF|==2,|BF|==5,∴在△ABF中,cos∠AFB===-,∴sin∠AFB==,故选B.

3.A　设AB所在直线的方程为y=-x+b,

由得2x2+x-b=0,

所以

又x1x2=-,所以b=1,

所以y1+y2=-(x1+x2)+2b=,

所以AB的中点为.因为AB的中点在直线y=x+m上,

所以=-+m,

解得m=.故选A.

4.C　易知直线AB的方程为y=k1(x-2)+1.

因为k1+k2=0,所以直线AC的方程为y=-k1(x-2)+1,设点B的坐标为(x1,y1),点C的坐标为(x2,y2).

联立直线AB的方程与椭圆方程,消去y并整理,得(4+1)x2-(16-8k1)x+16-16k1-4=0,所以x1·2=,x1=,则y1=,即点B的坐标为.

同理可得,点C的坐标为,

所以直线BC的斜率k====,故选C.

5.D　设双曲线的右焦点为F2,则|F1F2|=2c,连接OM,NF2,则F2的坐标为(c,0),p=2c.

∵曲线C1与C3有一个共同的焦点,∴y2=4cx.

∵O为F1F2的中点,M为F1N的中点,∴OM为△NF1F2的中位线,

∴OM∥NF2.

∵|OM|=a,∴|NF2|=2a.

又NF2⊥NF1,|F1F2|=2c,∴|NF1|=2b.

设N(x,y),则由抛物线的定义可得x+c=2a,∴x=2a-c,

代入抛物线方程得y2=4c(2a-c).

过点F1作x轴的垂线l,过点N作NP⊥l于点P,则由抛物线的定义得|NP|=2a,

在Rt△F1NP中,由勾股定理得y2+4a2=4b2,即4c(2a-c)+4a2=4(c2-a2),得e2-e-1=0,

解得e=.又e>1,∴e=.故选D.

二、填空题

6.答案　5

解析　如图,设准线与x轴的交点为B,∵AF的倾斜角为,∴∠FAM=.又|MA|=|MF|,∴|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|.又由已知得p=×2=,

∴|FB|=,∴|MF|=5.

7.答案　-

解析　设直线AB的方程为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),

联立方程得整理得(4k2+1)x2+8ktx+4t2-16=0,

所以x1+x2=-.

因为M为AB的中点,所以M的横坐标为(x1+x2)=-,

又y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,

所以点M的纵坐标为(y1+y2)=,

所以M,

则kOM==-,

所以kAB·kOM=k·=-.

8.答案　

解析　设直线PQ的方程为y=kx-1(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立方程得消去y,得x2-2pkx+2p=0,

则x1+x2=2pk,x1x2=2p.

易知kBP=,kBQ=,

所以kBP+kBQ===0.

又kBP·kBQ=-3,所以kBP=,kBQ=-,

所以∠BNM=,∠BMN=,

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=.

三、解答题

9.解析　(1)设椭圆E的左焦点为F1,则 F1的坐标为(-,0).由题意知c=,2a=|PF1|+|PF2|=+=4,∴a=2,∴b2=a2-c2=1,

∴椭圆E的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程得(1+4k2)x2+8kx+4=0,

由Δ=128k2-16(1+4k2)>0,得k2>.

则x1+x2=-,x1x2=,

|AB|=·=·.

设t=,则t∈,|AB|=2=2≤,

当t=,即k=±时,|AB|取得最大值.