河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题含答案

定州市2021—2022学年度第一学期期中考试

高二数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角（    ）

A.30°   B.60°   C.90°   D.120°

2.设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（    ）

A.2   B.4   C.8   D.16

3.已知空间直角坐标系中，点关于yoz平面的对称点为B，点B关于x轴的对称点为C，则（    ）

A.   B.6   C.4   D.

4.无论m取何实数，直线一定过（    ）

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

5.方程化简的结果是（    ）

A.   B.

C.   D.

6.如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，点N是上的点，且，用，，表示向量的结果是（    ）

A.    B.

C.   D.

7.唐代诗人李颀（qí）的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发.先到河边饮马后再回到军营.怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中.设军营所在地为点.若将军从点处出发河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ）

A.   B.   C.   D.

8.在棱长为2的正四面体中，点为所在平面内一动点，且满足，则PD的最大值为（    ）

A.3   B.   C.   D.2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.以下说法正确的是（    ）

A.若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底.

B.空间的任意两个向量都是共面向量.

C.若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则.

D.若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，，则

10.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是（    ）

A.椭圆的长轴长为8   B.椭圆的离心率为

C.椭圆的离心率为   D.椭圆的一个方程可能为

11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ）

A.曲线的方程为

B.在曲线上存在点D，使得

C.在曲线上存在点M，使M在直线上

D.在曲线上存在点N，使得

12.如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4.E是的中点，则（    ）

A.     B.平面平面

C.三棱锥的体积为  D.三棱锥的外接球的表面积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.椭圆的焦距是2，则m的值为________________.

14.直线：截圆的弦为MN，当取最小值时m的值为_______________.

15.已知点，，，，则在上的投影向量的长度为_______________.

16.设为椭圆上一动点，，分别为左右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为_______________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题10分）已知，.

（1）求；

（2）求、的值使得与z轴垂直，且.

18.已知两直线：，：.

（1）求直线与交点的坐标；

（2）设，，求过点且与A，B距离相等的直线方程.

19.（本小题12分）求满足下列条件的圆的标准方程：

（1）圆心为，且被直线截得的弦长为；

（2）过点，，且圆心在直线上.

20.（本小题12分）如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，.平面平面ABCD.

（1）求证：平面平面DCF；

（2）求二面角的正弦值.

21.（本小题12分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心后转向方向，已知，现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出口B.假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km.

（1）若，求两站A，B点之间的距离；

（2）公路MO段上距离市中心，30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区.因考虑未来道路AB的扩建，则如何在古建筑群和市中心之间设计出入口A，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区?

22.（本小题12分）如图，过椭圆的左右焦点，分别

作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为.

（1）求“帽体段”的方程；

（2）记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点，使得为定值?若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由。

定州市2021—2022学年度第一学期期中考试

高二数学参考答案

1．【答案】A

【详解】由直线方程知直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：A．

2．【答案】C

【详解】设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．故选：C．

3．【答案】D

【详解】点关于平面对称点为，

点关于轴对称点为点为，

所以，故选：D

4．【答案】C

【详解】，则.

取，解得，故直线过定点,必过第三象限.故选：C

5．【答案】D

【详解】∵方程，

表示平面内到定点、的距离的和是常数的点的轨迹，

∴它的轨迹是以为焦点，长轴，焦距的椭圆；

∴；∴椭圆的方程是，即为化简的结果．故选：D．

6．【答案】D

【详解】由题意可得，=-=-(+).

∵，，∴.故选：D.

7．【答案】C

【详解】若是关于的对称点，如下图示：“将军饮马”的最短总路程为，

∴，解得，即.

∴.故选：C

8．【答案】B

【详解】如图所示，在平面内，，

所以点在平面内的轨迹为椭圆，取的中点为点，连接，以直线为轴，直线为建立如下图所示的空间直角坐标系，

则椭圆的半焦距，长半轴，该椭圆的短半轴为，

所以，椭圆方程为.

点在底面的投影设为点，则点为的中心，，

故点正好为椭圆短轴的一个端点，

，则，

因为，故只需计算的最大值.

设，则，

则，

当时，取最大值，

即，

因此可得，故的最大值为.故选：B.

