浙江省温州市2021届高三下学期3月高考适应性测试（二模）数学试卷及答案

2021届浙江省温州市高三下学期3月高考适应性测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】C

3．已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

4．已知递增等差数列的前项和为，若，且成等比数列，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

5．在中，角所对的边分别为，下列条件使得无法唯一确定的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

6．已知函数，则函数的图象可能是（    ）

A．B．
 

C．D．
 

【答案】B

7．已知定点，动点在圆上，的垂直平分线交直线于点，若动点的轨迹是双曲线，则的值可以是（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

8．如图，以为圆心，半径为1的圆始终内切于四边形，且，则当增大时，下列说法错误的是（    ）

A．单调递减 B．恒为定值

C．单调递增 D．恒为非负数

【答案】D

9．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量（其中），则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

二、多选题

10．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所成的角为，则（    ）

A．当时，随着的增大而增大

B．当时，随着的增大而减小

C．当时，随着的增大而减小

D．当时，随着的增大而增大

【答案】AC

三、双空题

11．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为________；_______．

【答案】1    2   

12．已知，则______，若，则______．

【答案】1    7   

13．已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则________，椭圆的离心率为_________．

【答案】       

14．有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的型；感染病毒尚未康复的型；感染病毒后康复的型（所有康复者都对病毒免疫）．根据统计数据：每隔一周，型人群中有95%仍为型，5%成为型；型人群中有65%仍为型，35%成为型；型人群都仍为型．若人口数为的人群在病毒爆发前全部是型，记病毒爆发周后的型人数为型人数为，则_________；__________．（用和表示，其中）

【答案】       

四、填空题

15．已知是正数，且，则的最小值是_______．

【答案】8

16．有2辆不同的红色车和2辆不同的黑色车要停放在如图所示的六个车位中的四个内，要求相同颜色的车不在同一行也不在同一列，则共有______种不同的停放方法．（用数字作答）

【答案】

17．已知函数，若对任意的，都存在，使得，则实数的最大值为_________．

【答案】

五、解答题

18．如图，已知函数的图象与轴交于点，且该图象的最高点．

（1）求函数在上的零点；

（2）若函数在内单调递增，求正实数的取值范围．

【答案】

（1）由图可知，的最大值为1，所以，

因为图象过，所以，

因为，所以，

因为该图象的最高点，所以，所以，

所以，

令，解得，

当时，，当时，，

所以函数在上的零点为；

（2），

，，

若函数在内单调递增，

则有，解得，

所以正实数的取值范围为.

19．如图，在三棱锥中，，．

（1）证明：；

（2）有三个条件；

①；

②直线与平面所成的角为；

③二面角的余弦值为．

请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．

【答案】

（1）取中点，连接，则，

又，．，所以，

所以，所以，

，平面，所以平面，

又平面，所以；

（2）在上取点，使得，连接，由于与是平面内相交直线，所以平面，

以为轴建立空间直角坐标系，如图，

，，因此同理，

选①，，则是等边三角形，，，

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，即，

记直线与平面（即平面）所成的角为，

则．

选②，由平面得是（即）与平面所成的角，

所以，，

以下同选①；

选③，作，垂足为，连接，

由平面，平面，所以，

又，平面，而平面，所以，

所以是二面角即二面角的平面角，

已知即为，则，，

所以，

以下同选①．

20．已知数列的前项和为，且．

（1）求及通项公式；

（2）记，求数列的前项的和．

【答案】

（1）由题意，数列的前项和为，且，

所以，解得，

又由，解得，

当为奇数时，可得，

当为偶数时，可得，

所以.

（2）由（1）知，当为奇数时，可得；

当为偶数时，可得，

即，

因为中包含着个奇数项和个偶数项，

设个奇数项的和为，

个偶数项的和为，

由，

可得

,

所以，

所以.

21．如图，过点和点的两条平行线和分别交抛物线于和（其中在轴的上方），交轴于点．

（1）求证：点、点的纵坐标乘积为定值；

（2）分别记和的面积为和，当时，求直线的方程．

【答案】

（1）设，

设直线，

由，可得，所以，

所以点、的纵坐标乘积为定值.

（2）由（1）直线，

联立方程组，可得，所以，

可得，即，

因为且代入上式，整理得，

又由，联立可得，

又因为，代入可得，

又由，代入可得，即，

所以，可得直线的方程为，即.

22．已知函数．

（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；

（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．

解：（1）因为，所以，因为函数没有极值点，所以无解或有重根；

即无解或有重根；

①时，不满足条件；

②时，，解得或；

综上可得，函数没有极值点，则或；

（2）依题意得：对任意的，恒成立，令，则恒成立，

因为，所以是的极小值点，所以，所以，

所以对任意的，恒有，

①当时，，，，矛盾；

②当时，显然有，因为函数即函数的图象恒在函数图象的上方，是函数在处的切线，

下证：，令，，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，

所以，即成立；

所以

综上所述：当时，对任意的，恒成立；