选修2-21.1变化率与导数免费同步训练题

第一章　导数及其应用

1.1　变化率与导数

1.1.1　变化率问题

1.1.2　导数的概念

基础过关练

题组一　平均变化率

1.(2019北师大附中高二期中)函数y=2x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为(　　)

A.x0+Δx B.1+Δx C.2+Δx D.2

2.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数f(x)=x2+x,则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为(　　)

A.0       B.2      C.3    D.6

3.(2019陕西黄陵中学高二期末)如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(　　)

A.-1         B.1 C.-2      D.2

题组二　瞬时变化率与导数

4.若函数f(x)在x0处可导,则的结果(　　)

A.与x0,h均无关

B.仅与x0有关,而与h无关

C.仅与h有关,而与x0无关

D.与x0,h均有关

5.(2019贵州铜仁一中高二期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=3,则=(　　)

A.-1        B.-3  C.3      D.1

6.已知f'(x)=,则=(　　)

A.-2-ln 2 B.-2+ln 2 C.2-ln 2 D.2+ln 2

7.(2019吉林延边二中高二期末)设函数f(x)在x=1处存在导数,则=(　　)

A.f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.f'(3)

题组三　平均速度与瞬时速度

8.若质点运动满足s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为(　　)

A.6.3      B.36.3 C.3.3   D.9.3

9.若质点运动满足s=gt2,则时间(单位:s)在区间(3,3+Δt)内的平均速度等于　　　　m/s.(g=10 m/s2) 

10.一物体的运动方程为s=7t2+8,则该物体在t= 　　　　时的瞬时速度为1. 

11.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则该汽车在t=3时的加速度为　　　　. 

12.一个做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.

(1)求此物体的初速度;

(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;

(3)求t=0 s到t=2 s时的平均速度.

题组四　用定义求函数在某点处的导数

13.若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8,则x0=　　　　. 

14.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　. 

15.函数y=在x=0处的导数为　　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)设f(x)是可导函数,且=2,则f'(x0)=(　　)

A.2 B.-1 C.1 D.-2

2.(2019重庆高二月考,★★☆)已知函数y=f(x)是可导函数,且f'(1)=2,则=(　　)

A. B.2 C.1 D.-1

3.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为k,则=(　　)

A.k B.-k C.3k D.-3k

二、填空题

4.(2019陕西宝鸡高二期末,★★☆)设函数f(x)可导,若=1,则f'(1)=　　　　. 

5.(2019广东广州高二期末,★★☆)若f'(1)=a,则=　　　　. 

6.(★★☆)如图是函数y=f(x)的图象.

(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为　　　　; 

(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　. 

三、解答题

7.(★★☆)某一运动物体,在x s时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=x3+x2+2x.

(1)求在第1 s内的平均速度;

(2)求在1 s末的瞬时速度;

(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?

8.(★★☆)求函数y=sin x在区间和上的平均变化率,并比较它们的大小.

9.(★★☆)在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s(t)=10t+5t2(s的单位为m,t的单位为s).求:

(1)t=20 s,Δt=0.1 s时的Δs与;

(2)t=20 s时的瞬时速度.

10.(★★☆)若一物体运动方程如下:

s=

其中位移s的单位:m,时间t的单位:s.求:

(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;

(2)物体的初速度;

(3)物体在t=1时的瞬时速度.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由题意,可得平均变化率为==2,故选D.

2.B　函数f(x)=x2+x从x=-1到x=2的增量为Δy=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为==2,故选B.

3.A　易知f(1)=3, f(3)=1,因此平均变化率为=-1,故选A.

4.B　=f'(x0),故结果仅与x0有关,而与h无关.

5.C　=f'(1)=3,故选C.

6.A　=-f'=-=-2-ln 2,故选A.

7.A　=·

=f'(1).

8.A　s(3)=12,s(3.3)=13.89,∴平均速度===6.3,故选A.

9.答案　(30+5Δt)

解析　Δs=g×(3+Δt)2-g×32=×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,

则==30+5Δt.

10.答案　

解析　设该物体在t0时的瞬时速度为1,由题意可得

==7Δt+14t0,

故=(7Δt+14t0)=14t0,

令14t0=1,可得t0=,即在t=时的瞬时速度为1.

11.答案　6

解析　==6+Δt,

故=(6+Δt)=6,即该汽车在t=3时的加速度为6.

12.解析　(1)==3-Δt.

当Δt→0时, →3,

所以此物体的初速度为3 m/s.

(2)=

=-Δt-1.

当Δt→0时, →-1,

所以t=2 s时的瞬时速度为-1 m/s.

(3)===1(m/s).

13.答案　1

解析　根据导数的定义知,

f'(x0)==

=

=

=(4x0+2Δx+4)

=4x0+4=8,

解得x0=1.

14.答案　2

解析　Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,=a,

∴=a,∴f'(1)=a=2.

15.答案　0

解析　Δy=-

=

=,

∴=,

∴y'x=0===0.

能力提升练

一、选择题

1.A　

==f'(x0)=2.

2.C　由题意可得

==f'(1),

因为f'(1)=2,

所以=×2=1.

3.D　由题意,可得

=

=-3×

=-3f'(x0)=-3k,故选D.

二、填空题

4.答案　3

解析　因为=1,所以=1,即f'(1)=1,故f'(1)=3.

5.答案　2a

解析　

=2=2f'(1)=2a.

6.答案　(1)　(2)

解析　(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ==.

(2)由题中函数f(x)的图象知,

f(x)=

所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 ==.

三、解答题

7.解析　(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为 = m/s.

(2)=

=

=6+3Δx+(Δx)2.

当Δx→0时, →6,

所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.

(3)设物体在x0 s时的速度为14 m/s,

则=

=

=2+2x0+2+(Δx)2+2x0·Δx+Δx.

当Δx→0时, →2+2x0+2,

令2+2x0+2=14,解得x0=2(负值舍去),

即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.

8.解析　y=sin x在上的平均变化率为=,

在上的平均变化率为=.

因为2-<1,所以>,

故函数y=sin x在上的平均变化率较大.

9.解析　(1)Δs=s(20+Δt)-s(20)

=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m),

==210.5(m/s).

(2)=

==5Δt+210,

当Δt→0时, →210,

即在t=20 s时的瞬时速度为210 m/s.

10.解析　(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,

物体在t∈[3,5]内的位移变化量为

Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,

∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24(m/s).

(2)求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度.

∵物体在t=0附近的平均变化率为

=

=

=3Δt-18,

∴物体在t=0时的瞬时变化率为=(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18 m/s.

(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.

∵物体在t=1附近的平均变化率为

=

=

=3Δt-12,

∴物体在t=1时的瞬时变化率为

=(3Δt-12)=-12,

即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.