9．【答案】ABC

【详解】对于A，向量与共面，则与不共面且不共线，则也是空间的一个基底，故A正确；

对于B，空间的任意两个向量都是共面向量，故B正确；

对于C，由方向向量的性质得出，故C正确；

对于D，因为，所以，故D错误；故选：ABC

10．【答案】BD

【详解】由题意易知椭圆的短半轴长，

∵截面与底面所成的角为，

∴椭圆的长轴长为，则，

所以，

离心率为，

当建立坐标系以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为轴，短轴为轴时，

则椭圆的方程为.故选：BD.

11．【答案】AD

【详解】设点，由，

得，化简得，即，故A选项正确；

对于B选项，设，由得，

又，联立方程可知无解，故B选项错误；

对于C选项，设，由M在直线上得，

又，联立方程可知无解，故C选项错误；

对于D选项，设，由，得，又，联立方程可知有解，故D选项正确.故选：AD.

12．【答案】CD

【详解】长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，

在A中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，2，，，0，，，0，，

，2，，，0，，

，与不垂直，故A错误；

在B中，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，

，，，，0，，，0，，，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，2，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

不共线，平面与平面相交，故B错误；

在C中，三棱锥的体积为：

，故C正确；

在D中，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，

三棱锥的外接球半径，

三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．故选：CD．

13．【详解】因为焦距是，所以，

当焦点在轴时，解得，，

当焦点在轴时，解得，，

14．【答案】1

【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：，

所以则的最小值为：，

此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．

故答案为：．

15．【答案】

【详解】由已知得，

∴，又，

所以在上的投影向量的长度为.

故答案为：.

16．【答案】

【详解】由已知椭圆的方程可得：，，则，

由椭圆的定义可得，

又因为，所以，

所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以点的轨迹方程为：，

故答案为：

17．【详解】（1）因为，，

所以.

（3）取轴上的单位向量，，

依题意，

即，

故，解得，．

18．【详解】（1）由解得，∴点P的坐标为

（2）设过点且与距离相等的直线为，则有以下两种情况：

①时，，不妨设直线l方程为：

∵直线l过点P，∴，得

 ∴直线方程为：，即

②当过线段中点时，不妨设线段中点为M，则由中点坐标公式得

∵，

∴所求的直线方程为：，即

综上所述，所求直线方程为：或

19．【详解】（1）圆心到直线的距离为：

设圆的半径为r，弦长为l，由勾股定理得：

故所求圆的标准方程为：x2＋（y＋2）2＝25

（2）由题意

故过AB的直线方程为y＝－x＋2，

又A、B的中点为（1，1），

∴AB的垂直平分线斜率，且过（1，1）

故方程为y＝x

由解得，即圆心坐标为（－1，－1），

半径为，

∴所求圆的标准方程为：（x＋1）2＋（y＋1）2＝16

20．【详解】（1）由题设，中，而，

∴，即，

又面面，面面且，面，

∴面，又面，则，

又且面，

∴面，又面，即面面；

（2）由（1），构建以为原点，为x、y、z轴的空间直角坐标系，∴

，

则，

若是面的一个法向量，则，令，即，………………………8分

若是面的一个法向量，则，

令，即，

，

故.

21．【详解】方法1：（1）过作直线于，则，

设，

，即两站点A，B之间距离的40km.

（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图

由题意可知直线是以为圆心，10为半径的圆的切线，

根据题意，直线与圆要相离，其临界位置为直线与圆相切，设切点为

此时直线为圆与圆的公切线.

因为出入口在古建筑群和市中心之间，

由，，

圆的方程为，圆的方程为，

设直线的方程为，

则所以，两式相除，得，所以或，

所以此时或（舍去），此时，

当时，，

综上，.

即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

方法2：以为坐标原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图

（1）

原点到直线AB的距离为

即两站点A，B之间距离的40km

（2）

由题意得

此时，

当时，，

综上，.

即设计出入口离市中心的距离在到之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.

22．【详解】（1）设椭圆的标准方程为，

由图可得，

所以，所以，

“帽体段”的方程：；（没有范围扣1分）

（2）①当直线与轴不重合时，设直线的方程为，

将代入得，

所以，

由题意得，

将，代入上式得

，

要使得为定值，

即为定值，即，解得，

即时，为定值，

②当直线与轴重合时，直线的方程为，

成立

所以存在定点，使得为定值．