数学必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试课后作业题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　多次利用不等式的性质,导致所求代数式范围扩大

1.()已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c的取值范围.

2.()已知1≤a-b≤2且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.易错

易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错

3.(2019安徽宿州期中,)若x<0,则x++2(　易错　)

A.无最大值,有最小值8

B.无最大值,有最小值-4

C.有最大值8,有最小值-4

D.有最大值-4,无最小值

4.(多选)()下列表达式的最小值为2的有(　　)

A.当ab=1时,a+b

B.当ab=1时,+

C.a2-2a+3

D.+

5.(2019湖南岳阳期末,)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,+的最小值为　　　　.易错 

易错点3　忽略二次项系数的符号

6.(2019湖南三湘名校联盟期中,)若∀x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.a≤ B.-<a≤

C.a≥ D.a≤-或a≥

7.()设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)

A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m}

C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n}

8.()一元二次不等式-x2+5x-4>0的解集为　　　　　.深度解析 

9.()若关于x的不等式ax2-6x+a2>0的解集为{x|1<x<m},则a=　　　　,m=　　　　. 

易错点4　在分式不等式中忽略分母不等于0

10.()不等式≥1的解集是(　　)

A. B.

C. D.{x|x<2}

11.()不等式≥0的解集为(　　)

A.{x|x≥-1} B.{x|-1≤x≤1}

C.{x|x≥-1且x≠1} D.{x|x≤-1或x≥1}

12.()解不等式:≤0.易错

思想方法练

一、函数与方程的思想在解不等式中的应用

1.()若不等式<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是(　　)

A.1<m<3 B.m<3

C.m<1或m>2 D.R

2.()已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为,则-cx2+2x-a>0的解集为　　　　. 

二、分类讨论思想在解不等式中的应用

3.()解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0.

4.()解关于x的不等式ax2-x>0(a≠0).

三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用

5.()当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.()已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,

(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?

(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?

(3)方程的两个根都大于0?

7.()已知不等式mx2-mx-1<0.

(1)当x∈R时不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.

四、化归与转化思想在不等式问题中的应用

8.()已知∀x<,4x-2+<m恒成立,求m的取值范围.

9.()已知命题p:∀x∈{x|1≤x≤2},x2-2ax+1>0;命题q:∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0.

(1)若p是真命题,求a的取值范围;

(2)若p,q一真一假,求a的取值范围.

答案全解全析

易混易错练

1.解析　令得

∴9a-c=y-x.

∵-4≤x≤-1,

∴≤-x≤①.

∵-1≤y≤5,∴-≤y≤②.

①和②相加,得-1≤y-x≤20,

∴-1≤9a-c≤20.

2.解析　令4a-2b=λ(a-b)+μ(a+b)(λ,μ∈R),则4a-2b=(λ+μ)a+(μ-λ)b,

所以解得

故4a-2b=3(a-b)+(a+b),

因为1≤a-b≤2,所以3≤3(a-b)≤6.

又2≤a+b≤4,所以5≤4a-2b≤10,

即4a-2b的取值范围是5≤4a-2b≤10.

易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.

3.D　若x<0,则-x>0,∴(-x)+≥2=6,当且仅当-x=,即x=-3时等号成立,∴x++2=-+2≤(-6)+2=-4,∴x++2有最大值-4,没有最小值.故选D.

易错警示　本题易因忽视基本不等式的使用前提而错选A,需注意仔细审题,一旦要使用基本不等式,就马上意识到“一正、二定、三相等”,即正数为前提,和或积为定值,等号成立的条件能否取到.

基本不等式求最值应注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“一正、二定、三相等”的条件.

4.BC　对于选项A,当a,b均为负值时,a+b<0,故最小值不为2;

对于选项B,因为ab=1,所以a,b同号,所以>0,>0,

所以+≥2=2,当且仅当=,即a=b=±1时取等号,故最小值为2;

对于选项C,a2-2a+3=(a-1)2+2,当a=1时,取最小值2;

对于选项D,+≥2=2,

当且仅当=,即a2+2=1时,取等号,但等号显然不成立,

故最小值不为2.故选BC.

