高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理免费课堂检测

1.1.2　余弦定理

基础过关练

题组一　已知两边和一角解三角形

1.在△ABC中,a=1,B=60°,c=2,则b=(　　)

A.1 B. C. D.3

2.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且b<c,则b=(　　)

A. B.2 C.2 D.3

3.在△ABC中,AB=,BC=1,A=30°,则AC=　　　　.

4.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则的值为　　　　.

题组二　已知三边解三角形

5.在△ABC中,若a=3,b=,c=2,则B=(　　)

A. B. C. D.

6.在△ABC中,c2-a2-b2=ab,则角C为(　　)

A.30° B.60° C.150° D.45°或135°

7.若△ABC的内角A,B,C满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶3,则cos B=(　　)

A. B. C. D.

8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a,b,c满足b2=ac,且c=2a,则

cos B等于(　　)

A. B. C. D.

9.在△ABC中,||=3,||=5,||=7,则·的值为(　　)

A.- B. C.- D.

题组三　利用余弦定理判断三角形的形状

10.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是(　　)

A.等腰直角三角形 B.钝角三角形

C.直角三角形      D.等边三角形

11.若将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是(　　)

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.由增加的长度确定

题组四　余弦定理及其推论的综合应用

12.若钝角三角形的三边长分别为a+1,a+2,a+3,则a的取值范围是　　　　.

13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=,a=4,b+c=6,且b<c,求b,c的值.

14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边.若(a+b+c)(sin A+sin B-

sin C)=3asin B,求C的大小.

15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B=.

(1)求b的值;

(2)求sin C的值.

能力提升练

一、选择题

1.(2018云南玉溪一中高二下期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2·(1-sin A),则A=(　　)

A. B. C. D.

2.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

3.(★★☆)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

4.(2020北京丰台高二月考,★★☆)如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为(　　)

A. B. C.+1 D.

5.(★★★)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若c·cos B=b·cos C,且cos A=,则sin B等于(　　)

A.± B. C.± D.

6.(2019陕西西安一中高二上月考,★★★)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin∠BAC=(　　)

A. B. C. D.

二、填空题

7.(2019广东东莞高二期末,★★☆)如图,四边形ABCD中，∠BCD=45°,

∠ABC=60°，BC=2,则线段AC长度的取值范围是　　　　.

8.(2020河北张家口高二期末,★★☆)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,cos A=且c=2b,则=　　　　.

三、解答题

9.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=,b=,c=3,D为BC的中点.

(1)求AD的长;

(2)求sin∠ADB的值.

10.(2020河南洛阳高二期末,★★★)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的中线AD=m,且a2+2bc=4m2.

(1)求∠BAC;

(2)若a=4,求△ABC的周长的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=3,所以b=(负值舍去).

2.B　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及已知得,22=b2+(2)2-2×b×2×,

即b2-6b+8=0,解得b=2或b=4.因为b<c,所以b=2,故选B.

3.答案　1或2

解析　由余弦定理的推论,得cos A=,所以AC2-3AC+2=0,解得AC=1或AC=2.经检验都符合要求,所以AC=1或AC=2.

4.答案　

解析　由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,

因为A=120°,AB=5,BC=7,所以49=25+AC2+5AC,即AC2+5AC-24=0,

解得AC=3或AC=-8(舍去).所以==.

5.A　由余弦定理的推论及已知得cos B==.因为B∈(0,π),所以B=.

6.C　由已知得a2+b2-c2=-ab,

由余弦定理的推论,得cos C==-.因为0°<C<180°,所以C=150°.

7.B　由正弦定理,得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶3.

不妨设a=2k,b=3k,c=3k,则cos B===.

8.B　由余弦定理的推论及已知可得cos B====.

9.C　由余弦定理的推论及已知得,cos C==-,

∴·=3×5×=-.故选C.

10.D　在△ABC中,∵A=60°,a2=bc,

∴由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=bc,

∴b2+c2-2bc=0,即(b-c)2=0,

∴b=c,结合A=60°,得△ABC一定是等边三角形.故选D.

