2020-2021学年第十七章 特殊三角形17.1 等腰三角形练习题

17.1.3  等边三角形的性质和判定

课后  同步练习

一、选择题

1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（    ）

A．25°  B．60°  C．85°  D．95°

2．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（    ）

A．180°     B．220°     C．240°     D．300°

3．如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（    ）

A．20°      B．30°      C．35°      D．40°

4．如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，BD＝BF，则∠CDF的度数是（    ）

A．10°     B．15°      C．20°     D．25°

5．等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（    ）

A．有一个内角是60°  B．有一个外角是120°

C．有两个角相等  D．腰与底边相等

6．下列三角形：

①有两个角等于60°；

②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，

其中是等边三角形的有（    ）

A．①②③    B．①②④   C．①③    D．①②③④

二、填空题

7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的大小为________．

8．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形．下列结论：①AD⊥6BC;②EF＝FD;③BE＝BD.正确的有________（填序号）．

9．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C'处，连接BC'，那么BC'的长为________．

10．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔4海里的A处，该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后，到达位于灯塔P的正东方向的B处．

三、解答题

11．如图，延长△ABC的各边使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接D，E，F，得到△DEF为等边三角形．

求证：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC为等边三角形．

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：△BCE≌△ACD；

②求证：CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

参考答案

1．D

2．C

3．B

4．B

5．C

6．D

7．30°

8．①②③

9．3

10．4

11．证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知），∴FA=EC（等量代换）．

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴EF=DE（等边三角形的性质）．

又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．

（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），

∴∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换）．

∵△DEF是等边三角形（已知），

∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），

∴∠BCA=60°（等量代换），同理可得∠BAC=60°．

∴在△ABC中，AB=BC（等角对等边）．

∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°