人教版新课标A第一章 计数原理综合与测试免费同步达标检测题

专题强化练1　染色问题

一、选择题

1.(2019贵州铜仁第一中学高二上学期期末,★★☆)现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图)涂色,要求相邻的词语涂色不同,则不同的涂法种数为(　　)

A.27  B.54  C.108  D.144

2.(2019浙江杭州萧山第一中学高二下学期期末,★★☆)有6种不同的颜色,给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法种数为(　　)

A.4 320 B.2 880 C.1 440 D.720

3.(2019贵州安顺第一高级中学高二期末,★★☆)如图为一个长方形花圃,被分为A、B、C、D、E五份,种植红、黄、蓝、绿4种颜色的花,要求相邻两区域种植不同颜色的花,则不同的种植方法有(　　)

A.24种        B.48种       C.84种      D.96种

4.(2019辽宁大连高二下学期期末,★★☆)如图所示的五个区域中,中心区域E是一幅图画,现要求在其余四个区域中涂色,有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为(　　)

A.56 B.72 C.64 D.84

5.(★★☆)将正方体ABCD-A1B1C1D1的各面涂色,要求相邻两个面不同色,现在有5种不同的颜色,并且涂好了过顶点A的3个面的颜色,那么其余3个面的涂色方案共有(　　)

A.15种 B.14种 C.13种 D.12种

6.(2019北京东城景山学校高二下学期期中,★★☆)如图,用5种不同颜色给图中标有1、2、3、4的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,且相邻两部分涂不同颜色,则不同的涂色方法共有(　　)

A.160种 B.240种 C.260种 D.360种

7.(2019安徽师范大学附属中学高二期中,★★☆)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方法共有(　　)

A.24种   B.18种   C.16种   D.12种

二、填空题

8.(★★☆)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色,若每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则不同的涂色方法的种数是　　　　. 

9. (★★☆)如图是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合图形,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个图形的颜色不全相同的涂法有　　　　种(用数字作答）.

三、解答题

10.(2019河北石家庄四县七校高二下学期期末教学质量检测,★★★)将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色,从任意一点开始,按逆时针方向依次记录k(k≤n)个点的颜色,称为该圆的一个“k阶色序”,当且仅当两个“k阶色序”对应位置上的颜色至少有一个不相同时,称为不同的“k阶色序”.若某圆的任意两个“k阶色序”均不相同,则称该圆为“k阶魅力圆”.那么“4阶魅力圆”中最多可有的等分点个数是多少?

答案全解全析

一、选择题

1.C　首先给最左边的一块涂色,有4种结果,再给左边第二块涂色,有3种结果,以此类推,第三块有3种结果,第四块有3种结果,

根据分步乘法计数原理,共有4×3×3×3=108种不同的涂法.故选C.

2.A　第一个区域有6种不同的涂色方法,第二个区域有5种不同的涂色方法,第三个区域有4种不同的涂色方法,第四个区域有3种不同的涂色方法,第五个区域有4种不同的涂色方法,第六个区域有3种不同的涂色方法,根据分步乘法计数原理,不同的涂法种数为6×5×4×3×4×3=4 320,故选A.

3.D　区域A、C、D两两相邻,共有=24种不同的种植方法,当区域E与区域A种植相同颜色的花时,区域B有2种不同的种植方法,当区域E与区域A种植不同颜色的花时,区域E有2种不同的种植方法,此时区域B只有1种种植方法,故不同的种植方法有×(2+2×1)=96(种),故选D.

4.D　分两种情况:

(1)A、C不同色(注意:B、D可同色,也可不同色,D只要不与A、C同色即可,所以D可以从剩余的2种颜色中任意取1种颜色),有4×3×2×2=48种涂色方法;

(2)A、C同色(注意:B、D可同色,也可不同色,D只要不与A、C同色即可,所以D可以从剩余的3种颜色中任意取1种颜色),有4×3×1×3=36种涂色方法.

所以共有48+36=84种涂色方法,故选D.

5.C　由题意,设6个面为1对4、2对5、3对6,5种颜色分别为a、b、c、d、e,且1涂a,2涂b,3涂c.

当5种颜色全都使用时,即只有一组对面颜色相同,设1和4同色,则5和6有2种涂法(de或ed),因为3个面各不相同,所以一共有3×2=6种涂法;

当只使用4种颜色时,即有两组对面颜色相同,设1和4同色,2和5同色,则6有2种涂法(d或e),共有3×2=6种涂法;

当只使用3种颜色时,只能是1和4同色,2和5同色,3和6同色,即只有1种涂法.

综上,共有6+6+1=13种涂法,故选C.

6.C　先给1部分涂色,有5种涂色方法,再给2部分涂色,有4种涂色方法,再给3部分涂色,若3部分颜色与2部分相同,则3部分只有1种涂色方法,此时给4部分涂色,有4种涂色方法;若3部分颜色与2部分不相同,则3部分有3种涂色方法,此时给4部分涂色,有3种涂色方法,所以不同的涂色方法一共有5×4×(1×4+3×3)=260(种).故选C.

7.D　先对正三棱锥P-ABC的三个表面染色,有种染色方法,当三棱锥的三个表面确定后,正三棱柱ABC-A1B1C1三个表面有且仅有2种染色方法,所以不同的染色方法共有×2=12(种),故选D.

二、填空题

8.答案　30

解析　先涂前三个圆,再涂后三个圆.每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同,分两类:一类是,前三个圆涂三种颜色,有3×2×1=6种方法,后三个圆也有三种颜色可涂,有2×2=4种方法,此时有6×4=24种不同方法;

另一类是,前三个圆涂两种颜色,后三个圆涂两种颜色,共有3×2=6种方法.

综上可知,所有的涂法有24+6=30(种).

9.答案　6

解析　根据题意,用红、蓝两种颜色为三个图形涂色,每个图形有2种选择,共2×2×2=8种涂法,其中颜色全部相同的有2种,即全部用红色或全部用蓝色,则三个图形的颜色不全相同的涂法有8-2=6(种).

三、解答题

10.解析　“4阶色序”中,每个点的颜色有两种选择,故“4阶色序”共有2×2×2×2=16种选择,一方面,n个点可以构成n个“4阶色序”,故“4阶魅力圆”中的等分点的个数不多于16个;另一方面,若n=16,则必须包含全部共16个“4阶色序”,不妨从(红,红,红,红)开始按逆时针方向确定其他各点的颜色,显然“红,红,红,红,蓝,蓝,蓝,蓝,红,蓝,蓝,红,红,蓝,红,蓝”符合条件,故“4阶魅力圆”中最多可有16个等分点.