11.A　设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,三边增加的同样的长度为x,则在新三角形中,由余弦定理的推论得,cos C==>0,即最大边c+x所对的最大角C为锐角,所以新三角形的形状是锐角三角形.

12.答案　0<a<2

解析　由最大角的余弦值小于0及任意两边之和大于第三边可得解得0<a<2.

13.解析　由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A,

将a=4,b+c=6,cos A=代入,得bc=8,联立解得或

又b<c,所以b=2,c=4.

14.解析　由正弦定理及已知,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,即(a+b)2-c2=3ab,

∴a2+b2-c2=ab,∴cos C==.∵C∈(0,π),∴C=.

15.解析　(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=22+32-2×2×3×=10,

∴b=(负值舍去).

(2)由余弦定理的推论及(1),得cos C===.∵C是△ABC的内角,

∴sin C==.

能力提升练

一、选择题

1.C　由a2=b2+c2-2bccos A及b=c,a2=2b2·(1-sin A),

可得b2+c2-2bccos A=2bc-2bcsin A,整理,得(b-c)2=2bc(cos A-sin A),

由此可得cos A-sin A=0,即cos A=sin A.

又因为A∈(0,π),所以A=,故选C.

2.C　在△ABC中,∵b2+c2=a2+bc,∴cos A===.

由题意得A∈(0,π),∴A=.

∵sin B·sin C=sin2A,

∴bc=a2,代入b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=0,解得b=c.∴B=C=.

∴△ABC的形状是等边三角形.故选C.

3.A　由余弦定理的推论及已知,得cos B====+≥.

由题意得B∈(0,π),所以B∈.

4.A　∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,

∴sin∠BAC=sin (∠BAD+90°)=cos∠BAD=.

在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-24=3,

∴BD=(负值舍去).

5.D　由正弦定理和c·cos B=b·cos C得sin Ccos B=sin Bcos C,即

sin(B-C)=0.又易知-180°<B-C<180°,所以B=C,进而得到b=c.因为cos A=,所以由余弦定理可得a2=2b2-2b2·,即3a2=2b2,再由余弦定理的推论得

cos B===,故sin B=.

6.D　如图,设BC边上的高AD=m,则BC=3m,BD=m,DC=2m,所以AC==m,AB==m.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos∠BAC==-.所以sin∠BAC=.

二、填空题

7.答案　[,2)

解析　在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+22-4AB·cos 60°=(AB-1)2+3,

∴AC≥,当且仅当AB=1时取等号.

∵∠BCD=45°,∴∠ACB<45°,

又∠ABC=60°,∴∠BAC>180°-45°-60°=75°,∴AC<BC=2.

综上可得,AC∈[,2).

8.答案　

解析　由余弦定理的推论及已知可得,cos A===,解得=.

三、解答题

9.解析　(1)在△ABC中,由余弦定理得13=9+a2-2×3×a×,解得a=4或a=-1(舍去).

∵D为BC的中点,∴BD=2.

在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=9+4-2×3×2×=7,

∴AD=(负值舍去).

(2)在△ABD中,由正弦定理得=,∴sin∠ADB==.

10.解析　(1)在△ABD中,由余弦定理得,cos∠ADB=.

在△ACD中,由余弦定理得,cos∠ADC=.

∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos∠ADB+cos∠ADC=0,∴b2+c2=2m2+a2,∴m2=(b2+c2)-a2.

又a2+2bc=4m2,∴a2+2bc=2b2+2c2-a2,即b2+c2-a2=bc,∴cos∠BAC==.

∵0<∠BAC<π,∴∠BAC=.

(2)由a=4,∠BAC=及正弦定理得====,

∴b=sin B,c=sin C=·sin,

∴b+c=sin B+sin=4·sin B+4cos B=8sin.

∵0<B<,∴<B+<,∴<sin≤1,∴b+c∈(4,8],

∴△ABC的周长的取值范围是(8,12].