高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用免费练习

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-21.3导数在研究函数中的应用免费练习，共25页。

第一章　导数及其应用
1.3.3　函数的最大(小)值与导数
基础过关练
题组一　最值的概念
1.函数f(x)=2x-cos x在(-∞,+∞)上(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.无最值 B.有极值
C.有最大值 D.有最小值
2.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的极值点一定是最值点
B. f(x)的最值点一定是极值点
C. f(x)在区间[a,b]上可能没有极值点
D. f(x)在区间[a,b]上可能没有最值点
3.下图是函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象,写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.












题组二　利用导数求函数的最值
4.函数f(x)=xex-1e在区间[1,4]上的最大值为(　　)
A.0 B.1e C.1e4 D.2e2
5.(2019内蒙古开来中学高二下期中)函数f(x)=13x3-x2在[1,3]上的最小值为(　　)
A.-2 B.0 C.-23 D.-43
6.函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为(　　)
A.72 B.36 C.27 D.0
7.(2019河北石家庄高二下期末)已知函数f(x)=13x3-12x2-2x-12.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[-2,4]时,求函数f(x)的最大值.









8.已知函数f(x)=xe-x,求x∈[0,4]时的最小值、最大值.





题组三　函数的最值与参数
9.若函数f(x)=x3-x2-x+2m在区间[0,2]上的最大值是4,则m的值为(　　)
A.3 B.1 C.2 D.-1
10.(2019东北师大附中高三模拟)已知f(x)=-13x3+x在区间(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是　(　　)
A.a<-1 B.-2≤a<3
C.-2≤a<1 D.-3 11.(2020甘肃会宁第一中学高二期末)设函数f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0),若f(x)在(0,1]上的最大值为12,则a=　　　　. 
12.(2019北京海淀一o一中学高二下期中)若函数f(x)=2x3-ax2+ex+1(a∈R)是实数集上的单调函数,则函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和的最小值为　　　　. 
13.(2019四川成都高三摸底测试)已知函数f(x)=ax3+12x2-2x,其导函数为f'(x),且f'(-1)=0.
(1)求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值.






14.(2019北京西城高二下期末)已知函数f(x)=(x+a)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,4]上的最小值.





题组四　函数的最值与不等式问题
15.(2019内蒙古高三一模)已知函数f(x)=1+ln(x-1)x-2(x>2),若f(x)>kx-1恒成立,则整数k的最大值为(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
16.已知f(x)=aexx,x∈[1,2],且∀x1,x2∈[1,2],x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<1恒成立,则a的取值范围是(　　)
A.2e,+∞ B.-∞,9e-22
C.(e13,+∞) D.-∞,4e2
17.(2019湖南长沙高二上期末)已知函数f(x)=ex-12x2-x,x≥0.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥ax+1恒成立,求实数a的取值范围.










能力提升练
一、选择题
1.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=x2-1,g(x)=ln x,下列说法中正确的是(　　)
A.f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有相同的切线
B.对于任意x>0, f(x)≥g(x)恒成立
C.f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点
D.f(x)与g(x)的图象有且只有两个交点
2.(2019河南焦作高三上期中,★★☆)记曲线f(x)=x-e-x上任意一点处的切线为直线l:y=kx+b,则k+b的值不可能为(　　)
A.12 B.1
C.2 D.3
3.(★★☆)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是(　　)
A.14,+∞ B.-∞,14
C.12,+∞ D.-∞,-12
4.(★★☆)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(　　)
A.-12 B.13 C.12 D.1
5.(2019广东广州华南师大附中高二下期中,★★☆)已知a,b∈R,直线y=ax+b+π2与函数f(x)=tan x的图象在x=-π4处相切,设g(x)=ex+bx2+a,若在区间[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,则实数m(　　)
A.有最小值-e B.有最小值e
C.有最大值e D.有最大值e+1
6.(2019河北枣强中学高二下期末,★★☆)已知f(x)=x3+x是定义在R上的函数,且对于任意x∈(0,π),不等式f(xsin x-1)+f(cos x-a)≤0恒成立,则整数a的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4

