人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）习题

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4.5.3　函数模型的应用
基础过关练
题组一　利用已知函数模型解决问题
1.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)= cx,x0)台,需另投入成本y1万元.若年产量不足80台,则y1=12x2+40x;若年产量不小于80台,则y1=101x+8 100x-2 180.每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的设备能全部售完.
(1)写出年利润y(万元)关于年产量x(台)的关系式;

(2)当年产量为多少台时,该企业所获利润最大?








题组二　建立函数模型解决问题
4.(2019湖南醴陵一中高一上期中,)某种放射性元素,每年在前一年的基础上按相同比例衰减,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下(　　)
A.0.015克 B.(1-0.5%)3克
C.0.925克 D.1000.125 克
5.(2019辽宁沈阳五校协作体高一期中,)为了落实国务院“提速降费”的要求,某市移动公司欲下调移动用户消费资费.已知该公司共有移动用户10万人,人均月消费50元.经测算,若人均月消费下降x%,则用户人数会增加x8万人.
(1)若要保证该公司月总收入不减少,试求x的取值范围;
(2)为了布局“5G网络”,该公司拟定投入资金进行5G网络基站建设,投入资金方式为每位用户月消费中固定划出2元进入基站建设资金,若使该公司总盈利最大,试求x的值.(总盈利资金=总收入资金-总投入资金)









6.()国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,飞机票价格为900元/张;若旅行团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,每张飞机票价格就减少10元,直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?





题组三　拟合函数模型解决问题
7. (2020北京人大附中高一上期中,)如图是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象,若用黑点表示吴老师家的位置,则吴老师散步行走的路线可能是(　　)


8.(2020河北石家庄二中高一上月考,)如图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象.

图①

图②

图③
由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的方案,根据图①上点A、点B以及射线AB上的点的实际意义,用文字说明图②方案是　　　　,图③方案是　　　　. 
9.(2020辽宁大连高一上期中,)某纪念章从2019年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价(单位:y元)与上市时间(单位:x天)的数据如下:
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=ax+b.
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.







10.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)中国的钨矿资源储量丰富,在全球已经探明的钨矿产资源储量中占比近70%,居全球首位.中国又属赣州钨矿资源最为丰富,其素有“世界钨都”之称.某科研单位在研发钨合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值与这种新合金材料的含量x(单位:克)的关系为:当0≤x4,则由题意可得c4=30,ca=5,
解得c=60,a=144,故选C.
2.C　当x=1时,由3 000=alog3(1+2)得a=3 000,所以到2025年冬,即第7年,y=3 000×log3(7+2)=6 000.故选C.
3.解析　(1)由题图可知该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系,于是设y=kx+b(k≠0).
∵点(3,600),(5,500)在其图象上,
∴3k+b=600,5k+b=500,解得k=-50,b=750,
∴y=-50x+750(3≤x≤12).
(2)设该商品每天的利润为w元.由题意知w=(-50x+750)(x-3)-300,
整理得w=-50(x2-18x+51)=-50[(x-9)2-30].
∵x∈[3,12],∴当x=9时,w取得最大值,最大值为1 500.
故当销售单价定为9元时,该商品每天的利润最大.
4.解析　设广告费为x万元时,广告效益为y万元,销售额为t万元.由题意可设t=kx(k>0),则y=t-x=kx-x.
∵当x=100时,t=1 000,∴1 000=10k,解得k=100,
∴t=100x,∴y=100x-x.
令x=m,则m≥0,y=100m-m2=-(m-50)2+2 500,
∴当m=50,即x=2 500时,y取得最大值,为2 500.
∴该企业投入2 500万元广告费时,能获得最大的广告效益.
5.A　设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,
又进行两次降价后的价格为
1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,∴n>lg3lg1.2=lg3lg3-1+2lg2≈6.03,又n为整数,∴n的最小值为7,又2 019+7=2 026,∴从2026年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.
8.答案　y=22-6x(011)
解析　根据题意得函数关系式为y=22-6x(011).
9.解析　(1)根据题意,得45p0=p0e-k,
∴e-k=45,∴p(t)=p045t.
(2)由p(t)=p045t≤11 000p0,得45t≤10-3,两边取对数并整理得t(1-3lg 2)≥3,∴t≥30.
因此,至少还需过滤30个小时.
10.B　由题中表格可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析选项可知B符合,故选B.
11.答案　甲
解析　对于甲:x=3时,y=32+1=10,
对于乙:x=3时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好.
12.解析　(1)由题意得,当0≤x≤100时,y=0.57x;
当x>100时,y=100×0.57+(x-100)×0.5=0.5x+7,
则y关于x的函数关系式为
y=0.57x,0≤x≤100,0.5x+7,x>100.
(2)由x=120>100,得y=67,即应交电费67元.
(3)1月用电:因为76>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=76得x=138;
2月用电:因为63>0.57×100=57,所以x>100,由0.5x+7=63得x=112;
3月用电:因为45.6