高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试课堂检测

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100πt+,则当t= s时,电流I为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.5 A B.2.5 A

C.2 A D.-5 A

2.函数y=2sin的周期,振幅,初相分别是(　　)

A.,2, B.4π,-2,-

C.4π,2, D.2π, 2,-

3.已知α为第二象限角,sin α=,则sin的值为(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A. B.

C. D.

4.要得到函数y=sin的图象,需要把函数y=sin 2x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

5.函数y=2sin(ωx+φ)(其中ω>0,0<φ<π)的图象的一部分如图所示,则(　　)

A.ω=,φ= B.ω=,φ=

C.ω=,φ= D.ω=,φ=

6.已知扇形的周长为C,当该扇形的面积取得最大值时,圆心角为(　　)

A. rad B.1 rad C. rad D.2 rad

7.已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1),g(x)=A2sin(ω2x+φ2)的图象如图所示,为得到函数g(x)的图象,只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再(　　)

A.向右平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向左平移个单位长度

8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[3,4]时, f(x)=x-3, 则(　　)

A. f(sin 1)<f(cos 1)

B. f>f

C. f>f

D. f<f

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.最小正周期为π的函数有(深度解析)

A.y=cos2 B.y=|sin x|

C.y=cos|2x| D.y=tan

10.下列结论正确的是(　　)

A.-是第三象限角

B.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形的面积为

C.若角α的终边上有一点P(-3,4),则cos α=-

D.若角α为锐角,则角2α为钝角

11.关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有如下四个结论,其中正确的结论是(　易错　)

A.f(x)是偶函数

B.f(x)在区间上单调递增

C.f(x)在[-π,π]上有四个零点

D.f(x)的最大值为2

12.关于下列命题正确的是(　　)

A.若α,β是第一象限角,且α>β,则sin α>sin β

B.函数y=sin是偶函数

C.函数y=sin的一个对称中心是

D.函数y=5sin在上是增函数

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.sin =　　　　. 

14.已知函数f(x)=cos2+sin x-, f(α)=,则sin=　　　　. 

15.已知方程sin θ-cos θ+a=0在区间(0,π)上有两个不相等的实数根α,β,则cos=　　　　. 

16.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω=　　　　,函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　　.(本小题第一空2分,第二空3分) 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知α是第二象限角,且sin α=.

(1)求tan α的值;

(2)求的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos 2x-(sin x-cos x)2.

(1)求f的值和f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)的单调递增区间.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin+sin+cos x.

(1)求函数f(x)的最大值;

(2)若f=-,当<x<时,求的值.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin.

(1)求f(x)的最小正周期T;

(2)求f(x)的单调递增区间;

(3)在给定的坐标系中作出函数f(x)x∈的简图,并直接写出函数f(x)在区间上的取值范围.

21.(本小题满分12分)当我们所处的北半球为冬季的时候,新西兰的惠灵顿市恰好是盛夏,因此北半球的人们冬天愿意去那里旅游,下面是一份惠灵顿机场提供的月平均气温统计表.

(1)根据这个统计表提供的数据,为惠灵顿市的月平均气温作出一个函数模型;

(2)当自然气温不低于13.7 ℃时,惠灵顿市最适宜旅游,试根据你所确定的函数模型,确定惠灵顿市的最佳旅游时间.

22.(本小题满分12分)如图,已知单位圆O,A(1,0),B(0,1),点D在圆上,且∠AOD=,点C从点A沿劣弧运动到点B,作BE⊥OC于点E,设∠COA=θ.

(1)当θ=时,求线段DC的长;

(2)△OEB的面积与△OCD的面积之和为S,求S的最大值.

答案全解全析

一、单项选择题

1.B　当t= s时,I=5sin100π×+=5cos=2.5 A,故选B.

2.C　由题意知,T==4π,振幅为2,在x+中,令x=0,求得初相为.

故选C.

3.A　∵sin α=,α是第二象限角,

∴cos α=-,

∴sin=sin αcos -cos αsin

=×+×=.

4.C　要得到函数y=sin=sin 2x+的图象,需要把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度.故选C.

