高中数学人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试免费课后测评

第一章　导数及其应用

专题强化练3　利用导数与辅助函数解决有关不等式问题

一、选择题

1.(2019北京八中高二下期中,★★☆)设a=,b=,c=,则(　　)

A.b>a>c B.a<b<c

C.b<a<c D.a>b>c

2.(2019福建五校高二上联考,★★☆)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1,且f(x)的导函数f'(x)<1,则f(x)>x-1的解集为(　　)

A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2}

C.{x|x<2或x>2} D.{x|x>2}

3.(2019广东佛山二中高二下月考,★★☆)已知可导函数f(x)(x∈R)满足f(x)<f'(x),则当a>0时, f(a)和eaf(0)的大小关系为(　　)

A.f(a)<eaf(0) B.f(a)>eaf(0)

C.f(a)=eaf(0) D.f(a)≤eaf(0)

4.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)已知f(x)是定义在∪上的偶函数,且当0<x<时,有f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则不等式f(x)<2fcos x的解集为(　　)

A.∪ B.∪

C.∪   D.

5.(2019云南曲靖高二下期中,★★☆)已知定义在(-∞,0)上的函数f(x)满足2f(x)+xf'(x)<-x2, f(-1)=e,则下列不等式中一定成立的是(　　)

A.f(-e)>     B.f(-e)>

C.f(-e)<     D.f(-e)<

二、填空题

6.(2019黑龙江双鸭山一中高二上期末,★★☆)f(x)是定义在R上的函数,其导函数为f'(x).若f'(x)>f(x), f(1)=2 019,则不等式ef(x)>2 019ex(其中e为自然对数的底数)的解集为　　　　. 

7.(★★☆)如果定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:

①y=ex+1;②y=3x-2(sin x-cos x);③y=-x3+x+1;④f(x)=以上函数是“H函数”的所有序号为　　　　. 

8.(★★☆)定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时, f(x)+xf'(x)<0(其中f'(x)是 f(x)的导函数).若a=(30.3)·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=·f,则a,b,c的大小关系是　　　　. 

三、解答题

9.(★★☆)已知可导函数f(x)的定义域为(-∞,0),其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0,求不等式f(2 019+x)-(x+2 019)2f(-1)<0的解集.

10.(2019安徽市级联考改编,★★★)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)>0.当x>0时, f'(x)<2f(x);当x>2时, f'(x)>f(x).若f(3-x)=f(1+x)e2-2x(其中e是自然对数的底数),求 的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.D　令y=(x>0),则y'=,令y'=0,则x=<2,易知y=在[,+∞)上单调递减,因此y=在[2,+∞)上单调递减,从而a>b>c,故选D.

2.B　令g(x)=f(x)-(x-1),则g'(x)=f'(x)-1<0,

所以g(x)在R上单调递减.

又f(2)=1,所以g(2)=f(2)-(2-1)=0.

由f(x)>x-1得g(x)>0,解得x<2.

故选B.

3.B　由题意,可设函数f(x)=e2x,则f'(x)=2e2x,满足f(x)<f'(x),

所以f(a)=e2a,eaf(0)=ea,

因为a>0,所以e2a>ea,即f(a)>eaf(0).

4.C　设g(x)=,x∈∪0,,

则g'(x)=,

∵当0<x<时,有f'(x)cos x+f(x)sin x>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在上单调递增.

∵f(x)是定义在∪上的偶函数,∴g(-x)===g(x),∴g(x)也是定义在∪上的偶函数,

不等式f(x)<2fcos x可化为 <,即g(x)<g,∴g(|x|)<g,

∴0<|x|<,∴-<x<0或0<x<.

5.C　令g(x)=x2f(x),x<0,

则g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)].

因为当x<0时,2f(x)+xf'(x)<-x2<0,此时g'(x)>0,

所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,

所以g(-e)<g(-1),即e2f(-e)<e,

故f(-e)<.

二、填空题

6.答案　(1,+∞)

解析　由不等式ef(x)>2 019ex,得>2 019.

令g(x)=.

∵f'(x)>f(x),∴g'(x)=>0,

∴函数g(x)在R上单调递增.

∵g(1)==2 019,

∴>2 019⇔g(x)>g(1),∴x>1,

∴不等式ef(x)>2 019ex的解集为(1,+∞).

7.答案　①②

解析　∵对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式x1 f(x1)+x2 f(x2)>x1 f(x2)+x2 f(x1)恒成立,

∴不等式等价为(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,

即函数f(x)是定义在R上的增函数.

①y=ex+1为增函数,满足条件;

②y'=3-2(cos x+sin x)=

3-2sin>0,

∴函数单调递增,满足条件;

③y'=-3x2+1,函数在定义域上不单调,不满足条件;

④当x>0时,函数单调递增,当x<0时,函数单调递减,不满足条件.

综上,是“H函数”的函数序号为①②.

8.答案　c>a>b

解析　∵函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,

∴f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)为奇函数.

设g(x)=xf(x),则g(x)为偶函数,

当x∈(-∞,0)时,g'(x)=f(x)+xf'(x)<0,此时函数g(x)单调递减,

∴当x∈(0,+∞)时,函数g(x)单调递增.

则a=(30.3)·f(30.3)=g(30.3),

b=(logπ3)·f(logπ3)=g(logπ3),

c=·f=g,

即c=g=g(-2)=g(2).

∵1<30.3<2,0<logπ3<1,

∴2>30.3>logπ3,

∴g(2)>g(30.3)>g(logπ3),

即c>a>b.

三、解答题

9.解析　令g(x)=,x<0,

则g'(x)=

=<0,

所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.

因为f(2 019+x)-(x+2 019)2f(-1)<0,

所以(2 019+x)2g(2 019+x)-(2 019+x)2·g(-1)<0,所以(2 019+x)2[g(2 019+x)-g(-1)]<0,即g(2 019+x)<g(-1).

因为g(x)在(-∞,0)上单调递减,

所以解得-2 020<x<-2 019.

故原不等式的解集为(-2 020,-2 019).

10.解析　根据题意,设g(x)=(x>0),h(x)=(x>0).

∵f(3-x)=f(1+x)e2-2x,

∴=,

即g(3-x)=g(1+x),∴g(1)=g(3).

对于g(x)=,其导数g'(x)==,

∵当x>2时, f'(x)>f(x),∴g'(x)>0,即g(x)=在区间(2,+∞)上单调递增,

∴g(1)=g(3)<g(4),即<,变形可得 <.

对于h(x)=,其导数h'(x)==,

∵当x>0时, f'(x)<2f(x),∴h'(x)<0,即h(x)=在区间(0,+∞)上单调递减,

∴h(1)>h(4),即 > ,变形可得>.

综上可得,< <,即的取值范围为.