5.答案　2;

解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=a·2b≤×=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,∴ab的最大值为2.∵+=·=×≥×=,当且仅当a=b时等号成立,∴+的最小值为.

易错警示　忽视两项和或积为定值而致错.

利用基本不等式求最值,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视两项和为定值的条件.

6.C　当a=0时,原不等式化为-3x≥0,不恒成立,不符合题意;

当a>0时,由二次函数的性质可知,要使ax2-3x+a≥0恒成立,只需满足解得a≥;

当a<0时,由二次函数的图象及性质可知,不符合题意.

综上可得,a的取值范围是a≥.

7.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.

由m+n>0知m>-n,

所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}.

故选B.

8.答案　{x|1<x<4}

解析　原不等式等价于x2-5x+4<0,

因为方程x2-5x+4=0的根为x1=1,x2=4,

所以原不等式的解集为{x|1<x<4}.

陷阱提示　解一元二次不等式时首先要把二次项系数化为正数.

9.答案　-3;-3

解析　由题意知,1,m是关于x的方程ax2-6x+a2=0的两个根,

∴解得或

易知a<0,∴

10.B　由≥1可得-1≥0,

所以≥0,

即≤0,

所以

解得≤x<2.故选B.

11.C　因为(x-1)2≥0,所以原不等式等价于

解得x≥-1且x≠1.故选C.

12.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0.

当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1<x≤0,

此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0};

当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,

此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

易混易错　把含等号的分式不等式化为整式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.

思想方法练

1.A　因为4x2+6x+3=+>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3(x∈R),即2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立,所以Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得1<m<3,故实数m的取值范围是1<m<3.

2.答案　{x|-2<x<3}

解析　由ax2+2x+c>0的解集为,知a<0,且-和是关于x的方程ax2+2x+c=0的两个根.

由根与系数的关系,得解得代入-cx2+2x-a>0并整理,得x2-x-6<0,解得-2<x<3.所以-cx2+2x-a>0的解集为{x|-2<x<3}.

3.解析　原不等式等价于<0.

①当a>0时,>-,原不等式的解集为;

②当a<0时,<-,原不等式的解集为;

③当a=0时,原不等式的解集为⌀.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为;当a<0时,原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为⌀.

4.解析　(1)∵a≠0,∴关于x的方程ax2-x=0的两个根为x1=0,x2=.

当a>0时,>0,此时不等式的解集为;

当a<0时,<0,此时不等式的解集为.

综上,当a>0时,原不等式的解集为;

当a<0时,原不等式的解集为.

5.答案　

解析　由题知Δ=a2+8>0,且-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.

由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5范围内有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.

6.解析　(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.

因此a的取值范围是{a|a<1}.

(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,

即解得-3<a<0.因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.

(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,即解得0<a≤1.因此a的取值范围是{a|0<a≤1}.

7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;

②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4<m<0.

综上可知,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}.

(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;

②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3}不等式恒成立,由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,

只需在x=1,x=3时的函数值均为负即可,

即解得m<,此时0<m<;

③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,此时m∈R,所以m<0符合题意.

综上所述,实数m的取值范围是.

8.解析　∵x<,∴5-4x>0,∴4x-2+=-+3≤-2+3=1,

当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,

故当x=1时,4x-2+取得最大值1.依题意得1<m,因此,m的取值范围是{m|m>1}.

9.解析　(1)当1≤x≤2时,x2-2ax+1>0⇔2ax<x2+1⇔2a<+x,

又x+≥2=2,当且仅当x=,即x=1时取等号,

∴x+的最小值为2.

依题意得2a<2,即a<1.

因此,a的取值范围是{a|a<1}.

(2)假设q为真,可得Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3.

由(1)知,当p为真时,a<1.

∵p,q一真一假,

∴当p真q假时,a的取值范围是-1≤a<1;

当p假q真时,a的取值范围是a>3.

综上,a的取值范围是{a|-1≤a<1或a>3}.