二、填空题
7.(2019河北唐山开滦二中高二下期中,★★☆)已知直线y=b与函数f(x)=2x+5和g(x)=ax+ln x的图象分别交于A,B两点,若|AB|的最小值为3,则2a-b=　　　　. 
8.(2019福建厦门一中高二下期中,★★☆)已知函数f(x)=xex,g(x)=e2x-4a-2ex-2a,若存在实数x0使f(x0)+g(x0)=-1e-1成立,则实数a的值为　　　　. 
9.(★★★)若不等式sin3x-m+2>cos2x+sin x在区间0,π2上恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 

三、解答题
10.(2019河北武邑中学高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在x=13处取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求函数f(x)在[-1,1]上的最值.











11.(2019江西新余高三下期末,★★☆)已知函数f(x)=lnxx,g(x)=xlnx-ax2-1.
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)当a∈0,1e时,函数y=g(x),x∈(0,e]有最小值,记g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.



答案全解全析
基础过关练
1.A　因为f'(x)=2+sin x>0恒成立,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.
2.C　根据函数的极值与最值的概念判断知选项A,B,D都不正确.
3.解析　观察题中函数图象可知y=f(x)在x1,x3处取极小值,在x2处取极大值,所以极小值为f(x1), f(x3),极大值为f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3),最大值在b处取得,最大值为f(b).
4.A　f'(x)=ex-xex(ex)2=1-xex,当x∈[1,4]时,f'(x)≤0且只有当x=1时,f(x)=0,所以函数f(x)在区间[1,4]上是单调递减函数,故当x=1时, f(x)最大值=1e-1e=0.
5.D　函数f(x)=13x3-x2,则f'(x)=x2-2x.
当x∈[1,2)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(2,3]时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增,
所以函数f(x)在区间[1,3]上的最小值为f(2)=13×23-22=-43.
6.D　因为y=x4-4x+3,所以y'=4x3-4.
令y'=0,解得x=1.
当x<1时,y'<0,函数单调递减;
当x>1时,y'>0,函数单调递增.
所以函数y=x4-4x+3在x=1处取得极小值0.
当x=-2时,y=27;当x=3时,y=72.
综上,当x=1时,函数y=x4-4x+3取得最小值0.
故选D.
7.解析　(1)f'(x)=x2-x-2,
当f'(x)>0时,x<-1或x>2;
当f'(x)<0时,-1 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞);单调递减区间为(-1,2).
(2)结合(1)可知f(x)的单调递增区间是(-2,-1)和(2,4),单调递减区间是(-1,2),
当x=-1时,f(-1)=23;
当x=4时,f(4)=296.
因为f(4)>f(-1),
所以当x=4时, f(x)max=296.
8.解析　f'(x)=e-x-xe-x=(1-x)e-x.
令f'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时, f'(x)>0;
当x∈(1,4)时, f'(x)<0.
∴当x=1时, f(x)取极大值.
又f(0)=0, f(1)=1e, f(4)=4e4,且0<4e4<1e,
∴f(x)max= 1e, f(x)min=0.
9.B　f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,解得x=-13(舍去)或x=1.
又f(0)=2m, f(1)=2m-1, f(2)=2m+2,
则f(2)最大,所以2m+2=4,所以m=1.
故选B.
10.C　f'(x)=-x2+1,令f'(x)=0,可得x=±1,分析易得x=1是f(x)=-13x3+x的极大值点.
因为函数f(x)=-13x3+x在(a,10-a2)上有最大值,所以其最大值必是区间上的极大值,所以a<1<10-a2,且f(a)≤f(1),解得-2≤a<1.
故选C.
11.答案　12
解析　由题知f(x)=ln x+ln(2-x)+ax的定义域为(0,2),
f'(x)=1x+1x-2+a=2x-2x(x-2)+a,
∵x∈(0,1],a>0,∴f'(x)=2x-2x(x-2)+a>0,
∴f(x)在(0,1]上单调递增,
故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a=12.
12.答案　2-26e
解析　因为f(x)=2x3-ax2+ex+1(a∈R),
所以f'(x)=6x2-2ax+e.
若函数f(x)=2x3-ax2+ex+1(a∈R)是实数集上的单调递减函数,则f'(x)=6x2-2ax+e≤0恒成立,不符合题意;
