数学人教版新课标A第一章 导数及其应用综合与测试免费习题

第一章　导数及其应用

易混易错练

易错点1　对导数的定义理解不够深刻致错

1.(2019安徽屯溪一中高二期中,★★☆)设f'(1)=4,则=(　　)

A.8 B.4

C.-8 D.-4

2.(2019河南南阳高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),则等于(　　)

A.mf'(x0) B.-mf'(x0)

C.-f'(x0) D.f'(x0)

易错点2　混淆“过某点”与“在某点处”的切线致错

3.(2019福建莆田八中高二期中,★★☆)曲线y=ex-ln x 在点(1,e)处的切线方程为(　　)

A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0

C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0

4.(2019湖南邵东一中高二期末,★★☆)曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为　　　　　　　. 

5.(2019宁夏石嘴山第三中学高二期末,★★☆)曲线f(x)=2x3-4x+1在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为　　　　　　　　. 

易错点3　对复合函数的求导法则理解不透致错

6.(★★☆)函数y=ln(1-x)的导数为　　　　. 

7.(★★☆)函数y=x·e1-cos x的导数为　　　　. 

易错点4　忽视取极值的条件致错

8.(2019重庆一中高三下月考,★★☆)设函数f(x)=(x+1)ex+1,则(　　)

A.x=2为f(x)的极大值点

B.x=2为f(x)的极小值点

C.x=-2为f(x)的极大值点

D.x=-2为f(x)的极小值点

9.(★★☆)已知函数f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数 f(x)的极大值共有(　　)

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

易错点5　利用导数研究函数的单调性

10.(★★☆)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,1) B.(0,1)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

11.(2019北京西城高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=x3-x2+bx,且f'(2)=-3.

(1)求b;

(2)求f(x)的单调区间.

12.(2019广东佛山二中高二下月考,★★☆)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象经过点P(0,2),且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)的单调区间.

13.(★★☆)若函数f(x)=+ln x在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围.

14.(★★☆)已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求实数t的取值范围.

易错点6　混淆极值与最值致错

15.(2019广东佛山三中高二下段考,★★☆)已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1.求当0<a<e时, f(x)在区间(0,e]上的最小值.

16.(★★☆)求函数f(x)=sin 2x-x在上的最大值和最小值.

易错点7　利用导数研究实际问题时忽视定义域致错

17.(★★☆)某制造商制造并出售某种球形瓶装的饮料.每个瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是cm.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm,问瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?

18.(2019河北遵化高二下期中,★★☆)某村庄拟修建一个无盖圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元每平方米,底面的建造成本为160元每平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元.(π为圆周率)

(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;

(2)确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.

易错点8　求横穿x轴的曲边梯形的面积

19.(★★☆)求曲线y=cos x与坐标轴所围成的图形的面积是(　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.　　　　D.4

20.(2019新疆兵团建工师第四中学高二期中,★★☆)由直线x+y=2,曲线y2=x所围成的图形的面积是　　　　. 

思想方法练

一、分类讨论思想

1.(2019安徽黄山高三质量检测,★★☆)已知函数f(x)=ln x++x(a∈R).讨论函数f(x)的单调性.

2.(2019四川雅安高二下期末,★★☆)已知函数f(x)=ln x+ax2.若函数f(x)有两个不同的零点,求实数a的取值范围.

二、转化与化归思想

3.(2019辽宁朝阳高三模考,★★☆)已知函数f(x)=ex+ax-,若对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.      B.(-∞,2)

C. D.[-2,+∞)

4.(2019河南平顶山郏县第一高级中学高二下月考,★★☆)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有2f(x)+xf'(x)>x2,则不等式(x+

2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0的解集为(　　)

A.(-2 021,0) B.(-∞,-2 021)

C.(-2 017,0) D.(-∞,-2 017)

5.(2019安徽合肥高三质量检测,★★★)已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(e为自然对数的底数).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若g(x)=f(x)-ax,a∈R,试求函数g(x)极小值的最大值.

三、数形结合思想

6.(★★☆)已知函数f(x)=x3+x2+2bx+c,且f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,求点(a,b)对应的区域的面积以及的取值范围.

7.(★★☆)已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点,求实数a的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.A　∵f'(1)=4,∴

=2=2f'(1)=8.

2.B　因为函数f(x)在x=x0处的导数为f'(x0),

所以

=-=-mf'(x0).

3.C　记y=f(x)=ex-ln x,则f'(x)=e-,

所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线的斜率为f'(1)=e-=e-1,

所以曲线y=ex-ln x在点(1,e)处的切线方程为y-e=(e-1)(x-1),

整理得(e-1)x-y+1=0.

4.答案　2x-y=0

解析　设y=f(x)=3x-ln(x+1),

则f'(x)=3-,

∴曲线y=3x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线的斜率为3-1=2,

则曲线在点(0,0)处的切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.

