人教版新课标A第一章 导数及其应用综合与测试免费精练

第一章　导数及其应用

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(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1.若f'(1)=1,则等于(　　)

A.1　　　　B.-1　　　　C.3　　　　D.

2.曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程是(　　)

A.x-y+1=0 B.2x-y+1=0

C.x-y-1=0 D.x-2y+2=0

3.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为(　　)

A.(1,+∞) B.(1,2)

C.(-∞,3) D.(-∞,1)

4.如图,可导函数y=f(x)的图象在点P(x0, f(x0))处的切线方程为y=g(x),设h(x)=g(x)-f(x),h'(x)为h(x)的导函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.h'(x0)=0,x0是h(x)的极大值点

B.h'(x0)=0,x0是h(x)的极小值点

C.h'(x0)≠0,x0不是h(x)的极值点

D.h'(x0)≠0,x0是h(x)的极值点

5.若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为(　　)

A.a≥3 B.0≤a≤3

C.a≤3 D.0<a<3

6.函数f(x)=x(1-x)2的极值点的个数是(　　)

A.3 B.2 C.1 D.0

7.已知定义在[m,n]上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述中正确的个数是(　　)

①函数f(x)的值域为[f(d), f(n)];

②函数f(x)在[a,b]上递增,在[b,d]上递减;

③函数f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e;

④函数f(x)有两个零点.

A.0 B.1 C.2 D.3

8.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),若函数f(x)在x=1处取得极大值,则函数y=-xf'(x)的图象可能是(　　)

9.已知函数f(x)=x2-2cos x,则f(0), f, f的大小关系是(　　)

A.f(0)<f<f

B.f<f(0)<f

C.f<f<f(0)

D.f(0)<f<f

10.已知函数f(x)的定义域为R, f(1)=7,对任意x∈R, f'(x)>3,则f(x)>3x+4的解集为(　　)

A.(-1,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)

11.已知函数f(x)=+(m+1)ex+2(m∈R)有两个极值点,则实数m的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

12.如图所示,四边形ABCD为边长为2的菱形,∠B=60°,点E,F分别在边BC,AB上运动(不含端点),且EF∥AC,沿EF把平面BEF折起,使平面BEF⊥底面ECDAF,当五棱锥B-ECDAF的体积最大时,EF的长为(　　)

A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知f'(x0)=m,则=　　　　. 

14.曲线f(x)=aln x在点P(e, f(e))处的切线经过点(-1,-1),则a的值为　　　　. 

15.定积分=　　　　. 

16.若定义域为R的函数f(x)满足f'(x)>f(x),则不等式ef(ln x)-xf(1)<0的解集为　　　　(结果用区间表示). 

三、解答题(本大题共6小题,共70分)

17.(10分)已知函数y=x2-x.

(1)求该函数的图象垂直于直线x+y-3=0的切线方程;

(2)求该函数的图象过点(1,-4)的切线方程.

18.(12分)已知函数f(x)=(ax2+bx)ex(a≠0).

(1)若x=0是f(x)的一个极值点,求实数b的值;

(2)若a=2,b=3,求f(x)在区间[-2,0]上的最值.

19.(12分)已知函数f(x)=ln x+ax-1(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)的图象过点(1,0),求证:e-x+xf(x)≥0.

20.(12分)已知函数f(x)=(2x2-4ax)ln x,a∈R.

(1)当a=0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)令g(x)=f(x)+x2,若∀x∈[1,+∞),函数g(x)都有两个零点,求实数a的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=x2+aln x-2x(a∈R).

(1)求f(x)的单调递增区间;

(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且f(x1)-mx2≥0恒成立,求实数m的取值范围.

22.(12分)已知函数f(x)=axln (a∈R)的最大值为(其中e为自然对数的底数), f'(x)是f(x)的导函数.

(1)求a的值;

(2)任取两个不等的正数x1,x2,且x1<x2,若存在正数x0,使得f'(x0)=成立.求证:x1<x0<x2.

答案全解全析

一、选择题

1.C　因为f'(1)=1,

所以

=3

=3f'(1)=3.

故选C.

2.A　对y=xex+1求导,得y'=ex+xex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率为y'x=0=1,

所以曲线y=xex+1在点(0,1)处的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.

3. D　函数f(x)的定义域为(-∞,2),由 f(x)=x+ln(2-x)得f'(x)=,当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,所以令>0,得x>2或x<1,而函数f(x)的定义域为

(-∞,2),所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),故选D.

4.B　由题得h'(x)=g'(x)-f'(x),

∵y=f(x)的图象在点P(x0, f(x0))处的切线方程为y=g(x),∴g'(x0)=f'(x0),即h'(x0)=0.

当x∈(-∞,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,

∴x0是h(x)的极小值点,故选B.

5.A　由题可得f'(x)=3x2-2ax≤0在(0,2)上恒成立,即3x≤2a在(0,2)上恒成立.

又3x<3×2=6,所以2a≥6,所以a≥3.

6.B　f'(x)=(1-x)2-2x(1-x)=3x2-4x+1.

令f'(x)=0,得x1=,x2=1.