5.B　根据函数的图象可得T=(6-2)×4=16,

∵ω>0,∴ω==,

当x=2时,函数取得最大值,

即2sin=2,

因此2×+φ=2kπ+,k∈Z,

∴φ=2kπ+,k∈Z,

∵0<φ<π,∴φ=,故选B.

6.D　设扇形的圆心角为α rad,半径为r,

则S扇形=αr2,由C=2r+αr,

得到r=,且0<α<2π,

∴S扇形=α·=

=,

又2α+≥2=8,当且仅当2α=,即α=2时,“=”成立,

此时S扇形取得最大值,为,对应圆心角为α=2.故选D.

7.A　由题图1可知A1=2,函数的周期为T=π-(-π)=2π,则ω1==1,

当x=时,ω1x+φ1=1×+φ1=2kπ+(k∈Z),则φ1=2kπ(k∈Z),

令k=0,可得φ1=0,则f(x)=2sin x,

同理可得g(x)=2sin.

将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,可得函数的解析式为y=2sin 2x,而g(x)=2sin2x-=2sin 2,

故只需将y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度即可得到函数g(x)的图象.

8.A　∵f(x+2)=f(x),∴2是f(x)的一个周期,又f(x)是偶函数,当x∈[3,4]时, f(x)=x-3,

设x∈[0,1],则4-x∈[3,4],

∴f(x)=f(x-4)=f(4-x)=4-x-3=1-x,

∴f(x)在[0,1]上单调递减.

∵sin 1,cos 1∈[0,1],且sin 1>cos 1,

∴f(sin 1)<f(cos 1),A正确.

∵<<,∴0<cos<sin <1,因此f<f,B错误.∵<<,∴0<cos<sin <1,因此f<f,C错误.

∵0<<,∴0<sin<cos<1,因此f>f,D错误.故选A.

二、多项选择题

9.BC　选项A中,y=cos2=,T=2π,A错误;由图象(图略)知,y=|sin x|的最小正周期为π,B正确;选项C中,y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为T==π,C正确;选项D中,最小正周期为T=,D错误.

故选BC.

陷阱分析　函数y=sin x的图象在x轴下方与在x轴上方的部分全等,从而y=|sin x|的周期是y=sin x周期的一半;余弦函数是偶函数,从而y=cos 2x与y=cos|2x|的周期相同,但函数y=sin|x|不再是周期函数.

10.BC　选项A中,-=-2π+是第二象限角,A错误;选项B中,设半径为r,则·r=π⇒r=3⇒S=××32=,B正确;选项C中,=5,∴cos α=-,C正确;选项D中,α=30°是锐角,但2α=60°不是钝角,D错误.故选BC.

11.AD　任取x∈R,f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),因此f(x)是偶函数,A正确;

当<x<π时,f(x)=sin x+sin x=2sin x,在上单调递减,B错误;

当0≤x≤π时, f(x)=2sin x,

令f(x)=0,得x=0或x=π,

当-π≤x<0时,f(x)=-sin x-sin x=-2sin x,

令f(x)=0,得x=-π,

因此f(x)在[-π,π]上有三个零点,C错误;

∵sin|x|≤1,|sin x|≤1,∴sin|x|+|sin x|≤2,且x=时, f=2,∴f(x)的最大值为2,D正确.故选AD.

易错警示　在解决含有绝对值函数的问题时,关键是分类去绝对值符号,sin|x|是按x的正、负分类,|sin x|是按sin x的正、负分类,解题时防止分类错误而导致解题错误.

12.BC　对于A,α,β是第一象限角,且α>β,可令α=390°,β=30°,则sin α=sin β,所以A错误;

对于B,易知x∈R,且函数y=f(x)=sin=-cos πx,f(-x)=-cos(-πx)=f(x),为偶函数,所以B正确;

对于C,令2x-=kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),所以函数y=sin的对称中心为(k∈Z),当k=0时,可得对称中心为,所以C正确;

对于D,函数y=5sin=-5·sin2x-,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数y=5sin在区间上不是增函数,所以D错误.故选BC.

三、填空题

13.答案　-

解析　sin =sin=sin =sin=-sin =-.

