2021学年5.2 三角函数的概念同步训练题

5.2.2　同角三角函数的基本关系

基础过关练

题组一　利用同角三角函数的基本关系求值

1.若sin α=,0<α<,则cos α=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B. C.- D.

2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B.- C. D.

3.(2020河北唐山高一上期末)已知cos α=,α是第四象限角,则tan α的值是(　　)

A. B.- C. D.-

4.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sin θcos θ的值为(　　)

A. B.- C. D.-

5.已知sin α+cos α=,则sin αcos α=　　　　. 

6.已知cos α=-,且tan α>0,则=　　　　. 

题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明

7.化简的结果为(　　)

A.sin 50°-cos 50° B.cos 50°-sin 50°

C.sin 50°+cos 50° D.-sin 50°-cos 50°

8.(2019四川雅安高一上期末检测)若α为第三象限角,则+的值为(　　)

A.3 B.-3 C.1 D.-1

9.化简-的结果是　　　　. 

10.求证:=.

题组三　正、余弦齐次式的求值问题

11.(2019安徽宿州十三所重点中学高一上期末)设角α的终边过点P(1,-2),则的值是(　　)

A.-4 B.-2 C.2 D.4

12.已知=,则tan θ的值为(　　)

A.-4 B.- C. D.4

13.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则=　　　　. 

14.已知tan α=,求下列各式的值:

(1)+;

(2);

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.

15.已知2cos2α+3cos αsin α-3sin2α=1,α∈-,-π.求:

(1)tan α;

(2).

能力提升练

题组一　利用同角三角函数的基本关系求值

1.(2020北京丰台高一上期末,)已知cos α=-,且α为第二象限角,那么tan α=(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.- C. D.-

2.()设tan 160°=k,则sin 160°=(　　)

A. B. C. D.

3.(2019黑龙江哈三中高一上模块检测,)已知sin α-cos α=-,则tan α+的值为(　　)

A.-4 B.4 C.-8 D.8

4.(2020河北石家庄二中高一上期末,)已知0<α<,ln(1+cos α)=s,ln=t,则ln(sin α)=(　　)

A.s-t B.s+t

C.(s-t) D.(s+t)

5.(多选)(2020山东淄博高一上期末,) 已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　易错　)

A.θ∈ B.cos θ=-

C.tan θ=- D.sin θ-cos θ=

6.()已知-<x<,sin x+cos x=.

(1)求的值;

(2)求sin x-cos x的值.

题组二　正、余弦齐次式的求值问题

7.(2020天津一中高一上期末,)已知=5,则sin2α-sin αcos α的值是(　　)

A. B.- C.-2 D.2

8.(2020山东临沂外国语学校高一上期末,)若θ为第四象限角,则-可化简为(　　)

A.2tan θ B.- C.-2tan θ D.

9.(2019广西南宁三中高一期末,)若=,则sin2α-sin αcos α-3cos2α=(　　)

A. B. C. D.

10.(2020北京一一中学高一上期末,)若tan θ=3,则2sin2θ-sin θcos θ-cos2θ=　　　　. 

11.(2019四川攀枝花高一上质量监测,)已知角α的终边经过点(-3,4),则=　　　　 . 

12.(2020黑龙江鹤岗一中高一期末,)求证:

(1)-=sin α+cos α;

(2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵sin α=,0<α<,∴cos α===,故选D.

2.B　∵sin α=,∴cos2α=1-sin2α=1-=,

∴sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=-=-.

3.D　∵cos α=,α为第四象限角,

∴sin α=-=-,

则tan α==-.故选D.

4.A　由sin4θ+cos4θ=,得(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=,∴sin2θcos2θ=.

∵θ是第三象限角,

∴sin θcos θ>0,∴sin θcos θ=.

5.答案　-

解析　∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=,即sin2α+2sin αcos α+cos2α=,

即1+2sin αcos α=,∴sin αcos α=-.

6.答案　-

解析　由cos α=-<0,tan α>0,知α是第三象限角,所以sin α=-,

故=

=sin α(1+sin α)=×

=-.

7.A　

=

=

=|sin 50°-cos 50°|=sin 50°-cos 50°.

故选A.

8.B　∵α为第三象限角,

∴sin α<0,cos α<0,

∴原式=+=+=-1-2=-3. 故选B.

9.答案　-

解析　原式=

===-.

10.证明　证法一:

左边=

=

=

=

===右边,

∴原等式成立.

证法二:∵右边==,

左边==

=

=,

∴左边=右边,故原等式成立.

11.A　由题意得,tan α=-2,则=2tan α=-4.故选A.

12.A　==,解得tan θ=-4.

13.答案　10

解析　根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义,可以求得tan α=,所以====10.

14.解析　(1)+=+,将tan α=代入,得原式=+=.

(2)==,将tan α=代入,得原式=.

(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α

=

=,将tan α=代入,得原式==.

15.解析　(1)2cos2α+3cos αsin α-3sin2α

=

==1,

即4tan2α-3tan α-1=0,

解得tan α=-或tan α=1.

∵α∈-,-π,

∴α为第二象限角,

∴tan α<0,∴tan α=-.

(2)∵tan α=-,

∴原式==

==.

能力提升练

1.D　∵cos α=-,且α为第二象限角,

∴sin α==,则tan α==-,故选D.

2.B　∵tan 160°==k,

∴sin 160°=kcos 160°.

又∵sin2160°+cos2160°=1,

∴(kcos 160°)2+cos2160°=1,

∴cos2160°=.

又160°是第二象限角,

∴cos 160°<0,

∴cos 160°=-,

∴sin 160°=kcos 160°=-.

故选B.

3.C　sin α-cos α=-⇒(sin α-cos α)2=⇒1-2sin αcos α=⇒sin αcos α=-,

∴tan α+=+==-8.故选C.

4.C　依题意得s-t=ln(1+cos α)+ln(1-cos α)=ln(1-cos2α)=ln(sin2α),

∵0<α<,∴sin α>0,

∴s-t=2ln(sin α),即ln(sin α)=(s-t),故选C.

5.ABD　由题知sin θ+cos θ=,①

∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,

∴2sin θcos θ=-<0.

又∵θ∈(0,π),

∴<θ<π,sin θ-cos θ>0.

∵(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=,

∴sin θ-cos θ=.②

联立①②,得

∴tan θ=-.

故选ABD.

易错警示　sin θ+cos θ,sin θ·cos θ,sin θ-cos θ三者之中知道一个的值可以求出另外两个的值,解题时要注意开方时符号的选择,选择符号要用好角的范围,防止范围用错导致符号错误.

6.解析　(1)∵sin x+cos x=,

∴1+2sin xcos x=,即sin xcos x=-.

∴=

=

=sin xcos x=-.

(2)由(1)知sin xcos x=-<0.

又∵-<x<,

∴cos x>0,sin x<0,

∴sin x-cos x=-

=-=-.

7.A　由=5知=5,

∴tan α=2.

∴sin2α-sin αcos α=

=,

把tan α=2代入,得原式=.故选A.

8.D　∵θ为第四象限角,

∴sin θ<0,

∴-

=-

=-

=-

=

=

===.

故选D.

9.C　==,∴tan α=-3,

∴sin2α-sin αcos α-3cos2α

=

===.

10.答案　

解析　∵tan θ=3,

∴2sin2θ-sin θcos θ-cos2θ

=

==.

故答案为.

11.答案　

解析　由题意得tan α=-,

∴====.

12.证明　(1)∵左边=-=-=-=-==sin α+cos α=右边,∴原式成立.

(2)∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α,

右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+2tan2α+cos2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α,∴左边=右边,∴原式成立.