初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试导学案及答案

计算：（1）    （2）    （3）    （4）     

（5）         （6）          （7）        （8）           

平方差公式

平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差．

①左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数．

②右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．

注意：①公式中的和可以是具体的数也可以是单项式或多项式．

如：；；

；．

②不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形．

如：；

完全平方公式

；

即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍．

完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，积倍在中央”．

注意：①公式中的和可以是单项式，也可以是多项式。

②一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，

【例1】         如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________．

【变式练习】如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形()，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.

【例2】         如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于、的恒等式___________．

【变式练习】如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________

【例3】         直接写出结果：

（1）                     （2）                           

（3）                     （4）                           

（5）                    （6）              

【例4】         运用平方差公式计算：

（1）           （2）     （3）

（4）         （5）    （6）

【例5】         运用平方差公式计算：

（1）                     （2）

（3）                      （4） 

【变式练习】下列各式中能使用平方差公式的是（   ）

．               ．

．                ．

【例6】         利用平方差公式简化计算：

（1）                         （2）

（3）               （4）

【例7】         已知：为正整数，且，求出满足条件的值．

【例8】         如果，那么的值是           ．

【变式练习】下面计算正确的是（   ）

．原式              

．原式

．原式               

．原式

【例9】         计算：（1）          （2）

（3）

【变式练习】计算：（1）

（2）

【例10】     有可能被到之间的两个整数整除，试求出这两个数．

【变式练习】已知可能被至之间的两个整数整除，求这两个整数．

【例11】     直接写出结果：

（1）                         （2）               

（3）                        （4）               

【例12】     计算：（1）      （2）      （3）      （4）

【变式练习】计算：（1）       （2）

（3）             （4）    

【例13】     计算：（1）                   （2）

【例14】     计算：（1）        （2）          （3）

【例15】     先化简，再求值：

（1），其中，．

（2），其中．

【例16】     计算：（1）      （2）

（3）        （4）

（5）      （6）

【例17】     填空：（1）；      （2）；

（3）；  （4）．

【例18】     已知，，求           ．

【变式练习】若，则            ．

【例19】     若则            ．

【变式练习】已知，，求的值．

【例20】     已知，求的值及的值．

【变式练习】已知，求的值．

【例21】     若，求的值．

【变式练习】已知，，则             ．

【例22】     设，为有理数，且，设的最小值为，的最大值为，则           ．

【例23】     填空：（1）；      （2）；

（3）；   （4）.

【例24】     （1）如果多项式是一个完全平方式，那么的值为            ．      

（2）如果多项式是一个完全平方式，那么的值为            ．      

【变式练习】如果是完全平方式，试求的值为            ．

【变式练习】若整式是完全平方式，请你写满足条件的单项式是              ．  

【例25】     求下列式子的最值：

（1）当为何值时，有最小值；（2）当为何值时，有最大值．

【变式练习】求的最值．

【例26】     若，为有理数，且，则             ．

【变式练习】已知满足则的值为          ．

【变式练习】设，，若，则实数，满足的条件是           ．

【例27】     若，为有理数，且，则              ．

【变式练习】若代数式，则代数式的值为           ．

【例28】     设是三角形的三边长，且，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是斜三角形．其中正确的是           ．

【例29】     已知求多项式的值．

【变式练习】如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上两个数之和相等，如果的对面的数分别求的值．

【变式练习】若且，则         ．

【习题1】请设计一个几何图形，验证．

【习题2】计算：（1）    （2）

【习题3】计算：（1）                      （2）

（3）          （4）

【习题4】计算：（1）           （2）

（3）

【习题5】已知，，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）

【习题6】（1）若，则____．

（2）若是一个完全平方式，则______．

（3）若是一个完全平方式，则_____．

【习题7】若，，，则           ．

【习题8】求多项式的最值．