若函数f(x)=2x3-ax2+ex+1(a∈R)是实数集上的单调递增函数,则f'(x)=6x2-2ax+e≥0恒成立,则Δ=4a2-24e≤0,解得-6e≤a≤6e.
此时,函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,
所以f(x)的最大值为f(1)=3+e-a, f(x)的最小值为f(-1)=-1-e-a,
所以函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和为2-2a,
因为-6e≤a≤6e,所以2-26e≤2-2a≤2+26e,
即函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值的和的最小值为2-26e.
13.解析　(1)f'(x)=3ax2+x-2,
因为f'(-1)=0,
所以3a-1-2=0,解得a=1.
所以f(x)=x3+12x2-2x,
f'(x)=3x2+x-2,
所以f(1)=-12, f'(1)=2.
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为4x-2y-5=0.
(2)结合(1)知,当f'(x)=0时,解得x=-1或x=23.
f(x), f'(x)在区间[-1,1]上的变化情况如下表:
x
-1,23
23
23,1
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)的极小值为f23=-2227,
又f(-1)=32, f(1)=-12,
所以f(x)max=f(-1)=32,
f(x)min=f23=-2227.
14.解析　(1)f'(x)=ex+(x+a)ex=(x+a+1)ex.由f'(x)>0,解得x>-a-1;
由f'(x)<0,解得x<-a-1.
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-a-1),单调递增区间为(-a-1,+∞).
(2)①当-a-1≥4,即a≤-5时, f(x)在[0,4]上单调递减,
所以f(x)min=f(4)=(a+4)e4.
②当-a-1≤0,即a≥-1时, f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a.
③当-5 x
[0,-a-1)
-a-1
(-a-1,4]
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)min=f(-a-1)=-e-a-1=-1ea+1.
综上,当a≤-5时, f(x)min=(a+4)e4;当a≥-1时, f(x)min=a;当-5 -1ea+1.
15.B　f(x)>kx-1恒成立,即h(x)=(x-1)[1+ln(x-1)]x-2>k恒成立,即h(x)的最小值大于k.
而h'(x)=x-3-ln(x-1)(x-2)2,记g(x)=x-3-ln(x-1)(x>2),则g'(x)=x-2x-1>0,
所以g(x)在(2,+∞)上单调递增.
又g(4)=1-ln 3<0,g(5)=2-2ln 2>0,
所以g(x)=0存在唯一实根a,且满足a∈(4,5),a-3=ln(a-1).
当x>a时,g(x)>0,即h'(x)>0,
当2 所以h(x)min=h(a)=(a-1)[1+ln(a-1)]a-2=a-1∈(3,4),
故正整数k的最大值是3.
16. D　∀x1,x2∈[1,2],f(x1)-f(x2)x1-x2-1=f(x1)-x1-[f(x2)-x2]x1-x2<0,
令g(x)=f(x)-x,则g(x)=aexx-x在[1,2]上单调递减,
所以g'(x)=aex(x-1)x2-1≤0,即aex(x-1)x2≤1恒成立.
当x=1时,显然恒成立,a∈R;
当x∈(1,2]时,a≤x2ex(x-1),令t(x)=x2ex(x-1),则t'(x)=-xex(x2-2x+2)e2x(x-1)2,当x∈(1,2]时,t'(x)<0,t(x)min=t(2)=4e2,所以a≤4e2.
故选D.
17.解析　(1)因为f(x)=ex-12x2-x,
所以f'(x)=ex-x-1.
令g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,
所以当x>0时,g'(x)>0,故g(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以当x>0时,g(x)>g(0)=0,即f'(x)>0,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,故当x=0时, f(x)取得最小值,最小值为1.
(2)①当a≤0时,对于任意的x≥0,恒有ax+1≤1,又由(1)得f(x)≥1,故f(x)≥ax+1恒成立.
②当a>0时,令h(x)=ex-12x2-x-ax-1,则h'(x)=ex-x-a-1,
由(1)知g(x)=ex-x-1在[0,+∞)上单调递增,所以h'(x)=ex-x-a-1在[0,+∞)上单调递增,
又h'(0)=-a<0,取x=2a,由(1)得e2a≥12(2a)2+2 a+1,则h'(2a)=e2a-2a-a-1≥12(2a)2+2a+1-2a-a-1=a>0,
所以函数h'(x)存在唯一的零点x0∈(0,2a),当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,h(x)在[0,x0)上单调递减,
所以当x∈(0,x0)时,h(x) 综上,a的取值范围为(-∞,0].

