高中数学1.1分类加法计数原理与分步乘法计.免费习题

第一章　计数原理

1.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础过关练

题组一　分类加法计数原理的应用

1.(2019陕西西安高二期末)已知完成一项工作可以有两种方法,有5个人只会用第一种方法,另外有4个人只会用第二种方法,若从这9个人中选出1个人完成这项工作,则不同的选法共有(　　)

A.5种   B.4种 C.9种  D.20种

2.如图所示,电路中有4个电阻和一个电流表A,若没有电流通过电流表A,其原因仅为电阻断路的可能情况共有(　　)

A.9种  B.10种 C.11种 D.12种

3.在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼,小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色,每条鱼只能涂一种颜色,两条相邻的鱼不都涂成红色,涂色后,既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为(　　)

A.14  B.16  C.18  D.20

题组二　分步乘法计数原理的应用

4.(2019陕西延安黄陵中学高二期中)将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人只能分得1张,则不同分法的种数是(　　)

A.2 160   B.720  C.240   D.120

5.(2019湖北恩施高二期末)现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,每人限报一个,那么不同的报名方法有(　　)

A.120种   B.5种   C.53种   D.35种

6.已知集合A={1,2,3,4,5},B={5,8,9},现从这两个集合中各选出一个元素组成一个新的双元素集合,则这样的新集合的个数为(　　)

A.8 B.12   C.14   D.15

7.用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色,规定一个区域只能涂1种颜色,且相邻的区域颜色不同,共有　　　种不同的涂色方案(　　) 

A.420  B.180   C.64  D.25

8.将1,2,3,…,9这九个数字填写在如图所示的9个空格中,要求每一行从左到右依次增大,每一列从上到下也依次增大,当数字4固定在中心位置时,填写空格的方法共有　　　　种. 

题组三　两个计数原理的综合应用

9.(2019河北正定第三中学高二月考)已知集合

M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各选一个数作为点的坐标,则这样的坐标可表示为平面直角坐标系中第三、四象限内不同的点的个数为(　　)

A.18   B.10   C.16   D.14

10.(2019安徽巢湖高二月考)现有5种不同的颜色,给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有　　　种方法(　　) 

A.240  B.360  C.420   D.480

11.甲、乙、丙三位志愿者被安排在周一至周五的任意三天中参加某项志愿者活动,若要求每人参加一天且每天至多安排一人,且要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有多少种?

能力提升练

一、选择题

1.(2019黑龙江大庆第十中学高二下学期期中,★★☆)现有4种不同颜色,任选其中几种对如图所示的四个部分进行着色,要求有公共边界的两个部分不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有(　　)

A.144种   B.72种  C.64种  D.84种

2.(2019河南南阳第一中学高二下学期期末,★★☆)6名同学报考A,B,C三所院校,如果每所院校至少有1人报考,则不同的报考方法共有(　　)

A.216种    B.540种

C.729种   D.3 240种

3.(2019吉林蛟河一中高二期中,★★☆)若m,n均为非负整数,在做m+n的运算时各位均不进位(例如:2 019+100=2 119),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n的值称为有序对(m,n)的值,那么值为2 019的“简单的”有序对的个数是(　　)

A.100   B.96  C.60   D.30

4.(2019江西抚州临川第一中学高二下学期期中,★★★)甲,乙,丙,丁,戊五只猴子在一棵枯树上玩耍,它们均不慎失足下落.已知(1)甲在下落的过程中依次撞击到树枝A,B,C;(2)乙在下落的过程中依次撞击到树枝D,E,F;(3)丙在下落的过程中依次撞击到树枝G,A,C;(4)丁在下落的过程中依次撞击到树枝B,D,H;(5)戊在下落的过程中依次撞击到树枝I,C,E,则这9根树枝从高到低不同的次序种数是(　　)

A.23   B.24   C.32   D.33

5.(2019北京东城二中高一下学期期末,★★★)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为(　　)

A.77  B.49   C.45  D.30

二、填空题

6.(2019黑龙江省实验中学高二下学期期中,★★☆)从1,2,3,…,9一共九个数中任意取出三个数,则这三个数互不相邻的取法有　　种.(用数字作答) 

7.(2019浙江杭州第二中学高三仿真考试,★★★)工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺栓固定紧,但不能连续固定相邻的2个螺栓,则不同的固定螺栓方式的种数是　　　　. 