当x∈∪(1,+∞)时, f'(x)>0;当x∈时, f'(x)<0.

∴f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,

∴f(x)在x=处取极大值,在x=1处取极小值,即f(x)有两个极值点.

7.B　由题意,根据给定的导函数的图象,可得,

当x∈[m,c)时, f'(x)>0;当x∈(c,e)时, f'(x)<0;当x∈(e,n]时, f'(x)>0.

所以函数f(x)在[m,c)和(e,n]上单调递增,在(c,e)上单调递减,

所以函数f(x)的最小值为f(e)或f(m)中较小的一个,所以①不正确;

函数f(x)在[b,c]上单调递增,在(c,d]上单调递减,所以②不正确;

函数f(x)的极大值点为x=c,极小值点为x=e,所以③正确;

当f(e)>0且f(m)>0时,函数f(x)没有零点,所以④不正确.

综上可知,只有③正确.故选B.

8.B　函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),函数f(x)在x=1处取得极大值,

所以当x>1时, f'(x)<0;x=1时, f'(x)=0;x<1时, f'(x)>0.

所以当x<0时,y=-xf'(x)>0;当0<x<1时,y=-xf'(x)<0;当x=0或x=1时,y=

-xf'(x)=0;当x>1时,y=-xf'(x)>0.

综上,选项B符合题意.

9.A　∵f(x)=x2-2cos x为偶函数,

∴f=f,

∵f'(x)=2x+2sin x,

∴当x∈(0,1)时, f'(x)>0,

∴f(x)在(0,1)上为增函数,

∴f(0)<f<f,

∴f(0)<f<f.故选A.

10.B　令g(x)=f(x)-3x,则g'(x)=f'(x)-3,

因为对任意x∈R, f'(x)>3,

所以g'(x)=f'(x)-3>0对任意x∈R恒成立,

因此,函数g(x)=f(x)-3x在R上单调递增.

又f(1)=7,所以g(1)=f(1)-3=4,

因此不等式f(x)>3x+4可化为g(x)>g(1),所以x>1.

11.A　函数f(x)=+(m+1)ex+2(m∈R),定义域为R,

因为函数f(x)有两个极值点,所以f'(x)=x+(m+1)ex有两个不同的零点,

故关于x的方程-m-1=有两个不同的实数解.

令g(x)=,则g'(x)=,

当x∈(-∞,1)时,g'(x)>0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递增;

当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.

又当x→-∞时,g(x)→-∞,

当x→+∞时,g(x)→0,且g(1)=,

故0<-m-1<,

所以-1-<m<-1.

12.B　由EF∥AC且∠B=60°可知三角形BEF为等边三角形.设EF=x,则等边三角形BEF的高为x,面积为x2,所以五边形ECDAF的面积为2××22-x2=2-x2,故五棱锥B-ECDAF的体积V(x)=××x=x-x3(0<x<2).

V'(x)==1-x2,令V'(x)=0,得x=(负值舍去),且当0<x<时,V'(x)>0,V(x)单调递增,当<x<2时,V'(x)<0,V(x)单调递减,故当x=时,V(x)取得极大值,也是最大值.故选B.

二、填空题

13.答案　-3m

解析　∵f'(x0)=m,

∴原式=-3=-3m.

14.答案　e

解析　由f(x)=aln x得f'(x)=,所以曲线在点P处的切线的斜率为k=.

又当x=e时, f(e)=a,所以点P的坐标为(e,a),

所以切线方程为y-a=(x-e),即y=x.

将点(-1,-1)代入切线方程y=x中,得a=e.

15.答案　π+2

解析　因为表示的是以原点为圆心,2为半径的圆的面积的,

所以=π·22=π.

又=x2=2,

所以=π+2.

16.答案　(0,e)

解析　令g(x)=,

则g'(x)==.

因为f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,

所以函数g(x)为(-∞,+∞)上的增函数.

由ef(ln x)<xf(1),得 < ,

即g(ln x)<g(1),

所以ln x<1,所以0<x<e,

所以不等式的解集是(0,e).

三、解答题

17.解析　(1)设f(x)=x2-x,则f'(x)=2x-1.

∵切线与直线x+y-3=0垂直,

∴切线斜率为1,

令f'(x)=2x-1=1,解得x=1,

又f(1)=0,∴切点为(1,0).

∴切线方程为y=x-1.

(2)设切点为(x0,y0),由(1)知f'(x0)=2x0-1,则切线方程为y-(-x0)=(2x0-1)(x-x0),

∵切线过点(1,-4),

∴-4-(-x0)=(2x0-1)(1-x0),

即-2x0-3=0,

解得x0=-1或x0=3,

∴切点为(-1,2)或(3,6),

∴切线方程为y-2=-3(x+1)或y-6=5(x-3),即3x+y+1=0或5x-y-9=0.

18.解析　(1)f'(x)=[ax2+(2a+b)x+b]ex.

因为x=0是f(x)的一个极值点,

所以f'(0)=b=0,经检验,b=0符合条件.

(2)当a=2,b=3时, f(x)=(2x2+3x)ex,

所以f'(x)=(2x2+7x+3)ex.

