高中数学人教版新课标A选修2-22.1合情推理与演绎推理当堂达标检测题

第二章　推理与证明

2.1　合情推理与演绎推理

2.1.2　演绎推理

基础过关练

题组一　演绎推理的意义

1.下列说法正确的是(　　)

A.演绎推理推出的结论一定正确

B.演绎推理是由特殊到一般的推理

C.演绎推理就是合情推理

D.演绎推理是由一般到特殊的推理

2.(2019山西大学附属中学高二月考)下面几种推理过程为演绎推理的是(　　)

A.某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50

B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质

C.平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分

D.在数列{an}中,a1=1,an=,可得a2=1,a3=1,由此归纳出数列{an}的通项公式为an=1

3.(2019广东台山华侨中学高二期中)《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足.”所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是　(　　)

A.类比推理  B.演绎推理

C.归纳推理  D.以上都不对

题组二　三段论推理

4.(2019山西应县一中高二期末)有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线,已知直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a.”其结论显然是错误的,这是因为(　　)

A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误 D.非以上错误

5.(2019辽宁凤城一中高二月考)用①安梦怡是高二(1)班的学生,②安梦怡是独生子女,③高二(1)班的学生都是独生子女,写一个“三段论”形式的推理,则大前提,小前提和结论分别为(　　)

A.②①③ B.②③①

C.①②③ D.③①②

6.有一段演绎推理是这样的:“幂函数y=xa在(0,+∞)上是增函数,已知y=是幂函数,则y=在(0,+∞)上是增函数.”其结论显然是错误的,这是因为(　　)

A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误 D.非以上错误

7.(2019河北鹿泉一中高二月考)有一段“三段论”,其推理是这样的:“对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为函数f(x)=x3满足f'(0)=0,所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.”以上推理(　　)

A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误 D.没有错误

题组三　演绎推理的应用

8.设α,β,γ为两两不重合的平面,l,m,n为两两不重合的直线,给出下列四个命题:

①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;

②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;

③若α∥β,l⊂α,则l∥β;

④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.

其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.(2019北师大附中高二期末)数学老师给出一个定义在R上的函数f(x),甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:

甲:函数在(-∞,0)上单调递减;

乙:函数在[0,+∞)上单调递增;

丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称;

丁:f(0)不是函数的最小值.

老师说:“你们四位同学中恰好有三个人说的正确.”则说法错误的同学是(　　)

A.甲 B.乙

C.丙 D.丁

10.(2019重庆八中高二月考)今年六一儿童节,阿曾和爸爸、妈妈、妹妹小丽来到游乐园玩儿.一家四口走到一个抽奖台前各抽一次奖,抽奖前,爸爸、妈妈、阿曾和小丽对抽奖结果进行了预测,预测结果如下:

妈妈说:“小丽能中奖.”

爸爸说:“我或妈妈能中奖.”

阿曾说:“我或妈妈能中奖.”

小丽说:“爸爸不能中奖.”

抽奖结果揭晓后,一家四口只有一位家庭成员中奖,且只有一位家庭成员的预测结果是正确的,则中奖的是(　　)

A.妈妈 B.爸爸 C.阿曾 D.小丽

11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.”看后甲对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则(　　)

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

12.(2019黑龙江牡丹江一中高二期末)有编号依次为1、2、3、4、5、6的6名学生参加数学竞赛选拔,另有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名.甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜是1号、2号、4号中的一位;丁猜2号、3号、4号都不可能.若以上四位老师只有一位猜对,则猜对者是　　　　(填甲、乙、丙、丁). 

13.已知E、F分别是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,C1D1上的点,且==2,求证:=-.

14.已知函数f(x),对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时, f(x)<0, f(1)=-2.

(1)求证:f(x)为奇函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

15.若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2且n∈N*),a1=.

(1)求证:为等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为矩形,平面PCD⊥平面ABCD,PC⊥PD,PD=AD,E为PA的中点.

(1)求证:PC∥平面BDE;

(2)求证:DE⊥平面PAC.

答案全解全析

基础过关练

1.D　A错,只有前提和推理形式都正确,其结论才一定正确,否则,就不正确;合情推理是由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,所以B,C均错,D正确.

2.C　A是由特殊到一般的推理,是归纳推理,属于合情推理;

B是由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质,是由特殊到特殊的推理,为类比推理,属于合情推理;

C为三段论,是由一般到特殊的推理,是演绎推理;

D为不完全归纳推理,属于合情推理.

3.B　名不正⇒言不顺;言不顺⇒事不成;事不成⇒礼乐不兴;礼乐不兴⇒刑罚不中;刑罚不中⇒民无所措手足,所以名不正⇒民无所措手足,这符合演绎推理的模式.故选B.

