高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试复习练习题

专题强化练6　复合函数问题的解法

一、选择题

1.(2020黑龙江大庆实验中学高一上月考,)函数y=的单调递增区间为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.(1,+∞)    B.

C. D.

2.(2020河北唐山一中高一上期中,)若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上单调递减,则a的取值范围为(　　)

A.[1,2)    B.[1,2]

C.[1,+∞) D.[2,+∞)

3.(2020河南郑州高一上期末,)已知f(2x)=x+3,若f(t)=3,则t=(深度解析)

A.16 B.8  C.4 D.1

4.(2020安徽安庆高一上期末,)已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1. 若对任意的x1,x2∈R且x1<x2,有>-3,则不等式f[log2(3x-2)]<log216-3log2(3x-2)的解集为(　　)

A. B.

C. D.

5.(多选)(2020山东泰安一中高一上期中,)下列结论中不正确的有(　　)

A.函数f(x)=的单调递增区间为

B.函数f(x)=为奇函数

C.函数y=的单调递减区间是(-∞,1)和(1,+∞)

D.>1是x<1的必要不充分条件

二、填空题

6.(2019吉林一中高一上期中,)函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为　　　　. 

7.(2019四川蓉城名校联盟高一上期中联考,)设函数f(x)=,则f(x)的单调递增区间为　　　　. 

8.(2019浙江嘉兴一中高一上期中,)已知函数y=f(x)是定义在R上的单调函数,对于任意的x∈R, f[f(x)-2x]=3恒成立,则f(2)=　　　　. 

三、解答题

9.(2019山西大学附中高一上期中,)若-1≤x≤2,求函数y=-3×2x+5的最大值和最小值,并求出取得最值时x的值.

10.(2020山西长治二中高一上期中,)已知函数f(x)=log3.

(1)若m=4,n=4,求函数f(x)的定义域和值域;

(2)若函数f(x)的定义域为R,值域为[0,2],求实数m,n的值.

答案全解全析

一、选择题

1.D　设u(x)=2x2-3x+1,图象的对称轴方程为x=,

则u(x)在上单调递减,在上单调递增,

而函数y=的底5∈(1,+∞),

所以u(x)的单调性与y=的单调性相同,

即y=在上单调递减,在上单调递增,故选D.

2.A　令u=x2-2ax+1+a,则f(u)=lg u,

u=x2-2ax+1+a=(x-a)2-a2+a+1,故其图象的对称轴为直线x=a,如图所示:

由图象可知,当a≥1时,u=x2-2ax+1+a在区间(-∞,1]上单调递减.

又真数x2-2ax+1+a>0,二次函数u=x2-2ax+1+a在(-∞,1]上单调递减,

故只需当x=1时,x2-2ax+1+a>0,

则x∈(-∞,1]时,真数x2-2ax+1+a>0,

将x=1代入,

解得a<2,

所以a的取值范围是[1,2),故选A.

3.D　令2x=t得, f(t)=f(2x)=x+3=3,解得x=0,∴t=20=1,故选D.

陷阱分析　解决此类求值问题,不需求出函数的解析式,可直接利用自变量相等、函数值相等列出方程(组)解题.解题时要避免求解析式,以防造成解题困难或错误.

4.C　不等式>-3可化为f(x1)-f(x2)<-3(x1-x2),

即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2,则函数F(x)=f(x)+3x是R上的增函数,又F(1)=f(1)+3=1+3=4,于是不等式f[log2(3x-2)]<log216-3log2(3x-2)可化为F[log2(3x-2)]<F(1),所以log2(3x-2)<1,即0<3x-2<2,解得<x<,故选C.

5.CD　在A中,由y=是减函数,u=x2-x在上也是减函数知, f(x)的单调递增区间为,A正确;在B中, f(x)的定义域为R, f(-x)===-f(x),因此f(x)是奇函数,B正确;在C中,y=在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递减,C错误;在D中,>1⇔0<x<1,因此>1是x<1的充分不必要条件,D错误.故选CD.

二、填空题

6.答案　

解析　令u=2x,由x∈(-∞,2]得0<u≤4.

此时,y=u2-u+9=+(0<u≤4),∴ymin=,ymax=21,

∴函数y=4x-2x+9,x∈(-∞,2]的值域为.

7.答案　(-∞,1]

解析　设u=|x-1|,则y=.

∵y=是减函数,u=|x-1|在[1,+∞)上单调递增,在(-∞,1]上单调递减,∴y=在(-∞,1]上是增函数.

因此,y=的单调递增区间是(-∞,1].

8.答案　5

解析　∵y=f(x)在R上是单调函数,且f[f(x)-2x]=3,

∴f(x)-2x是常数,设f(x)-2x=t,

则f(x)=2x+t,且f(t)=3.因此2t+t=3.

设g(t)=2t+t,则g(t)在R上单调递增,

且g(1)=21+1=3,因此g(t)=3有唯一解,且t=1.

从而f(x)=2x+1,∴f(2)=22+1=5.

三、解答题

9.解析　依题意得y=×(2x)2-3×2x+5,

令2x=t,由-1≤x≤2得≤t≤4.

又y=t2-3t+5=(t-3)2+,

∴当t=3时,y有最小值,此时x=log23;

当t=时,y有最大值,此时x=-1.

10.解析　(1)解法一:若m=4,n=4,

则f(x)=log3.

由>0,

得x2+2x+1>0,解得x≠-1,

故函数f(x)的定义域为{x|x≠-1}.

f(x)=log3,

当x=0时,f(x)=log34,

当x≠0且x≠-1时,

f(x)=log3
,

而x+∈(-∞,-2)∪[2,+∞),

所以4+∈(0,4)∪(4,8],则f(x)=log3∈(-∞,log34)∪(log34,log38],

所以函数f(x)的值域为(-∞,log38].

解法二:定义域为{x|x≠-1}.令t=,则(t-4)x2-8x+t-4=0.

当t=4时,x=0符合.

当t≠4时,上述方程要有解且x≠-1,则解得0<t<4或4<t≤8.

所以0<t≤8,则值域为(-∞,log38].

(2)由于函数f(x)的定义域为R,则>0恒成立,即mx2+8x+n>0恒成立,则即令t=,由于f(x)的定义域为R,值域为[0,2],则t∈[1,9],且(t-m)x2-8x+t-n=0有解,则由Δ=64-4(t-m)(t-n)≥0,可解得t∈[1,9],故t=1和t=9是方程64-4(t-m)(t-n)=0,即t2-(m+n)t+mn-16=0的两个根,则解得符合题意.

所以m=5,n=5.