5.答案　(1,-1)或(-1,3)

解析　∵f(x)=2x3-4x+1,

∴f'(x)=6x2-4.

令f'(x)=2,即6x2-4=2,解得x=±1,

∵f(1)=-1, f(-1)=3,

∴点P的坐标为(1,-1)或(-1,3).

经检验,满足题意.

6.答案　y'=

解析　y'=·(1-x)'=·(-1)=.

7.答案　y'=(1+xsin x)e1-cos x

解析　y'=e1-cos x+x(e1-cos x)'=e1-cos x+

xe1-cos x·(1-cos x)'=e1-cos x+xe1-cos xsin x=

(1+xsin x)e1-cos x.

8.D　因为f(x)=(x+1)ex+1,

所以f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex.

令f'(x)=0,得x=-2,

当x>-2时, f'(x)>0, f(x)=(x+1)ex+1单调递增;

当x<-2时, f'(x)<0, f(x)=(x+1)ex+1单调递减.

所以函数f(x)=(x+1)ex+1在x=-2处取得极小值,无极大值.

9.B　由导函数f'(x)的图象,结合极大值的定义可知,函数f(x)在区间(-4,-3)上单调递增,在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,故f(x)共有2个极大值,故选B.

10.B　函数f(x)的定义域为(0,+∞),

又f'(x)=1-,

由f'(x)=1-<0,得0<x<1,

所以函数f(x)=x-ln x的单调递减区间是(0,1),故选B.

11.解析　(1)由题得f'(x)=x2-2x+b,

又f'(2)=-3,

所以f'(2)=4-4+b=-3,

所以b=-3.

(2)由(1)知f'(x)=x2-2x-3.

令f'(x)>0,得x<-1或x>3;

令f'(x)<0,得-1<x<3,

所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调递减区间为(-1,3).

12.解析　(1)f(x)的图象经过点P(0,2),

代入,得d=2,

∴f(x)=x3+bx2+cx+2, f'(x)=3x2+2bx+c.

∵点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,

∴f'(-1)=3-2b+c=6①, f(-1)=y=1,

将点M(-1,1)代入f(x),得-1+b-c+2=1②,

①②联立得b=c=-3,

故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.

(2)由(1)知f'(x)=3x2-6x-3.

令3x2-6x-3=0,

解得x1=1-,x2=1+.

当x<1-或x>1+时, f'(x)>0;

当1-<x<1+时, f'(x)<0.

故f(x)的单调递增区间为(-∞,1-)和(1+,+∞),单调递减区间为(1-,1+).

13.解析　由已知,得f'(x)=(a>0),

依题意得,当x∈[1,+∞)时,≥0恒成立,

∴ax-1≥0,

∴a-1≥0,即a≥1.

14.解析　由题意知f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t, f'(x)=-3x2+2x+t.

若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f'(x)≥0恒成立,且f'(x)不恒为0.

∵f'(x)的图象是开口向下的抛物线,

∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5≥0,即t≥5时, f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)≥0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.

故实数t的取值范围是[5,+∞).

15.解析　因为f(x)=+ln x-1,

所以f'(x)=-+=,x∈(0,e].

令f'(x)=0,得x=a.

又0<a<e,则当x∈(0,a)时, f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减;

当x∈(a,e]时, f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增.

所以当x=a时,函数f(x)取得最小值,最小值为ln a.

16.解析　f'(x)=2cos 2x-1.

令f'(x)=0,得2cos 2x-1=0,

解得x=-或x=.

因为f=-, f=-+,f=-, f=,

所以函数f(x)在上的最大值和最小值分别为,-.

17.解析　设每瓶饮料的利润是f(r)分,因为瓶子的半径为r,0<r≤6,所以f(r)=0.2×πr3-0.8πr2=0.8π·,0<r≤6.

f'(r)=0.8π(r2-2r),令f'(r)=0,解得r=2(r=0舍去).

当0<r<2时, f'(r)<0;当2<r<6时,f'(r)>0.

所以当0<r<2时, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低;

当2<r<6时, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高.

当0<r<2时, f(r)<0,当r=6时, f(6)>0,所以半径为6 cm时,每瓶饮料的利润最大.

18.解析　(1)由题意得200πrh+160πr2=12 000π,

所以h=(300-4r2),

所以V(r)=πr2h=(300r-4r3)(0<r<5).

(2)由(1)知V'(r)=(300-12r2),

令V'(r)=0,得r=5(负值舍去).

当0<r<5时,V'(r)>0,V(r)单调递增;当5<r<5时,V'(r)<0,V(r)单调递减.

所以当r=5时,该蓄水池的体积最大,此时h=8.

19.B　根据定积分的几何意义,知所求的面积为3=3sin x=3,故选B.