令f'(x)=0,得x1=-3,x2=-.

当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减;

当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增.

又f(-2)=>0, f(0)=0, f=-,

所以f(x)在区间[-2,0]上的最大值为,最小值为-.

19.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=+a=.

当a≥0时, f'(x)>0, f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a<0时,由f'(x)=0,得x=-,

若x∈,则 f'(x)>0, f(x)单调递增;

若x∈,则 f'(x)<0, f(x)单调递减.

综上,当a≥0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a<0时, f(x)在上单调递增,在上单调递减.

(2)证明:由函数f(x)的图象过点(1,0),可得a=1,此时f(x)=ln x+x-1.

要证e-x+xf(x)≥0,

即证e-x+ln x+x-1≥0.

令g(x)=e-x+ln x+x-1(x>0),

则g'(x)=-e-x+=,

令h(x)=xex-1,则h'(x)=(x+1)ex,

当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)=xex-1在(0,+∞)上单调递增.

令g'(x)=0,得h(x)=xex-1=0,

又当x→0时,h(x)→-1,当x→+∞时,h(x)→+∞,

故存在x0∈(0,+∞)使得x0=1,此时=,故x0=-ln x0.

当x∈(0,x0)时,g'(x)<0;

当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,

所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.

所以当x=x0时,g(x)有最小值,最小值为g(x0)=+ln x0+x0-1=0,

故e-x+xf(x)≥0成立.

20.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

当a=0时, f(x)=2x2ln x,

则f'(x)=4xln x+2x=2x(2ln x+1),

令f'(x)>0,得2ln x+1>0,解得x>,

令f'(x)<0,得2ln x+1<0,解得0<x<,

所以函数f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+∞).

(2)g(x)=(2x2-4ax)ln x+x2,

则g'(x)=(4x-4a)ln x+2x-4a+2x=4(x-a)·(ln x+1).

由x∈[1,+∞)得ln x+1>0,

①若a≤1,则g'(x)≥0,且只有x=a=1时,g'(x)=0,此时函数g(x)在[1,+∞)上单调递增,

所以g(x)≥g(1),即g(x)≥1,故函数g(x)在[1,+∞)上没有零点,不符合题意.

②若a>1,则当x∈(1,a)时,g'(x)<0,当x∈(a,+∞)时,g'(x)>0,

此时函数g(x)在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,

因为g(1)=1>0,g(2a)=4a2>0,

所以要使函数g(x)在[1,+∞)上有两个零点,只需g(x)min=g(a)=a2(1-2ln a)<0,解得a>.

综上所述,实数a的取值范围为(,+∞).

21.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=2x+-2=.

令2x2-2x+a=0,则Δ=4-8a=4(1-2a).

①当a≥时,Δ≤0,则 f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,且f'(x)不恒为0,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.

②当a<时,Δ>0,方程2x2-2x+a=0的两根分别为x1=,x2=.

当a≤0时,x1<0,x2>0,

x∈(x2,+∞)时, f'(x)>0,f(x)单调递增.

当0<a<时,x1>0,x2>0,

x∈(0,x1)时, f'(x)>0, f(x)的单调递增;

x∈(x2,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.

综上,a≥时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为;

0<a<时,函数f(x)的单调递增区间为和.

(2)由(1)知, f(x)存在两个极值点x1,x2(x1<x2)时,0<a<,且x1+x2=1,x1x2=,则x1+=1,即a=2x1(1-x1),且0<x1<,<x2<1.

此时f(x1)-mx2≥0恒成立,可化为

m≤=

=

=1-x1+2x1ln x1+恒成立.

设g(x)=1-x+2xln x+,x∈,

则g'(x)=-1+2+2ln x-

=+2ln x=+2ln x,

因为0<x<,所以x(x-2)<0,2ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)在上单调递减,

所以g(x)>g=--ln 2,所以实数m的取值范围是.

22.解析　(1)由题意,显然a≠0,

∵f(x)=axln=-axln x,

∴f'(x)=-a(1+ln x),x∈(0,+∞).

令f'(x)=0,解得x=.

①当a>0时,令f'(x)>0,得0<x<;

令f'(x)<0,得x>.

∴f(x)在上单调递增,在上单调递减,

∴f(x)在x=处取得极大值,也是最大值,

∴f(x)max=f=,解得a=1.

②当a<0时,易知与题意不符,故舍去.

综上,a=1.

(2)证明:由(1)知f(x)=-xln x,

则f'(x)=-(1+ln x),

∴f'(x0)=-(1+ln x0),

∴-(1+ln x0)=,即ln x0=--1,

则ln x0-ln x1=--1-ln x1

=-1

=-1

=-1,

设=t,t∈(0,1),

则g(t)=-1=,t∈(0,1),

令h(t)=t-ln t-1,t∈(0,1),

则h'(t)=1-<0,

∴函数h(t)在(0,1)上单调递减,

∴h(t)>h(1)=0,即t-ln t-1>0,

又1-t>0,

∴g(t)>0,即ln x0-ln x1>0,

∴x0>x1.

同理可证x0<x2,∴x1<x0<x2.