高中数学人教版新课标A选修2-23.2复数代数形式的四则运算课时练习

第三章　数系的扩充与复数的引入

3.2　复数代数形式的四则运算

3.2.2　复数代数形式的乘除运算

基础过关练

题组一　复数的乘法及运算律

1.(2019北京朝阳高三二模)复数i(1+i)的虚部为(　　)

A.  B.1 C.0 D.-1

2.(2019广西南宁高二下学期期末)已知i是虚数单位,则(2+i)i=(　　)

A.1+2i B.-1+2i

C.-1-2i D.1-2i

3.(2019安徽合肥一中高考模拟)已知复数z=(1+i)(3-i)(i为虚数单位),则z的虚部为(　　)

A.2 B.2i C.4 D.4i

4.若复数z=(3-6i)(1+9i),则(　　)

A.复数z的实部为21

B.复数z的虚部为33

C.复数等于57-21i

D.在复平面内,复数z对应的点位于第一象限

5.i(2+3i)=(　　)

A.3-2i B.3+2i

C.-3-2i D.-3+2i

6.复数z=(-1+3i)(1-i)在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

7.(2019山东栖霞高考模拟)已知复数z=(a+i)(1-i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y=2x上,则实数a的值为(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.-

8.设z1,z2是两个复数,已知|z1|=2,z2=1+i,且z1z2是纯虚数,求z1.

题组二　复数的除法运算

9.(2020福建南安侨光中学高三月考)已知i是虚数单位,则复数=(　　)

A.1+i   B.-1+i

C.1-i   D.-1-i

10.(2020重庆南开中学高三开学考试)已知复数z,若z的实部为1,且的模为2,则z=(　　)

A.1-i   B.1±i

C.1+i D.1±i

11.(2020重庆一中高三开学考试)已知复数z满足(1-i)z=-i2 019(其中i为虚数单位),则|z|=(　　)

A. B.

C.1 D.

12.(2020江苏启东中学高三开学考试)已知复数z满足(1+i)z=3-4i(i是虚数单位),则|z|=　　　　. 

13.(2020天津武清杨村一中高考模拟)已知i是虚数单位,复数z满足(1+2i)z=5,则z的虚部为　　　　. 

14.(2020天津实验中学高考模拟)已知z1=1+i,z2=1-i(i是虚数单位),则+=　　　　. 

题组三　共轭复数

15.(2020辽宁辽河油田第二高级中学高三月考)复数z=a+bi(a,b∈R)是(2+i)(1+2i)的共轭复数,则a+b=(　　)

A.5 B.-5

C.5i D.-5i

16.(2019河北高三月考)若z=,则z+=(　　)

A.-1 B.1

C.-3 D.3

17.复数z=(i为虚数单位)的共轭复数是(　　)

A.1+i      B.1-i

C.-1+i D.-1-i

18.(2019河南濮阳高三月考)已知i是虚数单位,若2+i=z(1-i),则z的共轭复数对应的点在复平面的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

19.(2019江西临川一中高三月考)若复数z满足|z+3-4i|=2,则z·的最大值为(　　)

A.9 B.81

C.7 D.49

20.(2019天津新华中学高考模拟)设i是虚数单位,若复数z=,则z的共轭复数为　　　　. 

21.(2019天津南开中学高考模拟)若复数z=,则z·=　　　　. 

题组四　复数的混合运算

22.(2019湖南长沙长郡中学高三月考)若i为虚数单位,复数z满足z(1+i)=|1-i|+i,则z的虚部为(　　)

A. B.-1

C.i D.

23.(2019河北唐山开滦第二中学高二下期中)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若(z·)i+2=2z,则z=　　　　. 

24.计算i1+i2+i3+…+i2 019+i2 020(i为虚数单位).

25.已知z=1+i,a,b为实数,i为虚数单位.

(1)若ω=z2+3-4,求|ω|;

(2)若=1-i,求a,b的值.

26.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R,i为虚数单位.若z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2020黑龙江牡丹江一中高三期末,★★☆)复数z=在复平面内对应的点位于(　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限      D.第四象限

2.(2020山东淄博实验中学高三期末,★★☆)已知复数z=,i为虚数单位,则(　　)

A.|z|=i B.=i

C.z2=1 D.z的虚部为-i

3.(2019山东济南历城二中月考,★★☆)复数z=i2 018+(i是虚数单位)的共轭复数对应的点在(　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限   D.第四象限

4.(2019云南师大附中高三月考,★★☆)瑞士数学家欧拉在1748年得到复数的三角方程:eix=cos x+isin x,根据三角方程,计算eπi+1的值为(　　)

A.-1  B.0

C.1  D.i

5.(2019辽宁沈阳高二月考,★★★)复数=A+Bi(m、A、B∈R),且A+B=0,则m的值是(　　)

A.-   B.

C.   D.2

6.(★★★)已知i为虚数单位,且复数z满足z-2i=,则复数z在复平面内对应的点到原点的距离为(　　)

A.   B.

C.   D.

二、填空题

7.(2019湖北黄冈、华师附中等八校联考,★★☆)已知i为虚数单位,若1+2i+是纯虚数,则实数a=　　　　. 

8.(★★☆)定义运算=ad-bc,若复数z满足=-1+2i,则z=　　　　. 