能力提升练
一、选择题
1.D　因为f'(x)=2x, f'(1)=2,g'(x)=1x,g'(1)=1,所以f(x),g(x)的图象在点(1,0)处的切线不同,选项A错误.
f(x)≥g(x)⇔f(x)-g(x)≥0,
[f(x)-g(x)]'=2x-1x=2x2-1x=2x-22x+22x,
因为x∈0,22时,[f(x)-g(x)]'<0;
x∈22,+∞时,[f(x)-g(x)]'>0;
x=22时,[f(x)-g(x)]'=0,
所以x=22时, f(x)-g(x)有最小值,最小值为12(ln 2-1)<0,
所以当x>0时, f(x)≥g(x)不恒成立,选项B错误.
由上可知,函数f(x)=g(x)在(0,+∞)上有且只有两个零点,
所以f(x)与g(x)的图象有且只有两个交点.
故选D.
2.A　设切点为(m,n),
由f(x)=x-e-x的导数为f'(x)=1+e-x,
可得切线的斜率为k=1+e-m,
∵km+b=m-e-m,∴b=m-e-m-m(1+e-m),
即有k+b=1-me-m,
令g(m)=1-me-m,则g'(m)=(m-1)e-m,
即有m>1时,g(m)单调递增,m<1时,g(m) 单调递减,
即m=1处g(m)取得最小值,最小值为1-1e,
显然12<1-1e.
故k+b的值不可能为12.
3.A　f'(x)=2xx2+1,易得f(x)在[0,3]上单调递增;g'(x)=12x·ln 12,易得g(x)在[1,2]上单调递减.
因为x1∈[0,3]时, f(x1)∈[0,ln 10];
x2∈[1,2]时,g(x2)∈14-m,12-m.
所以只需0≥14-m⇒m≥14.
4.C　令f(x)=0,则x2-2x=-a(ex-1+e-x+1).
设g(x)=ex-1+e-x+1,则g'(x)=ex-1-e-x+1=ex-1-1ex-1=e2(x-1)-1ex-1,当g'(x)=0时,x=1.
当x<1时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;
当x>1时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,
所以当x=1时,函数g(x)取得最小值,为g(1)=2.
设h(x)=x2-2x,当x=1时,函数h(x)取得最小值,为-1.
若-a>0,则函数h(x)与函数-ag(x)的图象没有交点;
若-a<0,则当-ag(1)=h(1)时,函数h(x)和-ag(x)的图象有一个交点,即-a×2=-1,解得a=12.
故选C.
5.D　f'(x)=1cos2x,则f'-π4=1cos2-π4=2,所以a=2.
又2×-π4+b+π2=tan-π4,所以b=-1.
所以g(x)=ex-x2+2,g'(x)=ex-2x,
令h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,
当x∈[1,2]时,h'(x)=ex-2>0,
因此g'(x)在[1,2]上单调递增,
所以g'(x)≥g'(1)=e-2>0,
从而g(x)在[1,2]上是增函数,
所以g(x)的最小值为g(1)=e+1,最大值为g(2)=e2-2,
又在区间[1,2]上,不等式m≤g(x)≤m2-2恒成立,
得m≤e+1,m2-2≥e2-2,解得m≤-e或e≤m≤e+1,所以m的最大值为e+1,无最小值.
故选D.
6.A　由f(x)=x3+x可知f(-x)=-f(x),且f(x)单调递增,
f(xsin x-1)+f(cos x-a)≤0等价于f(xsin x-1)≤-f(cos x-a),
即f(xsin -1)≤f(a-cos x),
所以xsin x-1≤a-cos x,
可知a+1≥xsin x+cos x,
设h(x)=xsin x+cos x,
则h'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,
当x=π2时,h'(x)=0;
当x∈0,π2时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈π2,π时,h'(x)<0,h(x)单调递减.
所以h(x)max=hπ2=π2,
所以a+1≥π2,即a≥π2-1,
因为a∈Z,所以整数a的最小值为1.

