数学必修 第一册5.5 三角恒等变换第2课时达标测试

第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题

1.cos 的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B. C. D.

2.sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值是(　　)

A.- B.- C. D.

3.(2020天津南开中学高一上期末)若tan α=3,tan β=5,则tan(α-β)的值为(　　)

A.- B.- C. D.-

4.(2020山东滨州高一上期末)=　　　　. 

5.已知cos θ=,则sin的值为　　　,sin的值为　　　　. 

6.已知α,β均为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求cos的值;

(2)求sin β的值.

7.已知tan=,tan=2,求:

(1)tan的值;

(2)tan(α+β)的值.

题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题

8.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,且-<α<,-<β<,则α+β的值为(　　)

A. B.- C.或- D.-或

9.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为　　　　. 

10.如图是由三个正方形拼接而成的长方形,则α+β+γ等于　　　　. 

11.设α,β为钝角,且sin α=,cos β=-,则α+β的值为　　　　. 

题组三　利用两角和与差的三角函数公式进行化简

12.已知α+β=,则(1+tan α)·(1+tan β)=(　　)

A.-1 B.-2

C.2 D.3

13.下列四个式子是恒等式的是(　　)

A.sin(α+β)=sin α+sin β

B.cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

C.tan(α-β)=

D.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β

14.在△ABC中,若tan B=,则这个三角形是(　　)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等腰三角形或直角三角形

15.下列式子的结果为的有　　　　(填序号).  

①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°;

②2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°);

③.

16.“在△ABC中,cos Acos B=　　　　+sin Asin B”,已知横线处是一个实数.甲同学在横线处填上一个实数a,这时C是直角;乙同学在横线处填上一个实数b,这时C是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c,这时C是钝角.则实数a,b,c的大小关系是　　　　　　　.  

能力提升练

题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值问题

1.(2019福建三明高一期末,) 已知α为钝角,且sin=,则cos=(　　)

A. B.

C.- D.

2.(2020河南高三期末,)已知-<α-β<,sin α+2cos β=1,cos α-2sin β=,则sin=(　　)

A. B. C. D.

3.(2020吉林五地六校高一上期末联考,)若0<α<,-<β<0,cos=,cos=,则cos=(　　)

A. B.- C. D.-

4.(2020河北邢台高一期末,)已知tan(α+β)=1,tan(α-β)=7,则tan 2β=　　　　.  

5.(2020浙江温州九校联盟高一上期末,)已知cos=,且α∈,则sin=　　　,sin α=　　　. 

6.(2020山西大同一中高一阶段检测高一期末,)已知sin=,-<α<,求:

(1)cos的值;

(2)cos α的值.

题组二　利用两角和与差的三角函数公式解决求角问题

7.(2020天津一中高一上期末,)已知0<β<α<,点P(1,4)为角α的终边上一点,且sin α·sin+cos αcos=,则角β=(　　)

A. B. C. D.

8.()已知△ABC中,B=60°,且+=-,若A>C,则角A的大小为　　　　. 

9.(2020河南林州一中高一上期末,)已知tan(α-β)=-7,cos α=-,其中α∈(0,π),β∈(0,π).求:

(1)tan β的值;

(2)α+β的值.

10.(2019浙江宁波高一期末,)如图,在平面直角坐标系xOy中,角α,β的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点.

(1)求cos(α+β)的值;

(2)若α∈,β∈,求2α-β的值.

题组三　利用两角和与差的三角函数公式进行化简

11.(2020安徽安庆高一上期末,)已知在△ABC中,sin A=2sin Bcos C,则此三角形一定为(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.钝角三角形

12.(2020广西桂林高一期末,)若角A为不等边三角形ABC的最小内角,则函数f(A)=的值域为　　　　.深度解析 

答案全解全析

基础过关练

1.C　cos =-cos =-cos

=-

=-=.

2.B　原式=-sin 65°sin 55°+sin 25°sin 35°

=-cos 25°cos 35°+sin 25°sin 35°

=-cos(35°+25°)=-cos 60°=-,故选B.

3.A　∵tan α=3,tan β=5,∴tan(α-β)===-,故选A.

4.答案　

解析　原式=tan(80°-20°)=tan 60°=.

5.答案　;

解析　因为cos θ=,

所以sin θ==,

所以sin=sin θcos+cos θsin

=×=,

sin=sin θcos-cos θsin

=×-×=.

6.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,∴cos α==,

∴cos=cos αcos +sin αsin=×+×=.

(2)∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π),

由cos(α+β)=,得

sin(α+β)==,

∴sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos (α+β)sin α=×-×=.

7.解析　(1)tan

=tan+

=

==-.

(2)tan(α+β)=tan

=

==2-3.

8.B　由一元二次方程根与系数的关系得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4,∴tan α<0,tan β<0,

∴tan(α+β)===,

又-<α<,-<β<,且tan α<0,tan β<0,

∴-π<α+β<0,∴α+β=-.

9.答案　

解析　由(tan α-1)(tan β-1)=2,

可得tan α+tan β+1=tan αtan β,

所以tan(α+β)==-1.

由α,β是锐角,可得α+β∈(0,π),

所以α+β=.