8.(2019河北遵化高二下学期期中,★★★)在五边形ABCDE中,若把顶点A、B、C、D、E各染上红、黄、绿三种颜色中的一种,要求相邻顶点所染的颜色不相同,则不同的染色方法有　　　　种. 

9.(2019江西师大附中高二期末)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={a1,a2,a3},若A⊆S,a1,a2,a3满足a1<a2<a3且a3-a2≤5,那么满足条件的集合A的个数为　　　　. 

三、解答题

10.(★★☆)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,共可得到多少个不同的对数值?

11.(2019湖南岳阳五校高二下学期期中联考,★★★)某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的五面体的6个顶点A,B,C,A1,B1,C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有多少种?

答案全解全析

基础过关练

1.C　会用第一种方法的有5个人,选出1个人完成这项工作有5种选法;会用第二种方法的有4个人,选出1个人完成这项工作有4种选法.由分类加法计数原理知,共有9种不同的选法,故选C.

2.C　1个电阻损坏使得没有电流流过电流表A的情况有1种,2个电阻损坏的情况有5种,3个电阻损坏的情况有4种,4个电阻全损坏的情况有1种,由分类加法计数原理知,共有1+5+4+1=11种可能情况,故选C.

3.D　红色用1次,有6种涂色方法;红色用2次,有10种涂色方法;红色用3次,有4种涂色方法,共有6+10+4=20种涂色方法,故选D.

4.B　将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,可以分三个步骤:

第1步,将第1张门票分给学生,有10种不同分法;

第2步,将第2张门票分给学生,有9种不同分法;

第3步,将第3张门票分给学生,有8种不同分法.

根据分步乘法计数原理,共有10×9×8=720种不同分法,故选B.

5.D　甲同学可以报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组中的任意一个,共有3种选择.同理乙、丙、丁、戊四位同学也各有3种选择,由分步乘法计数原理得,不同的报名方法有3×3×3×3×3=35(种),故选D.

6.C　第一步,从A中选出一个元素,有5种选择;第二步,从B中选出一个元素,有3种选择;第三步,去除元素重复的1个集合,共有5×3-1=14个新集合.

7.B　由题意,依次对A,B,C,D四个区域涂色,则区域A有5种涂法,区域B有4种涂法,区域C有3种涂法,区域D有3种涂法,故共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案,故选B.

8.答案　12

解析　由题意得,数字1在左上角,数字4在中心位置,数字9在右下角,此时2、3只有两种不同的填法,对于它们的每一种填法,5都有两种不同的填法.对于5的每一种填法,6、7、8都只有三种不同的填法,由分步乘法计数原理知,共有2×2×3=12种填法.

9.B　第三、四象限内点的纵坐标为负值,横坐标不为0,故分两种情况讨论.

第一种:取M中的数作为点的横坐标,取N中的数作为点的纵坐标,共有3×2=6个点;

第二种:取N中的数作为点的横坐标,取M中的数作为点的纵坐标,共有4×1=4个点.

综上所述,共有4+6=10个不同的点,故选B.

10.C　当顶点A,C同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×1×3=180(种);当顶点A,C不同色时,顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可选,不同的方法共有5×4×3×2×2=240(种).综上,不同的方法共有180+240=420(种),故选C.

11.解析　分三类:若甲在周一,则乙、丙有4×3=12种排法;

若甲在周二,则乙、丙有3×2=6种排法;

若甲在周三,则乙、丙有2×1=2种排法,

所以不同的安排方法共有12+6+2=20(种).

能力提升练

一、选择题

1.D　根据题意,分3步进行分析:①给“金”着色,有4种结果.②给“榜”着色,有3种结果.③给“题”着色,若其与“榜”同色,则给“名”着色有3种结果;若其与“榜”不同色,则给“题”着色有2种结果,然后给“名”着色有2种结果.综上,共有4×3×(3+2×2)=84种结果,故选D.

2.B　6人随意报考3所院校有36=729种方法,A没人报考的情况有26=64(种),同理B,C没人报考的情况也均为64种,上面将两所学校没人报考的情况重复计数了,A和B都没人报考只有1种情况,A和C,B和C都没人报考的情况也均有1种,故不同的报考方法共有729-3×64+3=540(种),故选B.