二、填空题
7.答案　1
解析　设A(x1,b),B(x2,b),则2x1+5=ax2+ln x2=b,
则|AB|=x2-x1=x2-12(ax2+ln x2-5)=12[(2-a)x2-ln x2+5].
令h(x)=(2-a)x-ln x+5(x>0),则h'(x)=(2-a)-1x,
因为|AB|的最小值为3,又h'(x)=0的根为x=12-a,函数h(x)在0,12-a上单调递减,在12-a,+∞上单调递增,所以h(x)min=h12-a=6+ln(2-a)=6,所以a=1,x2=1,b=1,2a-b=1.
8.答案　-12
解析　函数f(x)=xex,g(x)=e2x-4a-2ex-2a,
所以f(x)+g(x)=xex+e2x-4a-2ex-2a.
令h(x)=xex,则h'(x)=ex(x+1).
令h'(x)=0,解得x=-1,
当x<-1时,h'(x)<0,h(x)=xex单调递减;当x>-1时,h'(x)>0,h(x)=xex单调递增,所以h(x)min=h(-1)=-1e.
又因为e2x-4a-2ex-2a=(ex-2a-1)2-1≥-1,
所以f(x)+g(x)≥-1e-1,
因此只有h(x)=xex与e2x-4a-2ex-2a同时取最小值时, f(x)+g(x)=-1e-1才能成立.
所以,当x=-1时,e2x-4a-2ex-2a也取最小值,此时e-1-2a-1=0,即a=-12.
9.答案　-∞,2227
解析　因为不等式sin 3x-m+2>cos 2x+sin x在区间0,π2上恒成立,
所以m 令f(t)=t3+t2-t+1,t=sin x,t∈[0,1],
令f'(t)=3t2+2t-1=(3t-1)(t+1)=0,得t=13(t=-1舍去),当t∈0,13时, f'(t)<0,函数f(t)单调递减;当t∈13,1时,f'(t)>0,函数f(t)单调递增,
所以f(t)min=f13=2227.
所以m<2227.
三、解答题
10.解析　(1)因为函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),
所以f(1)=2,所以a+b=1.①
又因为函数f(x)在x=13处取得极值,
所以f'13=0.
因为f'(x)=3x2+2ax+b,
所以2a+3b=-1,②
由①②得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f(x)=x3+4x2-3x,f'(x)=3x2+8x-3,
令f'(x)>0,得x<-3或x>13,
令f'(x)<0,得-3 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3)和13,+∞,单调递减区间为-3,13.
(3)由(2)知, f(x)在-1,13上是减函数,在13,1上是增函数,
所以f(x)在[-1,1]上的最小值为f13=-1427,
又f(-1)=6, f(1)=2,
所以f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=6.
综上,函数f(x)在[-1,1]上的最小值为-1427,最大值为6.
11.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1-lnxx2.
当x∈(0,e)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减.
所以当x=e时, f(x)取得最大值f(e)=1e.
(2)g'(x)=ln x-ax=xlnxx-a,由(1)及x∈(0,e]得:
①若a=1e,则lnxx-a≤0,g'(x)≤0,g(x)单调递减,当x=e时,g(x)的最小值h(a)=g(e)=-e2.
②若a∈0,1e,则f(1)=0≤a, f(e)=1e>a,
所以存在t∈[1,e),使得g'(t)=0且ln t=at.
当x∈(0,t)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(t,e]时,g'(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)的最小值h(a)=g(t)=tlnt-at2-1=tlnt-lnt2-1=tlnt2-1.
令φ(t)=tlnt2-t,t∈[1,e),则φ'(t)=lnt-12,
当x∈(1,e)时,φ'(t)<0,所以φ(t)在[1,e)上单调递减,
此时φ(t)∈-e2,-1,即h(a)∈-e2,-1.
由①②可知,h(a)的值域是-e2,-1.