14.答案　-

解析　由题知f(x)=×+sin x-=sin x+cos x=sin.

∵f(α)=,∴sin=,

∴cos=1-2sin2=.

又∵2α+=+,

∴sin=sin

=-cos=-.

15.答案　-

解析　令f(θ)=sin θ-cos θ+a

=2sin+a,

∵θ∈(0,π),

∴θ-∈.

∵方程sin θ-cos θ+a=0在区间(0,π)上有两个不相等的实数根α、β,

∴直线y=-a与y=2sin的图象在(0,π)上有两个交点,且α与β关于直线x=对称,∴α+β=,

∴cos=cos=-,

故答案为-.

16.答案　2; ,k∈Z

解析　由题中图象知=-=,则T=π,即=π,即ω=2,

∴f(x)=2sin(2x+φ),

由五点法得2×+φ=0,即φ=,则f(x)=2sin,

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,

得-+kπ≤x≤kπ+,k∈Z,

即函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.

四、解答题

17.解析　(1)因为α是第二象限角,且sin α=,所以cos α=-=-,(2分)

所以tan α==-2.(5分)

(2)

=(7分)

====.(10分)

18.解析　(1)∵函数f(x)=cos 2x-(sin x-cos x)2=cos 2x-(1-sin 2x)=sin2x+-1,(2分)

∴f=sin-1=-1-1=-2,(4分)

f(x)的最小正周期为=π.(6分)

(2)由(1)知f(x)=sin-1,

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,(9分)

得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,(11分)

故f(x)的单调递增区间为kπ-,kπ+,k∈Z.(12分)

19.解析　(1)f(x)=sin xcos+cos xsin+sin xcos-cos xsin+cos x

=2sin xcos+cos x

=sin x+cos x

=sin,(3分)

∴函数f(x)的最大值为.(5分)

(2)f=sin,

∴sin=-,

∴sin=-,即sin x-cos x=-,∴sin x-cos x=-,(7分)

两边平方得1-2sin xcos x=,

∴2sin xcos x=,

∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=.(8分)

∵<x<,

∴sin x+cos x<0,∴sin x+cos x=-,(10分)

∴=

=

==.(12分)

20.解析　(1)f(x)的最小正周期为T==π.(3分)

(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(7分)

(3)函数f(x)的简图如图所示.

(10分)

函数f(x)在区间上的取值范围是[-2,].(12分)

21.解析　(1)以月份x为横轴,气温t为纵轴作出散点图,并以光滑的曲线连接各散点,得到如图所示的曲线.

由于月平均气温是以12个月为周期变化的,故依散点图所绘制的图象可以考虑用t=Acos(ωx+φ)+k来模拟.(3分)

由最高气温为17.9 ℃,最低气温为9.5 ℃,

得A==4.2,k==13.7.(5分)

显然=12,故ω=.(6分)

又x=2时,y取得最大值,所以由五点法可得×2+φ=0,得φ=-,

所以t=4.2cos+13.7为惠灵顿市的月平均气温函数模型.(8分)

(2)作直线t=13.7与函数图象交于(5,13.7),(11,13.7)两点.这说明在每年的十一月初至第二年的四月末气温不低于13.7 ℃,是惠灵顿市的最佳旅游时间.(12分)

22.解析　(1)因为θ=,∠COD=+=,(2分)

所以∠ODC=,DC=.(4分)

(2)因为∠COA=θ,所以∠OBE=θ,所以OE=sin θ,BE=cos θ,S△OEB=sin θcos θ.(6分)

因为∠AOD=,∠COA=θ.

所以∠COD=θ+,OC=OD=1,取CD的中点H,连接OH,则OH⊥CD,∠DOH=,DH=sin,OH=cos,

所以S△OCD=cossin

=sin=(sin θ+cos θ).(8分)

△OEB的面积与△OCD的面积之和S=sin θcos θ+(sin θ+cos θ),(9分)

令t=sin θ+cos θ,θ∈,则t∈[1,],且sin θcos θ=.(10分)

所以S=+t=(t2+t-1)

=-,

因为t∈[1,],所以当t=时,S取得最大值,最大值为.(12分)