高中数学第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第3课时精练

第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

基础过关练

题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题

1.的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.- B.-

C. D.

2.的值是(　　)

A. B.-

C.2 D.-2

3.(2019福建福州八县(市)协作校高一上期末联考)下列各式中与相等的是(　　)

A.sin 2-cos 2 B.cos 2-sin 2

C.cos 2 D.-cos 2

4.sin4-cos4=(　　)

A.- B.-

C. D.

5.的值是(　　)

A.sin 2 B.-cos 2

C.-sin 2 D.-cos 2

题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题

6.已知x∈,cos x=,则tan 2x等于(　　)

A. B.-

C. D.-

7.已知=,则sin 2x=(　　)

A.- B.-

C. D.

8.(2020天津河西高一上期末)已知cos α=,α∈,则sin 2α=　　　　. 

9.等腰三角形一个底角的余弦值为,那么这个三角形顶角的正弦值为　　　　. 

题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用

10.化简·cos 28°的结果为(　　)

A.sin 28° B.sin 28°

C.2sin 28° D.sin 14°cos 28°

11.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.

12.已知函数f(x)=2cos,x∈R.

(1)求f(π)的值;

(2)若f=,α∈,求f(2α)的值.

能力提升练

题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题

1.(2020黑龙江牡丹江一中高一上期末,)若tan·cos=sin-msin,则实数m的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.2 B.

C.2 D.3

2.(2020北师大附中高一上期末,)计算-的结果是(　　)

A.-4 B.-2

C.2 D.4

3.(多选)()下列各式中,值为的是(　　)

A.2sin 15°cos 15° B.1-2sin215°

C.sin215°+cos215° D.

4.(2019四川攀枝花高一上高中教学质量监测,)sin 50°的值为　　　　. 

5.(2019吉林五地六校高一上期末,)4cos 50°-tan 40°=　　　　. 

题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题

6.(2019四川资阳高一期末,)若sin=,则sin 2θ=(　　)

A. B.

C. D.±

7.(2019山西晋中高三适应性考试,)若sin=,则sin=(　　)

A. B. C. D.

8.(2019四川宜宾高一上期末,)若tan=,则tan 2α+=　　　　. 

9.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)若=4,则(sin θ)2 015+(cos θ)2 016的值为　　　　.深度解析 

10.()已知<α<π,sin α=.

(1)求tan 2α的值;

(2)求cos的值.

11.(2020四川雅安高一上期末,)已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求sin的值;

(2)求cos β的值.

题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用

12.(2019浙江杭州地区(含周边)重点中学高一上期末,)已知函数f(x)=+,则f(x)的最大值为(　　)

A.+ B. C.2 D.

13.(2020天津南开中学高一上期末,)设0≤x<2π,且=sin x-cos x,则(　　)

A.0≤x≤ B.≤x≤

C.≤x≤ D.≤x≤

14.(多选)(2020河北石家庄二中高一上期末,)已知0<θ<,若sin 2θ=m,cos 2θ=n,且m≠n,则下列选项中与tan恒相等的为(　　)

A. B. C. D.

15.()已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β.

求证:tan α+tan β=2tan 2β.

16.(2020北京东城高一上期末,)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,以角α的终边为始边,逆时针旋转得到角β.

(1)求tan α的值;

(2)求cos(α+β)的值.

17.(2019浙江衢州五校高一期末联考,)已知角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线y=2x上.

(1)求cos的值;

(2)已知α∈,sin=,-<β<0,求α-β的值.

答案全解全析

基础过关练

1.D　原式=cos2-sin2=cos=.

2.D　===-2.

故选D.

3.A　==|cos 2-sin 2|,又2弧度角的终边在第二象限,

∴sin 2>0,cos 2<0,

∴=sin 2-cos 2,故选A.

4.B　原式=sin2-cos2=-=-cos=-.

5.D　原式===-cos 2.

6.D　∵cos x=,x∈,

∴sin x=-,∴tan x=-,

∴tan 2x===-.

故选D.

7.A　∵=,∴=,∴cos x+sin x=,∴1+sin 2x=,

∴sin 2x=-.

