人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示同步测试题

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

基础过关练

题组一　函数的概念及其表示

1.函数y=f(x)的图象与直线x=a(a∈R)的交点(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.至多有一个

B.至少有一个

C.有且仅有一个

D.有两个以上

2.(2020广东佛山一中高一上第一次段考)下列哪个函数与y=x相同(　　)

A.y=()2 B.y=

C.y= D.y=

3.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的是(　　)

题组二　函数的定义域与区间表示

4.若周长为定值a的矩形,它的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是(　　)

A.(a,+∞) B.

C. D.

5.已知函数f(x)的定义域为[-2,1],则函数f(3x-1)的定义域为(　　)

A.(-7,2) B.

C.[-7,2] D.

6.(2020河南洛阳一高高一上月考)若函数f(x)= 的定义域为M,g(x)= 的定义域为N,则M∩N=(　　)

A.[-1,+∞) B.

C. D.

7.(2020广东东莞高一上期末)函数y=+的定义域是　　　　　.(结果写成集合或区间的形式) 

8.已知函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a的取值范围.

题组三　函数值及函数的值域

9.(2019浙江温州十校高一上期末)已知函数f(x)=,则f(x)的值域是(　　)

A. B.

C. D.(0,+∞)

10.已知函数f(x)=ax2-1,a为正数,且f(f(-1))=-1,那么a的值是(　　)

A.1 B.0 C.-1 D.2

11.(2020北京丰台高一上期中联考)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的值域为　　　　.  

12.已知函数f(x)=x2+x-1.

(1)求f(2), f ;

(2)若f(x)=5,求x的值.

能力提升练

题组一　函数的概念及其应用

1.(2020广西南宁三中高一上月考,)下列四组函数都表示同一个函数的是(　　)

A. f(x)=,g(x)=x

B. f(x)=x,g(x)=

C. f(x)=,g(x)=·

D. f(x)=|x+1|,g(x)=

2.(多选)()下列各组函数表示同一个函数的是 (　　)

A. f(x)=与g(x)=x

B. f(x)=x0与g(x)=

C. f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1

D.y=·与y=

3.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)若集合A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},其中m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B是从定义域A到值域B的一个函数,则m+a=　　　　. 

题组二　函数的定义域与区间表示

4.(2019山东泰安一中高一上检测,)函数 f(x)=的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.[3,+∞) B.[3,4)∪(4,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,4)

5.(2020河南南阳一中高一上月考,)已知函数f(x-2)的定义域为[0,2],则函数f(2x-1)的定义域为(　　)

A.[-2,0] B.[-1,3]

C. D.

6.(2020吉林长春第二中学高一期中,)已知f(x)的定义域为[-2,2],且函数g(x)=,则g(x)的定义域为(　　)

A. B.(-1,+∞)

C.∪(0,3) D.

7.(2020甘肃兰州一中高一月考,)若函数f(x)=的定义域为R,则实数m的取值范围是(　　)

A.[0,8) B.(8,+∞)

C.(0,8) D.(-∞,0)∪(8,+∞)

8.(2020天津六校高一上期中联考,)已知函数f(x)=-的定义域为集合A,集合B={x|1<x<8},C={x|a<x<2a+1}.

(1)求(∁RA)∩B;

(2)若A∪C=A,求实数a的取值范围.

题组三　函数值及函数的值域

9.(2019湖南雅礼浏阳二中高一上月考,)设函数f(x)=,则当f(x)=2时,x的值为(　　)

A.-4 B.4

C.-10 D.10

10.()已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),且f(1)=2,则f(-3)等于(　　)

A.2 B.3

C.6 D.9

11.(2020河北定州中学高一上期中,)函数y=2x+的值域是(　　)

A.(-∞,2] B.

C. D.[2,+∞)

12.(多选)()若函数y=在区间[-2,-1]上有意义,则实数a可能的取值是(　　)

A.-1 B.1

C.3 D.5

13.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)函数y=2-的值域是　　　　. 

答案全解全析

基础过关练

1.A　由函数的定义可知,若函数y=f(x)在x=a处有意义,则函数图象与直线x=a有一个交点;若函数y=f(x)在x=a处无意义,则函数图象与直线x=a没有交点,故函数图象与直线x=a至多有一个交点.

2.C　由同一个函数的定义域和对应关系都要相同,可知满足题意的只有选项C.故选C.

3.D　由函数的定义可知,对定义域内的任意一个变量x,都存在唯一确定的函数值y与之对应.A中,当x=0时,有两个y与x对应;B中,当x>0时,有两个y与x对应;C中,当x=0时,有两个y与x对应;D中,对任意x都只有唯一的y与之对应.故选D.

4.D　依题意知,矩形的一边长为x,则该边的邻边长为=-x,由得0<x<,故这个函数的定义域是.

5.D　设3x-1=t,由函数f(x)的定义域为[-2,1],得函数f(t)的定义域为[-2,1],即-2≤t≤1,因此-2≤3x-1≤1,解得-≤x≤,故选D.

6.B　要使函数f(x)=有意义,则1-2x>0,解得x< ,所以M=,

要使函数g(x)=有意义,则x+1≥0,解得x≥-1 ,所以N=[-1,+∞),

因此M∩N=,故选B.

7.答案　{x|x≤5,且x≠1}

解析　依题意得⇒∴x≤5,且x≠1.因此函数的定义域为{x|x≤5,且x≠1}.

