人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试免费练习

第一章　导数及其应用

专题强化练1　导数几何意义的简单应用

一、选择题

1.(2019新疆乌鲁木齐高二月考,★★☆)设f(x)存在导函数,且满足=2,则曲线y=f(x)上点(1, f(1))处的切线的斜率为(　　)

A.4   B.-1

C.1   D.-4

2.(★★☆)已知曲线f(x)=x2+2x的一条切线的斜率是4,则切点的横坐标为(　　)

A.-2     B.-1    C.1 D.2

3.(★★☆)曲线y=-在点处的切线方程是(　　)

A.y=x-2 B.y=x-

C.y=4x-4 D.y=4x-2

二、填空题

4.(★★☆)已知函数y=ax2+b的图象在点(1,3)处的切线的斜率为2,则=　　　　. 

5.(★★☆)已知函数f(x)=x3,过点P作曲线f(x)的切线,则其切线方程为　　　　　　　　　　. 

三、解答题

6.(★★☆)(1)求曲线y=x2+3x+1在点(0,1)处的切线方程;

(2)已知曲线y=x2++5上一点P,求曲线在点P处的切线方程.

7.(★★☆)求曲线y=3x-x3过点P(2,2)的切线方程.

8.(★★☆)已知点P在曲线y=x2上,求分别满足下列条件的点P的坐标.

(1)在点P处的切线平行于直线y=4x-5;

(2)在点P处的切线垂直于直线2x-6y+5=0;

(3)在点P处的切线的倾斜角为135°.

9.(★★★)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.

答案全解全析

一、选择题

1.B　=2,

所以-2=2,

所以-2f'(1)=2,解得f'(1)=-1.

2.D　Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2+2(x+Δx)-x2-2x=x·Δx+(Δx)2+2Δx,

所以=x+Δx+2,

所以f'(x)==x+2.

设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=x0+2.

由已知得x0+2=4,所以x0=2.

3.C　因为Δy=-+ = ,

所以=,

所以==,即y'=,

所以曲线y=-在点处的切线的斜率k=y'=4,

所以切线方程为y+2=4,

即y=4x-4.

二、填空题

4.答案　2

解析　由题意知a+b=3,

因为y'x=1==2a=2,

所以a=1,b=2,故=2.

5.答案　y=0或3x-y-2=0

解析　设切点为Q(x0,),由导数的定义得切线的斜率为k=f'(x0)=3,

切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2.

因为切线过点P,所以2-2=0,解得x0=0或x0=1,

从而切线方程为y=0或3x-y-2=0.

三、解答题

6.解析　(1)易验证点(0,1)在曲线y=x2+3x+1上,

Δy=(x+Δx)2+3(x+Δx)+1-x2-3x-1

=(Δx)2+(2x+3)Δx,

∴=Δx+2x+3,

∴y'==2x+3,

∴y'x=0=3,

即曲线y=x2+3x+1在点(0,1)处的切线的斜率k=3,

∴在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.

(2)切线的斜率k=y'x=2=

=,

∴在点P处的切线方程为y-=(x-2),即15x-4y+8=0.

7.解析　显然点P(2,2)不在曲线上,所以点P不是切点,设过点P(2,2)的切线与曲线y=3x-x3相切于点Q(x0,y0),

则y0=3x0-,

y'==

=3-3x2.

∵Q(x0,y0)是切点,

∴在点Q处的切线的斜率为y'=3-3,

切线方程为y-(3x0-)=(3-3)(x-x0),

∵切线过点P(2,2),

∴2-(3x0-)=(3-3)(2-x0),

解得x0=1或x0=1±,

∴所求切线方程为y=2或y=(-9+6)×(x-2)+2或y=-(9+6)(x-2)+2.

8.解析　设切点为P(x0,y0).令y=f(x),则f'(x)===2x,所以f'(x0)=2x0.

(1)∵切线与直线y=4x-5平行,

∴2x0=4,解得x0=2,

∴y0=4,即P(2,4).

(2)∵切线与直线2x-6y+5=0垂直,

∴2x0·=-1,解得x0=-,

∴y0=,即P.

(3)∵切线的倾斜角为135°,

∴其斜率为-1,

即2x0=-1,解得x0=-,

∴y0=,即P.

9.解析　因为f'(x)=

==2ax,

所以f'(1)=2a,即切线的斜率k1=2a.

因为g'(x)=

==3x2+b,

所以g'(1)=3+b,即切线的斜率k2=3+b.

因为在交点(1,c)处有公切线,

所以2a=3+b.①

又因为c=a+1,c=1+b,

所以a+1=1+b,即a=b,

代入①式,得