三、解答题

9.(★★★)已知复数z和ω满足|z|-=,且ω2=z,求复数ω.

10.(★★★)已知复数z满足|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限.

(1)求复数z;

(2)若复数ω满足|ω-1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成的图形的面积.

11.(2018上海金山高三二模,★★★)复数z=是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、n∈R)的一个根.

(1)求m和n的值;

(2)若(m+ni)+u=z(u∈C),求u.

答案全解全析

基础过关练

1.B　∵i(1+i)=-1+i,∴i(1+i)的虚部为1.

2.B　(2+i)i=2i-1=-1+2i.

3.A　因为z=(1+i)(3-i)=4+2i,所以z的虚部为2.

4.D　∵复数z=(3-6i)(1+9i)=57+21i,

∴复数z的实部为57,虚部为21,在复平面内,复数z对应的点的坐标为(57,21),位于第一象限.

5.D　i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.

6.A　由题得z=-1+i+3i+3=2+4i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,4),位于第一象限.

7.D　因为z=(a+i)(1-i)=a+1+(1-a)i,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(a+1,1-a),

因为该点在直线y=2x上,所以1-a=2(a+1),解得a=-.故选D.

8.解析　设z1=a+bi(a,b∈R),

∵|z1|=2,

∴=2,即a2+b2=8,①

又z1z2=(a+bi)(1+i)=(a-b)+(a+b)i,且z1z2是纯虚数,

∴②

由①②得,a=b=2或a=b=-2.

∴z1=2+2i或z1=-2-2i.

9.A　===1+i,故选A.

10.D　设z=1+mi(m∈R),

则====2,

解得m=±,∴z=1±i.故选D.

11.B　(1-i)z=-i2 019=i,则z====-+i,

所以|z|==.

12.答案　

解析　∵复数z满足(1+i)z=3-4i(i为虚数单位),

∴z===--i,

∴|z|==.

13.答案　-2

解析　∵(1+2i)z=5,

∴z===1-2i,

∴z的虚部为-2.

14.答案　0

解析　+=+=+=0.

15.B　∵(2+i)(1+2i)=2+5i+2i2=5i=a-bi,∴解得

因此a+b=-5.

16.B　∵z==-i,

∴=+i,∴z+=1.

17.B　z===1+i,

∴z的共轭复数为1-i.

18.D　由2+i=z(1-i),得z===+i,

∴=-i,

则z的共轭复数对应的点的坐标为,在复平面的第四象限.

19.D　由题意可知,复数z对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z·表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|==5,所以z·的最大值为(5+2)2=49,故选D.

20.答案　-i

解析　z====+i,

故z的共轭复数为-i.

21.答案　

解析　z===,∴=,

∴z·=·=.

22.D　z===+i,故z的虚部为.

23.答案　1+i

解析　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,

由(z·)i+2=2z得(a2+b2)i+2=2a+2bi,

∴解得∴z=1+i.

24.解析　∵i1+i2+i3+i4=0,

∴in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*),

∴i1+i2+i3+…+i2 019+i2 020

=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)=0.

25.解析　(1)∵ω=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,∴|ω|=.

(2)∵==1-i,

∴(a+b)+(a+2)i=1+i,

∴解得

26.解析　z1=(-1+i)(1+bi)=-1-bi+i-b=(-b-1)+(1-b)i,z2==·==+i.

因为z1与z2互为共轭复数,

所以解得

能力提升练

一、选择题

1.D　z===-(i-1)=1-i,

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.

2.B　z====-i,所以|z|=1,=i,z2=(-i)2=-1,z的虚部为-1.

3.B　因为z=i2 018+=-1-i,所以 =-1+i,所以对应的点在第二象限.故选B.

4.B　∵eix=cos x+isin x,

∴eπi+1=cos π+isin π+1=-1+1=0.

5.A　因为=A+Bi,所以2-mi=(A+Bi)·(1+2i),即2-mi=(A-2B)+(2A+B)i,由此可得结合A+B=0可解得故选A.

6.B　由z-2i=,得z=2i+=2i+=+i,

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为,该点到原点的距离为=.

二、填空题

7.答案　-2

解析　1+2i+=1+2i+(1-i)=1++i是纯虚数,故1+=0,解得a=-2,此时2-=3≠0.

故答案为-2.

8.答案　1+i

解析　∵=iz+i,∴iz+i=-1+2i,

∴z=1+i.

三、解答题

9.解析　设z=a+bi(a,b∈R),

由|z|-=,得-a+bi===2+2i,

所以解得

所以z=2i.

令ω=m+ni(m,n∈R),由ω2=z,得(m+ni)2=m2-n2+2mni=2i,

所以解得或

所以ω=1+i或ω=-1-i.

10.解析　(1)设z=x+yi(x,y∈R),则z2=x2-y2+2xyi,

由|z|=,z2的虚部为-2,且z在复平面内对应的点在第二象限,

得解得∴z=-1+i.

(2)由(1)知,z=-1+i,

∴====-+i,

∴==,

∴复数ω满足|ω-1|≤.

由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,

∴所求图形的面积为π·=.

11.解析　(1)因为z==--i,所以=-+i,

由题意知:z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nÎR)的两个根,

所以

解得

(2)设u=c+di(c,dÎR),

则(1+i)(c-di)+(c+di)=--i,

即2c+d+ci=--i,

所以解得

所以u=-+i.