数学选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试同步训练题

本章达标检测

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.方程(x2+y2-4)=0的曲线形状是(　　)

2.抛物线y2+4x=0上的点P到直线x=2的距离等于4,则P到焦点F的距离|PF|等于(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.在△ABC中,|AB|=2|BC|,以A,B为焦点,经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则(　　)

A.-=1 B.-=2 

C.-=1 D.-=2

4.已知双曲线-=1(a>0,b>0),两条渐近线与圆(x-m)2+y2=1(m>0)相切,若双曲线的离心率为,则m的值为(　　)

A. B. 

C. D.

5.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(　　)

A. B. 

C. D.

6.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球所连线段)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c.

李明根据所学的椭圆知识,得到下列结论:

①卫星向径的最小值为a-c,最大值为a+c;

②卫星向径的最小值与最大值的比值越小,椭圆轨道越扁;

③卫星的运行速度在近地点时最小,在远地点时最大.

其中正确结论的个数是(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

7.设P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为(　　)

A.2 B. 

C. D.

8.已知F是抛物线y2=4x的焦点,过焦点F的直线l交抛物线的准线于点P,点A在抛物线上且|AP|=|AF|=3,则直线l的斜率为(　　)

A.±1  B. 

C.± D.2

9.已知F1,F2是双曲线M:-=1(m>0)的焦点,y=x是双曲线M的一条渐近线,离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同,P是椭圆E与双曲线M的一个公共点.设|PF1|·|PF2|=n,则(　　)

A.n=12 

B.n=24

C.n=36 

D.n≠12且n≠24且n≠36

10.已知点A(1,2)在抛物线C:y2=2px上,过焦点F且斜率为1的直线与C相交于P,Q两点,且P,Q两点在准线上的投影分别为M,N,则△MFN的面积为(　　)

A.       B. 

C.4  D.

11.已知椭圆+y2=1(a>1)的上顶点为A,左顶点为B,点P为椭圆上任意一点,△PAB面积的最大值为+1,若点M(-,0),N(,0),点Q为椭圆上任意一点,则+的最小值为(　　)

A.2 B. 

C.3 D.3+2

12.已知抛物线C1:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C1于不同的两点A,B,交y轴于点N,若=λ1,=λ2,则λ1+λ2的值为(　　)

A.    B.1 

C. D.-1

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知椭圆C:x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m=　　　　. 

14.如图,过抛物线y=x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+(y-1)2=1于A,B,C,D四点,则|AB|·|CD|=　　　　. 

15.如图所示,圆柱形玻璃杯中的液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为　　　　. 

16.某双曲线的渐近线的方程为y=±x,且经过点(3,-2).过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,则|AB|的值为　　　　. 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知椭圆的中心在原点,其中一个焦点为F1(-1,0),离心率为e=,过点F1的直线交椭圆于A,B两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线AB的倾斜角为135°,求|AB|.

18.(12分)P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.

(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;

(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.

19.(12分)已知一动圆P与圆C1:(x+3)2+y2=9外切,且与圆C2:(x-3)2+y2=1内切.

(1)求动圆P的圆心的轨迹方程;

(2)是否存在过点Q(4,1)的直线l与P交于A,B两点,且点Q是线段AB的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

20.(12分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),且椭圆经过点.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB(B为椭圆上顶点)与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的方程.

21.(12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,离心率e=,O为坐标原点,圆O:x2+y2=与直线AB相切.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E,AB∥DC.记直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,试问k1·k2是不是定值?证明你的结论.

22.(12分)给定椭圆:+=1(a>b>0),称圆心在原点O,半径为的圆是椭圆的准圆.已知椭圆C的离心率e=,其准圆的方程为x2+y2=4.

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C的准圆上的动点,过点P作椭圆的切线l1,l2,交准圆于点M,N.

①当点P为准圆与y轴正半轴的交点时,求直线l1,l2的方程,并证明l1⊥l2;

②求证:线段MN的长为定值.

答案全解全析

一、选择题

1.C　由(x2+y2-4)=0可得或x+y+1=0,

它表示直线x+y+1=0和圆x2+y2=4在直线x+y+1=0右上方的部分.

2.C　抛物线y2+4x=0的准线为x=1,

因为抛物线y2+4x=0上的点P到直线x=2的距离等于4,

所以抛物线y2+4x=0上的点P到准线x=1的距离为3,

根据抛物线的定义知,P到焦点F的距离|PF|=3.故选C.

3.A　以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为坐标原点,建立平面直角坐标系.分别设椭圆与双曲线的标准方程为+=1(a>b>0),-=1(a'>0,b'>0),则|AB|=2c,|BC|=c,∵C在椭圆上,∴|AC|+|BC|=2a⇒|AC|=2a-c.又∵C在双曲线上,∴|AC|-|BC|=2a',即2a-c-c=2a'⇒-=1⇒-=1.

4.A　双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,

因为双曲线的离心率为e==,c2=a2+b2,所以==3,即=2,

所以=,故渐近线方程为y=±x,

因为两条渐近线与圆(x-m)2+y2=1(m>0)相切,所以1=,

解得m=.