8.解析　要使函数y=(a<0,且a为常数)有意义,需满足ax+1≥0.

又∵a<0,∴x≤-,∴函数y=(a<0,且a为常数)的定义域为.

∵函数y=(a<0,且a为常数)在区间(-∞,1]上有意义,

∴(-∞,1]⊆,

∴-≥1,∴-1≤a<0.

故实数a的取值范围是[-1,0).

9.C　由于x2≥0,所以x2+2≥2,所以0<≤,故选C.

10.A　∵f(x)=ax2-1,∴f(-1)=a-1,f(f(-1))=f(a-1)=a·(a-1)2-1=-1,

∴a(a-1)2=0.又∵a为正数,∴a=1.

11.答案　[-4,3]

解析　由题图易知函数的值域为[-4,3].

12.解析　(1)f(2)=22+2-1=5,

f=+-1=.

(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,

解得x=2或x=-3.

能力提升练

1.D　对于A选项,函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为R, f(x)==|x|≠g(x),

A选项中的两个函数不是同一个函数;对于B选项,函数y=f(x)的定义域为R,函数y=g(x)的定义域为{x|x≠0},定义域不相同,B选项中的两个函数不是同一个函数;对于C选项,函数y=f(x)的定义域为{x|x≥2或x≤-2},函数y=g(x)的定义域为{x|x≥2},定义域不相同,C选项中的两个函数不是同一个函数;对于D选项,函数y=f(x)和y=g(x)的定义域均为R,且f(x)=|x+1|=D选项中的两个函数为同一个函数.故选D.

2.BC　在A中,函数f(x)与g(x)的定义域都为{x|x≤0}, f(x)=-x,g(x)=x,对应关系不同,故f(x)与g(x)不是同一个函数;在B中, f(x)=x0=1(x≠0),g(x)==1(x≠0),对应关系与定义域均相同,故是同一个函数;在C中, f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1,对应关系和定义域均相同,故是同一个函数;在D中,对于函数y=·,由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1},对于函数y=,由(x+1)(x-1)≥0,解得x≥1或x≤-1,故定义域为{x|x≥1或x≤-1},显然两个函数的定义域不相同,故不是同一个函数.故选BC.

3.答案　7

解析　∵A={0,1,3,m},B={1,4,a4,a2+3a},m∈N*,a∈N*, f:x→y=3x+1,

∴f(0)=1, f(1)=4, f(3)=10, f(m)=3m+1.

当a4=10时,a=± 不满足a∈N*,

当a2+3a=10时,a=2或a=-5(舍去),故a=2.

因此f(m)=3m+1=a4=16,∴m=5,

从而m+a=7,故答案为7.

4.B　要使函数f(x)有意义,需满足即

因此函数f(x)的定义域为{x|x≥3,且x≠4}.故选B.

5.D　∵函数f(x-2)的定义域为[0,2],即0≤x≤2,∴-2≤x-2≤0,

即函数f(x)的定义域为[-2,0].

则-2≤2x-1≤0,∴-≤x≤.

故函数f(2x-1)的定义域为.

故选D.

6.A　要使函数g(x)=有意义,需满足即

∴-<x≤3.

因此函数g(x)的定义域为,故选A.

7.A　∵函数f(x)的定义域为R,∴不等式mx2-mx+2>0的解集为R.

①m=0时,2>0恒成立,满足题意;

②m≠0时,则解得0<m<8.

综上可得,实数m的取值范围是[0,8).

故选A.

8.解析　(1)由得2≤x<6,

∴A={x|2≤x<6}.

因此∁RA={x|x<2或x≥6},

∴(∁RA)∩B={x|x<2或x≥6}∩{x|1<x<8}={x|1<x<2或6≤x<8}.

(2)∵A∪C=A,∴C⊆A.

①若C=⌀,则a≥2a+1,∴a≤-1;

②若C≠⌀,则解得2≤a≤.

综上所述,实数a的取值范围为.

9.C　由f(x)==2,解得x=-10,经检验,x=-10符合题意.

10.C　解法一:定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),

令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,

解得f(0)=0;

令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1)-2,

解得f(-1)=0;

令x=y=-1,得f(-2)=f(-1)+f(-1)+2,

解得f(-2)=2;

令x=-2,y=-1,得f(-3)=f(-2)+f(-1)+4,解得f(-3)=6.

解法二:因为f(1)=2,所以f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=6,

所以f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)+2×1×2=12.

令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)+0,即f(0)=0,所以f(0)=f(3+(-3))=f(3)+f(-3)+2×3×(-3)=0,所以f(-3)=6.

11.B　令=t,则x=1-t2,且t≥0,

∴y=-2t2+t+2=-2+(t≥0).

作出函数y=-2t2+t+2的图象(如图),由图象知,y=2x+的值域为.故选B.

12.AB　函数y=在区间[-2,-1]上有意义,等价于+1≥0在区间[-2,-1]上恒成立,由x<0,得a≤-x在区间[-2,-1]上恒成立,∴a≤1,故选AB.

13.答案　[0,2]

解析　∵-x2+4x=-(x-2)2+4≤4,且-x2+4x≥0,∴0≤-x2+4x≤4,∴0≤≤2,∴-2≤-≤0,∴0≤2-≤2,故函数y=2-的值域是[0,2].