3.C　由题意可知,只要确定了m,则n即可确定,进而可确定一个“简单的”有序对(m,n).对于数m,利用分步乘法计数原理,从左到右,第一位数的取法有3种:0,1,2;第二位数的取法有1种:0;第三位数的取法有2种:0,1;第四位数的取法有10种:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.所以值为2 019的“简单的”有序对的个数是3×1×2×10=60.故选C.

4.D　由题意可判断出树枝顺序从高到低依次为G,A,B,C,E,F,还剩下D,H,I的次序未知.

易知树枝I在C之前,有4种可能,而树枝D在B,E之间,H在D之后,

若I在B,C之间,D有3种可能:

①若D在B,I之间,H有5种可能,

②若D在I,C之间,H有4种可能,

③若D在C,E之间,H有3种可能.

若I不在B,C之间,则I有3种可能,此时D有2种可能:

若D在B,C之间,H有4种可能;若D在C,E之间,H有3种可能.

综上所述,共有5+4+3+3×(4+3)=12+21=33种可能,故选D.

5.C　x1的取值可能为-1,0,1,x2的取值可能为-2,-1,0,1,2,x1+x2的不同取值可能为-3,-2,-1,0,1,2,3,同理y1+y2的不同取值可能为-3,-2,-1,0,1,2,3.当x1+x2=-3时,y1只能等于零,此时y1+y2≠±3,多出2个元素,同理x1+x2=3时,y1只能等于零,此时y1+y2≠±3,多出2个元素,一共多出4个元素,故A⊕B中元素的个数为7×7-4=45,故选C.

二、填空题

6.答案　35

解析　按照数字的大小从小到大排列,

以数字1开头的取法有135,136,137,138,139,146,147,148,149,157,158,159,168,169,179,共15种;

以数字2开头的取法有246,247,248,249,257,258,259,268,269,279,共10种;

以数字3开头的取法有357,358,359,368,369,379,共6种;

以数字4开头的取法有468,469,479,共3种;

以数字5开头的取法有579,共1种.

综上所述,共有15+10+6+3+1=35种取法.

7.答案　60

解析　根据题意,第一个可以从6个螺栓里任意选一个,共有6种选择方法,并且每个螺栓被选中的机会是相等的,若第一个选1号螺栓,则第二个可以选3,4,5号螺栓,依次选下去,可以得到10种方法(135246,135264,136425,142536,142635,146253,146352,152463,153624,153642),所以总共有10×6=60种方法.

8.答案　30

解析　首先A选取一种颜色,有3种情况,

如果A的两个相邻顶点B、E颜色相同,有2种情况,这时最后两个相邻顶点C、D也有2种情况;

如果A的两个相邻顶点B、E颜色不同,有2种情况,这时最后两个相邻顶点C、D有3种情况.

故不同的染色方法共有3×(2×2+2×3)=30(种).

9.答案　55

解析　因为a1<a2<a3,A⊆S,所以2≤a2≤7,又a3-a2≤5,所以当a1=1时,a2可以取2、3、4、5、6、7,a3分别可以取3~7、4~8、5~8、6~8、7~8、8;当a1=2时,a2可以取3、4、5、6、7,a3分别可以取4~8、5~8、6~8、7~8、8;当a1=3时,a2可以取4、5、6、7,a3分别可以取5~8、6~8、7~8、8;当a1=4时,a2可以取5、6、7,a3分别可以取6~8、7~8、8;当a1=5时,a2可以取6、7,a3分别可以取7~8、8;当a1=6时,a2可以取7,a3可以取8.所以满足条件的集合A的个数为(5+5+4+3+2+1)+(5+4+3+2+1)+(4+3+2+1)+(3+2+1)+(2+1)+1=55,故答案为55.

三、解答题

10.解析　第一步,取底数,有8种取法;

第二步,取真数,有7种取法.

根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数.

但在这些对数中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值.

11.解析　第一步,在顶点A1,B1,C1上安装灯泡,A1有4种方法,B1有3种方法,C1有2种方法,由分步乘法计数原理可得,共有4×3×2=24种方法.

第二步,从A,B,C中选一个顶点安装第4种颜色的灯泡,有3种方法.

第三步,再给剩余的两个顶点安装灯泡,共有3种方法,由分步乘法计数原理可得,安装方法共有24×3×3=216(种).