20.答案　

解析　作出直线x+y=2,曲线y2=x的草图(如图),所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组得直线x+y=2与曲线y2=x的交点为A(1,1),B(4,-2),

则图形OAC的面积为S1=2=2×=,

图形ACB的面积为S2=[(2-x)+]dx==,

所以所求图形的面积为S=S1+S2=+=.

思想方法练

1.解析　由题可知f'(x)=-+1=(x>0).

①当a≤0时, f'(x)>0恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增;

②当a>0时,令f'(x)>0,得x>,

令f'(x)<0,得0<x<,

∴f(x)在上单调递减,在上单调递增.

2.解析　f'(x)=+2ax=(x>0).

①当a≥0时, f'(x)>0恒成立,故f(x)在(0,+∞)上单调递增, f(x)最多有一个零点,不符合题意;

②当a<0时,令 f'(x)>0得0<x<,令 f'(x)<0得x>,

∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,

且x→0+时, f(x)→-∞;

x→+∞时, f(x)→-∞,

故要使f(x)有两个零点,只需f>0,即ln +a>0,

解得-<a<0.

综上,实数a的取值范围是.

3.D　令g(x)=xf(x)=(2x-1)ex+ax2-a,

则g'(x)=f(x)+xf'(x),

因为对任意x∈(0,+∞),都有f(x)≥-xf'(x)成立,

所以g'(x)=f(x)+xf'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,

即g'(x)=(2x+1)ex+2ax≥0在(0,+∞)上恒成立,

即-2a≤=ex在(0,+∞)上恒成立.

令h(x)=ex,x∈(0,+∞),

则h'(x)=-ex+ex=,

由h'(x)=0得2x2+x-1=0,解得x=-1(舍去)或x=,

所以,当0<x<时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x>时,h'(x)>0,h(x)单调递增.

所以h(x)min=h=4,

因为-2a≤=ex在(0,+∞)上恒成立,

所以只需-2a≤4,解得a≥-2.

4.B　令g(x)=x2f(x),

则g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),

因为2f(x)+xf'(x)>x2,x<0,

所以g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)<x3<0,

所以函数g(x)=x2f(x)在(-∞,0)上单调递减.

因为g(x+2 019)=(x+2 019)2f(x+2 019),g(-2)=4f(-2),

所以(x+2 019)2f(x+2 019)-4f(-2)>0等价于g(x+2 019)-g(-2)>0,

即g(x+2 019)>g(-2),所以x+2 019<-2,解得x<-2 021.

5.解析　(1)易知x>-1,且f'(x)=ex-.

令h(x)=ex-,则h'(x)=ex+>0,

∴函数h(x)=ex-在(-1,+∞)上单调递增,且h(0)=f'(0)=0.

∴当x∈(-1,0)时,h(x)=f'(x)<0, f(x)=ex-ln(x+1)单调递减;

当x∈(0,+∞)时,h(x)=f'(x)>0, f(x)=ex-ln(x+1)单调递增.

∴函数f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+∞).

(2)∵g(x)=f(x)-ax=ex-ln(x+1)-ax,

∴g'(x)=f'(x)-a.

由(1)知,g'(x)在(-1,+∞)上单调递增,

且当x→-1时,g'(x)→-∞;当x→+∞时,

g'(x)→+∞,则g'(x)=0有唯一解x0.

∴当x∈(-1,x0)时,g'(x)<0,g(x)=ex-ln(x+1)-ax单调递减;

当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,g(x)=ex-ln(x+1)-ax单调递增.

∴函数g(x)在x=x0处取得极小值g(x0)=-ln(x0+1)-ax0,且x0满足-=a.

∴g(x0)=(1-x0)-ln(x0+1)+1-.

令φ(x)=(1-x)ex-ln(x+1)+1-,

则φ'(x)=-x.

∴当x∈(-1,0)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增;

当x∈(0,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减.

∴φ(x)max=φ(0)=1.

∴函数g(x)极小值的最大值为1.

6.解析　函数f(x)的导数为f'(x)=x2+ax+2b,

因为f(x)在(0,1)上有极大值,在(1,2)上有极小值,所以方程x2+ax+2b=0有两个不等实根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内.

由二次函数f'(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0的根的分布之间的关系可以得到即

在平面aOb内满足约束条件的点(a,b)所对应的区域为△ABD(不包括边界,如图所示),其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),

则S△ABD=×1×1=.

易知点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,显然∈(kCA,kCB),即∈.

综上,点(a,b)对应的区域的面积为,

的取值范围为.

7.解析　f'(x)=-3x2+6x+9.

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.

x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表:

所以当x=-1时, f(x)有极小值f(-1)=a-5;当x=3时, f(x)有极大值f(3)=a+27.

画出大致图象,要使f(x)的图象与x轴只有一个交点,只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2),

所以a+27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5.

故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}.