冀教版八年级上册第十六章 轴对称和中心对称16.3 角的平分线课堂检测

16.3.2  角平分线的判定

课后   同步练习

1．已知：如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC，②PD＝PE，③OD＝OE，④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的角平分线的有（    ）

A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

2．如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线相交于O，下面结论中正确的是（    ）

A．∠1＞∠2      B．∠1＝∠2    C．∠1＜∠2     D．不能确定

3．如图所示，P为△ABC外部一点，D，E分别在AB，AC的延长线上，若点P到BC，BD，CE的距离都相等，则关于点P的说法最佳的是（    ）

A．在∠DBC的平分线上      B．在∠BCE的平分线上

C．  在∠BAC的平分线上      D．在∠DBC，∠BCE，∠BAC的平分线上

4.如图所示，在△ABC中，外角∠CBD、∠BCE的平分线交于O点，OF⊥AD，OG⊥AE，垂足分别为F、G，则OF________OG.(填“＞”“＜”或“＝”)

5．三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，则可供选择的地方有________处．[来源:学§科§网Z§X§X§K]

6．已知：如图所示，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.

7．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：

(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；

(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.

8．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．

9．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．

10．某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

11．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．

12．如图，D，E，F分别是△ABC三边上的点，CE＝BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC.

13．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．

[来源:Z|xx|k.Com]

14．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，

(1)在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这三条线段相等吗？为什么？

(2)在图2中，∠ABC是直角，∠C＝60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．

参考答案

1、D　

2、B　

3、D　

4.＝　

5.4　

6、证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)．

∴DE＝DF.

又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，

∴AD平分∠BAC.

7、证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，

∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.

在△BOD和△COE中，

∴△BOD≌△COE(ASA)．

∴OB＝OC.

（2）在△BOD和△COE中，

∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.

又∵OD⊥AB，OE⊥AC，

∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.　

8、证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.

又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，

∴DE＝DF，DG＝DF.

∴DE＝DG.

∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．

9、图略．提示：作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置．

10、在三角形内部分别作出两条角平分线，其交点O就是小亭的中心位置，图略．

11、证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠DFC＝90°.

在Rt△DEB和Rt△DFC中，

∴Rt△DEB≌Rt△DFC.

∴DE＝DF.

∴AD平分∠ABC.　

12、证明：过点D作DH⊥AB于H，DG⊥AC于G.

∵S△DCE＝CE·DG，S△DBF＝BF·DH，S△DCE＝S△DBF，

∴CE·DG＝BF·DH.

又∵CE＝BF，

∴DG＝DH.

∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.　

13、移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由如下：

∵D是BC的中点，∴BD＝CD.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠DEB＝∠DFC＝90°

又∵∠B＝∠C，

∴△DEB≌△DFC(AAS)．

∴DE＝DF.

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD平分∠BAC.

14、(1)PF＝PH＝PG，理由如下：∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，

∴PF＝PH.

∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，

∴PG＝PH.∴PF＝PH＝PG.

（2）PE＝PD.理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠CAB＝30°.

∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠CAD＝∠BAD＝∠CAB＝15°，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝45°.

过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，则∠PFE＝∠PGD＝90°.

∵∠PDG＝∠C＋∠CAD＝60°＋15°＝75°，∠PEF＝∠CAB＋∠ABE＝30°＋45°＝75°，

∴∠PEF＝∠PDG.

∵PF⊥AC，PG⊥BC，

∴∠PFE＝∠PGD＝90°.

由(1)得PF＝PG，

∴△PFE≌△PGD.∴PE＝PD.