10.答案　

解析　由题图易知tan α=,tan β=,γ=,∴tan(α+β)==1,

∴由题意知α+β=,所以α+β+γ=.

11.答案　

解析　∵<α<π,<β<π且sin α=,cos β=-,

∴cos α=-,sin β=,且π<α+β<2π,

∴cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-×-×=-=.

∵π<α+β<2π,∴α+β=.

12.C　∵α+β=,∴tan(α+β)=1,∴(1+tan α)·(1+tan β)=1+(tan α+tan β)+tan α·tan β=1+tan (α+β)·(1-tan α·tan β)+tan α·tan β=1+1-tan α·tan β+tan α·tan β=2.

13.D　 由两角和与差的正弦、余弦、正切公式可知,A,B,C中的等式不一定成立.选项D中,sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β.故选D.

14.B　 ∵在△ABC中,A+B+C=π,∴tan B===,

即=,化简得cos(B+C)=0,即cos (π-A)=0,∴cos A=0.

∵0<A<π,∴A=,又无法判断B是否等于C,∴△ABC为直角三角形.

15.答案　①②③

解析　 ①tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35°=tan 60°(1-tan 25°tan 35°)+tan 25°·tan 35°=;②2(sin 35°cos 25°+sin 55°·cos 65°)=2(sin 35°cos 25°+cos 35°·sin 25°)=2sin(35°+25°)=;

③==tan 60°=.

16.答案　b<a<c

解析　 由题意,横线处的实数等于cos(A+B),即cos(π-C),故当C是直角时,a=cos(A+B)=cos =0;当C是锐角时,-1<b=cos(A+B)<0;当C是钝角时,0<c=cos(A+B)<1.故b<a<c.

能力提升练

1.C　∵α为钝角,且sin=,

∴cos=-,

∴cos=cos

=coscos-sinsin

=-×-×=-.

2.A　将sin α+2cos β=1,cos α-2sin β=两个等式两边分别平方再相加,得5+4sin(α-β)=3,∴sin(α-β)=-,∵-<α-β<,∴α-β=-,即α=β-,代入sin α+2cos β=1,得sin=1,即sin=.

3.C　cos=cos -=coscos+sinsin,

易知+α∈,-∈,又cos=,cos=,所以sin=,sin=,

则cos=×+×=,故选C.

4.答案　-

解析　tan 2β=tan [(α+β)-(α-β)]

===-.

5.答案　-;-

解析　由0<α<得-<α-<0,所以sin=-=-,

sin α=sin=sin·cos+cossin=-.

6.解析　(1)cos=cosα+-=sin=.

(2)由(1)知sin=,-<α<,

∴0<α+<,

∴cos==,

∴cos α=cos=cosα+·cos+sinsin=.

7.D　由题意知|OP|=7(O为坐标原点),

∴sin α=,cos α=.

由sin αsin+cos αcos+β=,

得sin αcos β-cos αsin β=,

∴sin(α-β)=.

∵0<β<α<,

∴0<α-β<,

∴cos(α-β)==,

∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin(α-β)=×-×=.

∵0<β<,∴β=,故选D.

8.答案　105°

解析　由B=60°,得A+C=120°.

设=α,∵A>C,∴0°<α<60°,

∴A=+=60°+α,C=-=60°-α,

∴+=+

=+

==.

由题意得=-=-2,

整理得4cos2α+2cos α-3=0,

即(2cos α-)(2cos α+3)=0.

∵2cos α+3≠0,∴2cos α-=0.

∴cos α=,故α=45°.

∴A=60°+45°=105°.

9.解析　(1)因为cos α=-,α∈(0,π),所以sin α==,

因此tan α==-2,

故tan β=tan[α-(α-β)]

==.

(2)易知tan(α+β)===-1.

因为cos α=-<0,α∈(0,π),所以α∈,

因为tan β=>0,β∈(0,π),所以β∈,

从而α+β∈,因此α+β=.

10.解析　(1)由A,B-,,得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,

则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.

(2)由已知得cos 2α=cos(α+α)=cos α·cos α-sin αsin α=-,sin 2α=sin αcos α+cos αsin α=.

∵cos 2α<0,α∈,∴2α∈.∵β∈,∴2α-β∈.

∵sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β

=×-×=-,

∴2α-β=-.

11.C　∵A+B+C=π,∴A=π-(B+C).

由已知可得sin(B+C)=2sin Bcos C⇒sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C⇒

sin Bcos C-cos Bsin C=0⇒sin(B-C)=0.

∵0<B<π,0<C<π,∴-π<B-C<π.

∴B=C.又无法判断其是不是锐角三角形,直角三角形或等边三角形,所以△ABC一定为等腰三角形.

12.答案　(0,-1]

解析　由已知得A∈,设t=sin A+cos A,

则t=sin A+cos A=sin∈(1,],2sin Acos A=t2-1,

于是f(A)===t-1∈(0,-1].

陷阱分析　解决同时含sin x±cos x与sin xcos x形式的函数的最大(小)值问题时,常用换元法,即令t=sin x±cos x,若t=sin x+cos x,则t=sin,且sin xcos x=.解题时要注意t的范围,不能默认t∈R.