8.答案　-

解析　因为cos α=,α∈,所以sin α=-,故sin 2α=2sin αcos α=-.

9.答案　

解析　设A是等腰△ABC的顶角,

则cos B=,

sin B===.

所以sin A=sin(180°-2B)=sin 2B

=2sin Bcos B=2××=.

10.A　原式=tan 28°cos 28°=sin 28°,故选A.

11.证明　左边=-

=

=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2A·cos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,

∴原等式成立.

12.解析　(1)f(π)=2cos

=-2cos =-2×=-.

(2)因为f=2cos=-2sin α=,所以sin α=-.

又α∈,所以cos α===,

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=2cos2α-1=2×-1=.

所以f(2α)=2cos

=2cos 2αcos+2sin 2αsin

=2××+2××=.

能力提升练

1.A　由tancos=sin-msin得,msincos=sincos-cos·sin,

因此msin=sin=sin,

∴m=,即m=2,故选A.

2.A　-

=-=-

=

=

==

==-4.故选A.

3.BD　A不符合,2sin 15°cos 15°=sin 30°=;B符合,1-2sin215°=cos 30°=;C不符合,sin215°+cos215°=1;D符合,=·=·tan 30°=.故选BD.

4.答案　1

解析　原式=sin 50°

=sin 50°·

=2sin 50°·

===1.

5.答案　

解析　4cos 50°-tan 40°

=

==

=

=

==.

6.C　若sin=,

则sin=-,

∴sin 2θ=cos=1-2sin2=1-2×=.

7.D　由题意及诱导公式可得sin+2α=cos-=cos,

又由余弦的倍角公式,可得cos=1-2sin2=1-2×=,

即sin=.

8.答案　2

解析　由tan==,可求得tan α=,

则tan 2α+=+===2,

故答案是2.

9.答案　1

解析　∵=4,

∴cos2θ+2cos θ-3=0,

解得cos θ=1或cos θ=-3(舍去).

从而sin2θ=1-cos2θ=0,即sin θ=0.

∴(sin θ)2 015+(cos θ)2 016=0+1=1.

解题模板　解决这类问题时,首先将不同的角化为相同的角,再将不同的三角函数名称化为相同的三角函数名称,如本题中的等式通过这样的变形后化为了一元二次方程求解,这是解决三角函数问题的基本途径.

10.解析　(1)由题意得cos α=-,∴tan α=-,∴tan 2α===.

(2)∵cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-,sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

∴cos=cos 2αcos +sin 2αsin=-×+×=-.

11.解析　(1)sin=-cos 2α=2sin2α-1=-.

(2)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==.

易知α+β∈(0,π),且cos (α+β)=,

∴sin(α+β)==.

∴cos β=cos [(α+β)-α]

=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α

=×+×=.

12.C　∵cos x=2cos2-1=1-2sin2,

∴f(x)=+

=+

≥

=2,

当=1时, f(x)有最大值,最大值为2,故选C.

13.B　依题意得

=

=|sin x-cos x|=sin x-cos x,

∴

解得≤x≤.

故选B.

14.AD　tan======.

∴tan==,即A,D正确.

选项B中,==tan θ,选项B不正确,

同理选项C错误,故选AD.

15.证明　因为tan(α-β)=sin 2β,

tan(α-β)=,

sin 2β=2sin βcos β==,

所以=,整理得

tan α=,

所以tan α+tan β

=

=

=2tan 2β.

所以原等式成立.

16.解析　(1)∵角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,

∴tan α==-.

(2)以角α的终边为始边,逆时针旋转得到角β,∴β=α+.

易得cos α=-,sin α=,

∴sin 2α=2sin αcos α=-,

cos 2α=2cos2α-1=-.

∴cos(α+β)=cos=cos 2αcos-sin 2αsin=(cos 2α-sin 2α)=.

17.解析　(1)依题意知tan α=2.

cos=(cos 2α-sin 2α)

=·

=·

=×=-.

(2)∵α∈,

∴sin α=,cos α=.

∵sin=,-<β<0,

∴-<β+<,

∴cos=,

∴cos

=cos αcos+sin αsin

=×+×=.

∵α∈,β+∈,

∴α-∈,

∴α-=,

∴α-β=.