人教版新课标A选修2-2第一章 导数及其应用综合与测试免费综合训练题

第一章　导数及其应用

专题强化练5　利用导数解决生活中的优化问题

解答题

1.(2019江苏南通高三下质量调研检测,★★☆)某公司代理销售某种品牌的小商品,该商品进价为5元/件,销售时还需交纳品牌使用费3元/件,售价为x元/件,其中10≤x≤30,且x∈N*.根据市场调查,当10≤x≤15,且x∈N*时,每月的销售量h(万件)与(18-x)2成正比;当15≤x≤30,且x∈N*时,每月的销售量h(万件)与1-成反比.已知售价为15元/件时,月销售量为9万件.

(1)求该公司的月利润f(x)(万件)与每件商品的售价x(元)的函数关系式;

(2)当每件商品的售价为多少元时,该公司的月利润f(x)最大?并求出最大值.

2.(2019江苏启东中学高二下期中,★★☆)如图是一个半径为2千米,圆心角为的扇形游览区的平面示意图,C是半径OB上一点,D是圆弧AB上一点,且CD∥OA.现在线段OC,线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是线段OC处每千米为2a元,线段CD及圆弧DB处每千米均为a元.设∠AOD=x弧度,广告位出租的总收入为y元.

(1)求y关于x的函数解析式,并指出该函数的定义域;

(2)试问:x为何值时,广告位出租的总收入最大?并求出其最大值.

3.(2019山东泰安高三上期中,★★☆)如图,AOB是一块半径为r的扇形空地,∠AOB=.某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一个矩形停车场EFGH(D、G在弧AB上),剩余的地方进行绿化.若∠BOG=,设∠AOD=θ.

(1)记活动场地与停车场占地总面积为f(θ),求f(θ)的表达式;

(2)当cos θ为何值时,可使活动场地与停车场占地总面积最大?

4.(2019湖北四校高二下期中联考,★★☆)如图,将半径为3的圆形铁皮剪去一个圆心角为α的扇形,用剩下的扇形铁皮制成一个圆锥形的容器,记该圆锥的高为h,体积为V.

(1)求体积V关于h的函数解析式;

(2)求当扇形的圆心角α多大时,容器的体积V最大.

5.(2019江苏扬州高二上期末,★★☆)2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉,该花坛的边界是由两个半径均为12米的圆弧围成,两圆心O1、O2之间的距离为12米.若该喷泉为矩形喷泉,且其四个顶点A,B,C,D均在圆弧上,O1O2⊥AB于点M.设∠AO2M=θ.

(1)当θ=时,求喷泉ABCD的面积S;

(2)当cos θ为何值时,可使喷泉ABCD的面积S最大?

解决生活中的优化问题

答案全解全析

解答题

1.解析　(1)由题意可设h=k1(18-x)2(10≤x≤15,x∈N*),h=(15≤x≤30,x∈N*),

因为当x=15时,h=9,

所以代入上述两式可得k1=1,k2=3,

故f(x)=

(2)当10≤x≤15,x∈N*时, f(x)=(x-8)(18-x)2,

所以f'(x)=(x-18)(3x-34),

令f'(x)=0,得x=(x=18舍去).

x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

因为x∈N*,且f(11)=147, f(12)=144,

所以当x=11时, f(x)取得最大值147.

当15<x≤30,x∈N*时, f(x)=,

令t=x-10,则g(t)=,

即g(t)=3,5<t≤20,t∈N*.

因为g'(t)=3>0,所以g(t)在(5,20],且t∈N*上单调递增,

所以当t=20时,g(t)取得最大值99,此时x=30.

综上,当x=11时, f(x)取得最大值147,即当每件产品的售价为11元时,该公司的月利润f(x)最大,且最大值为147万元.

2.解析　(1)因为CD∥OA,

所以∠ODC=∠AOD=x弧度.

在△OCD中,∠OCD=,∠COD=-x,OD=2千米.

所以由正弦定理,得===,

所以OC=sin x千米,CD=×sin 千米.

又圆弧DB的长为2千米,

所以y=2a×sin x+a××sin +2

=2a,x∈.

(2)记f(x)=2a,x∈,

则f'(x)=2a(cos x-sin x-1)

=2a2cosx+-1,

令f'(x)=0,得x=.

x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在x=处取得极大值,这个极大值就是最大值,即f=2a×+=2+a.

故当x=时,广告位出租的总收入最大,最大值为2a元.

3.解析　(1)由题意得,在矩形OCDE中,∠COD=θ,∴OC=rcos θ,OE=rsin θ,

∴矩形OCDE的面积S矩形OCDE=OC·OE=r2sin θcos θ.

又∠BOG=,四边形EFGH是矩形,

∴HG=rsin =,OH=rcos =,

∴HE=OH-OE=r,

∴矩形EFGH的面积S矩形EFGH=HG·HE=,

∴f(θ)=S矩形OCDE+S矩形EFGH

=r2sin θcos θ+

=r2,θ∈.

(2)易得f'(θ)=r2(cos2θ-sin2θ-cos θ)=·(4cos2θ-cos θ-2),

令f'(θ)=0,得4cos2θ-cos θ-2=0,

解得cos θ=或cos θ=(不合题意,舍去),

令cos θ0=,则θ0∈.

①当θ∈(0,θ0)时, f'(θ)>0, f(θ)单调递增;

②当θ∈时, f'(θ)<0, f(θ)单调递减.

∴当θ=θ0时, f(θ)取得最大值,即cos θ=时,可使活动场地与停车场占地总面积最大.

4.解析　(1)设圆锥的底面半径为r,则r2+h2=R2.

根据圆锥的体积公式得V(h)=πr2h=π(R2-h2)·h,

∵R=3,

∴V(h)=-πh3+9πh,0<h<3.

(2)∵V(h)=-πh3+9πh(0<h<3),

∴V'(h)=9π-πh2.

令V'(h)>0,得0<h<3;令V'(h)<0,得3<h<3.

∴当h∈(0,3)时,V(h)单调递增;当h∈(3,3)时,V(h)单调递减.

∴当h=3时,V(h)取得最大值,最大值为V(3)=18π,设此时圆锥底面圆的半径为r1,

又+h2=R2,∴r1=3.

∵R(2π-α)=2πr1,

∴α=π,

即α=π时,容器的体积V最大.

5.解析　(1)在Rt△AO2M中,AM=12sin θ=12sin =6,O2M=12cos θ=12cos =6,

则AD=2O2M+O1O2=12+12,AB=2AM=12,

所以S=AB·AD=12(12+12)=(288+144)平方米,

故矩形ABCD的面积S为(288+144)平方米.

(2)在Rt△AO2M中,AM=12sin θ,O2M=12cos θ,则AD=24cos θ+12,AB=24sin θ,

所以矩形ABCD的面积S=24sin θ(24cos θ+12)=288(2sin θcos θ+sin θ).

令f(θ)=2sin θcos θ+sin θ,0<θ<,

则f'(θ)=2cos 2θ+cos θ=4cos2θ+cos θ-2,

令f'(θ)=0,得cos θ=(负值舍去).

设cos θ0=,且0<θ0<,

列表如下:

所以当θ=θ0时, f(θ)最大,即S最大.

此时cos θ0=,

即当cos θ=时,可使喷泉ABCD的面积S最大.