4.A　大前提:若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;

小前提:已知直线a⊂平面α,直线b∥平面α;

结论:直线b∥直线a.

因为大前提是错误的,所以该结论是错误的,正确叙述是“若直线平行于平面,过该直线作平面与已知平面相交,则交线与该直线平行”.

5.D　由题意,利用三段论的形式可得演绎推理的过程如下:

大前提:③高二(1)班的学生都是独生子女;

小前提:①安梦怡是高二(1)班的学生;

结论:②安梦怡是独生子女.故选D.

6.A　因为当a<0时,幂函数y=xa是减函数,所以大前提是错误的,所以得到的结论错误.故选A.

7.A　对于可导函数f(x),如果f'(x0)=0,且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数的值异号,那么x=x0是函数f(x)的极值点.

而大前提“对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点”不是真命题,∴大前提错误.

8.B　①α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故①不正确;②不正确,α与β有可能相交;③正确;④利用线面平行的性质定理可知正确.故选B.

9.B　先假设甲、乙的说法正确,由此判断出丙、丁的说法错误,与已知矛盾,由此判断甲、乙两人有一人说法错误,丙、丁的说法正确.而乙、丙的说法相互矛盾,由此确定乙的说法错误.

10.B　由四人的预测可得下表:

①若爸爸中奖,仅有爸爸预测正确,符合题意;

②若妈妈中奖,爸爸、阿曾、小丽预测均正确,不符合题意;

③若阿曾中奖,阿曾、小丽预测均正确,不符合题意;

④若小丽中奖,妈妈、小丽预测均正确,不符合题意.

综上可知,只有爸爸中奖,且只有爸爸一人预测正确.

11.D　由题意可知,甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩,说明乙、丙两人是一位优秀一位良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.

12.答案　丁

解析　若甲老师猜对,其他三位老师全部猜错,则乙老师猜错,即6号获得第一名,这与甲老师的猜测矛盾,这种情况不可能;

若乙老师猜对,其他三位老师全部猜错,则6号不可能,由于甲老师猜错,则3号和5号都不可能,由于丙老师猜错,则1号、2号、4号都不可能,故没有人能获得第一名,这种情况不可能;

若丙老师猜对,其他三位老师全部猜错,则1号、2号、4号中的某一位获得第一名,由于甲老师猜错,则3号和5号都不可能,由于乙老师猜错,则6号获得第一名,矛盾,这种情况不可能;

若丁老师猜对,其他三位老师全部猜错,则1号、5号、6号中的某一位获得第一名,由于甲老师猜错,则3号和5号都不可能,由于乙老师猜错,则6号获得第一名,由于丙老师猜错,则1号、2号、4号都不可能,所以6号获得第一名.

综上,猜对者是丁.

13.证明　如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,连结A1E,FC,作FK∥DD1,交CD于点K,连结AK,则有A1A平行且等于FK,则四边形A1AKF为平行四边形,从而A1F平行且等于AK.

因为==2,所以AE=2EB,C1F=2FD1,所以CK=2KD,所以AE平行且等于CK,所以四边形AECK为平行四边形,

所以AK平行且等于CE,所以A1F平行且等于EC.(传递性关系推理)

因为与方向相反,所以=-.

14.        解析　(1)证明:∵对任意x,y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y)都成立,∴令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=

-f(x),∴f(x)为奇函数.

(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).∵x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)为减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为f(-3),最小值为f(3),

又∵f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6,∴函数f(x)在[-3,3]上的最大值为6,最小值为-6.

15.解析　(1)证明:当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知Sn≠0,所以-=2,

又==2,故是首项为2,公差为2的等差数列.

(2)由(1)可得=2n,所以Sn=,

当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=-=,

上式在n=1时不成立,

所以an=

16.证明　(1)如图,设AC∩BD=O,连结OE.

∵底面ABCD是矩形,∴O是AC的中点,

又E为PA的中点,

∴OE是△PAC的中位线,∴PC∥OE,

又∵PC⊄平面BDE,OE⊂平面BDE,

∴PC∥平面BDE.

(2)∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,AD⊥CD,AD⊂平面ABCD,

∴AD⊥平面PCD,

∵PC⊂平面PCD,∴PC⊥AD.

又∵PC⊥PD,PD⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D,∴PC⊥平面PAD,

∵DE⊂平面PAD,∴PC⊥DE.

∵PD=AD,E是PA的中点,∴DE⊥PA,

又∵PA⊂平面PAC,PC⊂平面PAC,PA∩PC=P,∴DE⊥平面PAC.