5.C　设椭圆的右焦点为F',则|MF'|+|NF'|≥|MN|,当M,N,F'三点共线时,等号成立,所以△FMN的周长|MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF'|+|NF'|=4,当M,N,F'三点共线,即m=1时,等号成立,所以△FMN的周长最大时,|MN|==,此时△FMN的面积S=××2=,故选C.

6.C　对于①,由椭圆的几何性质得,椭圆上一点到焦点距离的最小值为a-c,最大值为a+c,所以卫星向径的最小值为a-c,最大值为a+c,结论①正确;

对于②,由椭圆的几何性质知,椭圆的离心率e=越大,椭圆越扁.卫星向径的最小值与最大值的比值为==-1,-1越小,则e越大,椭圆轨道越扁,结论②正确;

对于③,由于速度的变化服从面积守恒规律,所以当卫星越靠近远地点时,向径越大,当卫星越靠近近地点时,向径越小,由于在相同时间内,向径扫过的面积相等,所以向径越大,速度越小,所以卫星的运行速度在近地点时最大,在远地点时最小,结论③错误.故选C.

7.C　解法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,

由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积是1,得mn=1,即mn=2,

在Rt△PF1F2中,根据勾股定理得m2+n2=4c2,

∴(m-n)2=m2+n2-2mn=4c2-4,

结合双曲线定义,得(m-n)2=4a2,

∴4c2-4=4a2,化简并整理,得c2-a2=1,即b2=1,

则b=1,由a+b=3,得a=2,所以c==,

∴该双曲线的离心率e==,故选C.

解法二:设∠F1PF2=θ,则双曲线的焦点三角形的面积S=,由PF1⊥PF2,得∠F1PF2=90°,

则△PF1F2的面积S==b2=1,又由a+b=3,得a=2,∴c==,

∴该双曲线的离心率e==,故选C.

8.C　因为点A在抛物线y2=4x上,且|AP|=|AF|=3,点P在抛物线的准线上,

所以由抛物线的定义可知,AP垂直于抛物线的准线,设A(x,y),

则|AP|=x+=x+1=3,解得x=2,所以y2=8,y=±2,故A(2,±2),

故P(-1,±2),又F(1,0),所以直线l的斜率为±.

9.A　因为直线y=x是双曲线M的一条渐近线,所以=,解得m=,则双曲线M的方程为-=1,其焦点坐标为(0,±3).又椭圆E的离心率为,所以椭圆E的长半轴长为4.不妨设|PF1|>|PF2|,则由双曲线和椭圆的定义,得解得所以n=|PF1|·|PF2|=12,故选A.

10.C　∵点A(1,2)在抛物线C:y2=2px上,∴2p=4,解得p=2,

∴抛物线的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),

∴过焦点F且斜率为1的直线方程为y=x-1.

由消去x得y2-4y-4=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则y1+y2=4,y1y2=-4,∴|MN|=|y1-y2|==4.

设抛物线的准线与x轴的交点为D,

则|FD|=2,

∴S△MFN=|MN||FD|=×4×2=4.

故选C.

11.B　由题意得直线AB的方程为y=x+1,

当△PAB面积取得最大值时,存在一条直线,过点P且与AB平行,与椭圆相切,设该直线的方程为y=x+m,

联立方程,得消去y,可得

2x2+2amx+a2m2-a2=0,

所以Δ=4a2m2-8(a2m2-a2)=0,得m2=2,

易知m=-,所以切线的方程为y=x-,

此时,点P到直线AB的距离d==,

又|AB|=,所以|AB|·d=+1,

解得a=2,则M(-,0),N(,0)分别为椭圆的左、右焦点,

所以|QM|+|QN|=2a=4,所以+=··(|QM|+|QN|)=1+++≥,

当且仅当|QM|=2|QN|时取等号.故+的最小值为.

12.D　抛物线C1:y2=4x的焦点F(1,0),易知直线AB的斜率存在且不为0,故设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则N(0,-k).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

∴Δ=16k2+16>0,且

∵=(x1,y1+k),=(1-x1,-y1),=(x2,y2+k),=(1-x2,-y2),∴由=λ1,=λ2,得λ1(1-x1)=x1,λ2(1-x2)=x2,整理得λ1=,λ2=,∴λ1+λ2===-1.

二、填空题

13.答案　

解析　因为椭圆C:x2+my2=1的焦点在y轴上,

所以其标准方程为+=1,其中a=,b=1,

若长轴长是短轴长的两倍,则a=2b,

则有=2,解得m=.故答案为.

14.答案　1

解析　抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,设过点F(0,1)的直线方程为y=kx+1,与y=x2联立,消去x得y2-(4k2+2)y+1=0,∴yAyD=1,∵|AB|=|AF|-1=yA+1-1=yA,

|CD|=|DF|-1=yD+1-1=yD,∴|AB|·|CD|=yA·yD=1.

