高中数学3.2 函数的基本性质随堂练习题

3.2.2　奇偶性

基础过关练

题组一　函数奇偶性的概念及其图象特征

1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　

A.-1 B.1   C.0   D.2

2.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(　　)

A.(a,-f(a))    B.(-a,-f(a))

C.(-a,-f(-a)) D.(a, f(-a))

3.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　)

4.(2020北京通州高一上期末)能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=　　　. 

5.(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;

(2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.

题组二　函数奇偶性的判定

6.已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　)

A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.是非奇非偶函数

7.(2019四川雅安中学高一上第一次月考)下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是(　　)

A.y=|x| B.y=3-x

C.y= D.y=-x2+4

8.若函数f(x)=则f(x)(　　)

A.是偶函数

B.是奇函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

9.判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=+;

(2)f(x)=;

(3)f(x)=

题组三　函数奇偶性的综合运用

10.已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则(　　)

A.m=0,n=0 B.m=-3,n=0

C.m=1,n=0 D.m=3,n=0

11.(2020广西柳州二中高一上月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=(　　)

A.20 B.12 C.-20 D.-12

12.(2020广东珠海高一上期末学业质量检测,)已知函数f(x)为R上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数, f(5)=0,则xf(x)>0的解集是　　　　　　　. 

13.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　. 

14.(2020广东湛江一中高一上期中)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=　　　　. 

15.(2019天津南开高一上期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x.

(1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象;

(2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域.

能力提升练

题组一　函数奇偶性的概念及其图象特征

1.()已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是(　　)

A.4 B.2 C.1 D.0

2.(多选)()若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是(　　)

A.f(x)+f(-x)=0 B.f(x)-f(-x)=2f(x)

C.f(x)·f(-x)<0 D.=-1

3.()f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示.

(1)画出f(x)的图象;

(2)解不等式xf(x)>0.

题组二　函数奇偶性的判定

4.(2020黑龙江哈三中高一上第一次阶段性验收,)下列函数是偶函数的是(　　)

A.f(x)=x3- B.f(x)=

C.f(x)=(x-1) D.f(x)=|2x+5|+|2x-5|

5.()已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为(　　)

A.奇函数 B.偶函数

C.奇函数或偶函数 D.非奇非偶函数

6.()已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是(　　)

A.奇函数

B.偶函数

C.既是奇函数,也是偶函数

D.既不是奇函数,也不是偶函数

7.(多选)()设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)

A.|f(x)|g(x)是奇函数

B. f(x)|g(x)|是奇函数

C. f(x)+|g(x)|是偶函数

D.|f(x)|+g(x)是偶函数

题组三　函数奇偶性的综合运用

8.(2020河北承德一中高一上月考,)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则(　　)

A.f<f(-1)<f(2)

B.f(-1)<f<f(2)

C.f(2)<f(-1)<f

D.f(2)<f<f(-1)

9.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,2] D.[1,3]

10.(2020河南郑州高一上期末,)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为(深度解析)

A.-1 B.1 C.2 D.0

11.(2020江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2--2,则f(2)=(　　)

A.- B.

C.-3 D.

12.(2019四川成都高一上期末调研,)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)>f(x-a)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

13.(2019天津河西高一上期末,)(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集;

(2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集.

14.(2020安徽师大附中高一上月考,)已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;

(3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

15.(2020山东菏泽高一上期末联考,)已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若函数f(x)在(0,)上单调递增,试求p的最大值.

16.()设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R.

(1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗?请说明你的理由;

(2)若f(x)是偶函数,求a的值;

(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间.深度解析

答案全解全析

基础过关练

1.A　因为该奇函数的定义域为{-1,2,a,b},且奇函数的定义域关于原点对称,所以a与b中一个等于1,一个等于-2,所以a+b=1+(-2)=-1,故选A.

2.B　∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a),

∴点(-a,-f(a))在函数y=f(x)的图象上.

3.B　选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.故选B.

4.答案　(答案不唯一)

解析　举出x=0不在定义域内的奇函数即可,如f(x)=,答案不唯一.

5.解析　(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2.

(2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3).

6.B　∵x∈(-a,a),其定义域关于原点对称,且F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x),∴F(x)是偶函数.

7.A　选项A中,函数y=|x|为偶函数,且在区间(0,1)上为增函数,故A符合题意;选项B中,函数y=3-x为非奇非偶函数,且在区间(0,1)上为减函数,故B不符合题意;选项C中,函数y=为奇函数,且在区间(0,1)上为减函数,故C不符合题意;选项D中,函数y=-x2+4为偶函数,在区间(0,1)上为减函数,故D不符合题意.

8.B　 作出函数f(x)的图象,如图所示,可以看出该图象关于原点对称,故f(x)为奇函数.

9.解析　(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1,

因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0.

∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x),

∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,

∴f(x)是非奇非偶函数.

(3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D,

当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x);

当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

10.B　由f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,得n=0.又函数的定义域为[m+1,-2n+2],所以m+1=2n-2,则m=-3.

11.B　由题意得f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12.

12.答案　(-∞,-5)∪(5,+∞)

解析　∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.∵f(x)在(-∞,0)上是增函数, f(5)=0,∴f(x)在(0,+∞)上是增函数, f(-5)=0.可大致用图象表示:

∵xf(x)>0等价于x与f(x)同号,且均不为0,∴结合图象知解集是(-∞,-5)∪(5,+∞).