15.答案　

解析　如图,作平面α平行于底面,交水面于点C,连接BC、AC.设椭圆的方程为+=1(a>b>0),圆柱底面半径为r.由图及题意知△ABC为直角三角形,且∠ACB=60°,∴b=r,a==2r,∴c==r,e==.

16.答案　16

解析　易知双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).因为双曲线的渐近线的方程为y=±x,所以=.

又因为双曲线过点(3,-2),所以-=1,解得a2=3,所以b2=6,

即所求双曲线的方程为-=1,且右焦点为F(3,0).

设过焦点F且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2),

联立得方程组消去y,并整理得x2-18x+33=0,

则x1+x2=18,x1x2=33,

则|AB|=

=2×=16.

三、解答题

17.解析　(1)因为椭圆的一个焦点为F1(-1,0),所以可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),且c=1,由离心率e=得a=2,

∴b==,

∴椭圆的方程为+=1.

(2)直线AB的倾斜角为135°,则斜率为-1,又直线AB过点(-1,0),所以直线AB的方程为y=-x-1,

由消去y,

得7x2+8x-8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-,x1x2=-,

故|AB|=|x1-x2|=·=×=.

18.解析　(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①

且F1(-,0),F2(,0).

在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°.②

由①②得|PF1||PF2|=.

所以=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.

(2)设P(x,y),由∠F1PF2为钝角,

得·<0,所以(--x,-y)·(-x,-y)<0,即x2-3+y2<0,

又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,

所以点P横坐标的取值范围是.

19.解析　(1)设动圆圆心P(x,y),半径为r,

根据题意得

所以|PC1|-|PC2|=4<|C1C2|=6,

则动点P的轨迹为双曲线的右支,且a=2,c=3,b=,

所以圆心P的轨迹方程为-=1(x≥2).

(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以

两式相减得5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1-y2)·(y1+y2)=0,

因为Q(4,1)是线段AB的中点,所以

所以kAB===5,所以直线l的方程为5x-y-19=0.

20.解析　(1)由已知得c=2,则b2=a2-4,所以椭圆的方程为+=1,

因为点在椭圆上,所以+=1,又a2>c2=4,所以解得a2=5,

所以b2=1,所以椭圆的方程为+y2=1.

(2)设P(x0,y0)(y0≠±1),易知B(0,1),所以直线PB的方程为y=x+1.

令y=0,得x=,所以M.

因为|ON|=|OF|,所以N(0,-2).

因为OP⊥MN,所以kOP·kMN=·=-1.又点P在椭圆上,所以+=1,所以7-2y0-5=0,

解得y0=-或y0=1(舍去),

所以x0=±,

所以P,

所以kPB==±.

所以直线PB的方程为y=±x+1.

21.解析　(1)直线AB的方程为+=1,即bx+ay-ab=0,

由圆O与直线AB相切,得=,

即=.①

设椭圆的半焦距为c,则e==,

∴=1-e2=.②

由①②得a2=4,b2=1.

故椭圆的标准方程为+y2=1.

(2)k1·k2=,为定值,证明过程如下:

由(1)得直线AB的方程为y=-x+1,

故可设直线DC的方程为y=-x+m,显然m≠±1.

设C(x1,y1),D(x2,y2).

联立方程得消去y,得

x2-2mx+2m2-2=0,

∴x1+x2=2m,x1x2=2m2-2,

且Δ=8-4m2>0,解得-<m<,且m≠±1,

由k1=,k2=,

得k1k2=·

=·

=

=

=

=.

22.解析　(1)由准圆方程为x2+y2=4,得a2+b2=4,

又椭圆的离心率e===,解得a=,b=1,

∴椭圆C的标准方程为+y2=1.

(2)①∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P(0,2),

∴设过点P(0,2)且与椭圆相切的直线为y=kx+2,

联立方程得消去y得

(1+3k2)x2+12kx+9=0.

∵直线y=kx+2与椭圆相切,

∴Δ=144k2-4×9(1+3k2)=0,解得k=±1,

∴不妨设l1,l2的方程分别为y=x+2,y=-x+2.

∵=1,=-1,

∴·=-1,则l1⊥l2.

②证明:当直线l1,l2中有一条直线的斜率不存在时,不妨设直线l1的斜率不存在,则l1:x=±,

当l1:x=时,l1与准圆相交于点(,1),(,-1),

此时l2为y=1(或y=-1),显然直线l1,l2垂直.

同理可证当l1:x=-时,直线l1,l2垂直.

当l1,l2斜率存在时,设点P(x0,y0),则+=4.

设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为y=t(x-x0)+y0,

由得(1+3t2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0.

由Δ=0化简并整理,得

(3-)t2+2x0y0t+1-=0,

∵+=4,

∴(3-)t2+2x0y0t+-3=0.

设l1,l2的斜率分别为t1,t2,

∵l1,l2与椭圆相切,

∴t1,t2满足上述方程(3-)t2+2x0y0t+(-3)=0,

∴t1·t2=-1,即l1,l2垂直.

综上,∵l1,l2经过点P(x0,y0),

又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直,

∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径,|MN|=4,

∴线段MN的长为定值.