13.答案　5

解析　因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得a=5.

14.答案　1

解析　由题意可得f(1)+g(1)=f(-1)-g(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.

15.解析　(1)∵x≥0时, f(x)=x2-2x,

∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x,

∴f(-x)=f(x)=x2+2x.

故函数f(x)的解析式为

f(x)=

函数f(x)的图象如图所示.

(2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞).

能力提升练

1.D　因为y=f(x)是偶函数,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)=0的所有实数根之和为0.

2.AB　∵f(x)在R上为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0,故A正确; f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x),故B正确;当x=0时,f(x)·f(-x)=0,故C不正确;当x=0时,的分母为0,无意义,故D不正确.

3.解析　(1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示.

(2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2).

4.D　在选项A中,f(x)=x3-(x≠0), f(-x)=-x3+,f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项B中,f(x)==(-1≤x≤1,x≠0),f(-x)=, f(-x)=-f(x),是奇函数;在选项C中,f(x)=(x-1)·(-1≤x<1),是非奇非偶函数;在选项D中,f(x)=|2x+5|+|2x-5|(x∈R), f(-x)=|-2x+5|+|-2x-5|=|2x+5|+|2x-5|, f(x)=f(-x),是偶函数,故选D.

5.B　依题意得F(x)的定义域为R,且F(-x)=(-x3+2x)f(-x)=(x3-2x)f(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,故选B.

6.A　令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),

所以f(0)=0.

又因为f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,故选A.

7.BD　A中,令h(x)=|f(x)|g(x),则h(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|·g(x)=h(x),∴A中函数是偶函数,A错误;B中,令h(x)=f(x)|g(x)|,则h(-x)=f(-x)·|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h(x),∴B中函数是奇函数,B正确;C中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C错误;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正确.故选BD.

8.D　由f(x)是偶函数且在(-∞,-1]上单调递增,得f(x)在[1,+∞)上单调递减, f=f,f(-1)=f(1),又因为2>>1,所以f(2)<f<f(1),即f(2)<f<f(-1),故选D.

9.C　因为f(x)为奇函数,且f(1)=-1,所以f(-1)=1,

所以-1≤f(x-1)≤1等价于f(1)≤f(x-1)≤f(-1).

由函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,可得-1≤x-1≤1,解得0≤x≤2.

故选C.

10.D　∵f(x)是R上的奇函数, f(1)=1,

∴f(-1)=-f(1)=-1, f(0)=0.

依题意得f(3)=f(-1+4)=-f(1)=-1,

f(4)=f(0+4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(1)=1.

因此, f(3)+f(4)+f(5)=-1+0+1=0,故选D.

陷阱提示　在有关奇函数f(x)的求值问题中,要注意当f(x)在x=0处有意义时, f(0)=0这个特殊情况,否则可能会出现已知条件不足,导致问题解决不了的情况.

11.A　∵f(x)+g(x)=x2--2①,

∴f(-x)+g(-x)=(-x)2--2=x2--2,

又∵函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,

∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),

∴f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=x2--2②,

联立①②消去g(x),得f(x)=-+,

∴f(2)=-+=-.故选A.

12.答案　(3,+∞)

解析　由已知条件画出函数f(x)的图象(图中实线部分),若对任意的x∈R,不等式 f(x)>f(x-a)恒成立,则函数f(x)的图象始终在函数f(x-a)的图象的上方.

当a<0时,将函数f(x)的图象向左平移,不能满足题意,故a>0,

将函数f(x)图象向右平移时的临界情况是当D点与B点重合,且临界情况不满足题意,

由图可知,向右平移的a个单位长度应大于6,即a>6,解得a>3,故答案为(3,+∞).

13.解析　(1)由题知f(x)为奇函数,且在R上是增函数,

则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1).

(2)由题知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,

则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2,

即不等式的解集为(-1,2).

14.解析　(1)因为函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,得b=0.

又知f=,所以=,解得a=1,所以f(x)=.

(2)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-=,

由于-1<x1<x2<1,所以-1<x1x2<1,即1-x1x2>0,

所以>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数.

(3)因为f(x)是奇函数,

所以f(-x)=-f(x),

所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),即f(t-1)<f(-t),

又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数,

所以解得0<t<,

即原不等式的解集为.

15.解析　(1)因为函数f(x)=是奇函数,所以f(x)=-f(-x),

即=-,化简得a=0,

所以f(x)=.

(2)f(x)==-=-·,任取x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,

则=

=

=

=-·

=-·.

因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0.

当x1,x2∈(0,]时,x1x2-2<0,从而>0;当x1,x2∈[,+∞)时,x1x2-2>0,从而<0.

因此f(x)在(0,]上是增函数, f(x)在[,+∞)上是减函数.

由题知f(x)在(0,]上单调递增,所以的最大值为,即p的最大值为2.

16.解析　(1)我同意王鹏同学的观点.

理由如下:

假设f(x)是奇函数,

则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3,

可得f(a)+f(-a)=0,

即a2-2|a|+3=0,

显然a2-2|a|+3=0无解,

∴f(x)不可能是奇函数.

(2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a),

即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0.

经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数.

(3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,

由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞).

解题模板　利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明.