数学人教A版 (2019)8.2 立体图形的直观图课堂检测

8.2　立体图形的直观图

基础过关练

题组一　用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020湖南衡阳八中高一月考)如图是水平放置的三角形的直观图,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'离B'比D'离C'近,A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中,最长、最短的线段分别是(　　)

A.AB,AC B.AC,AD

C.AD,AC D.AB,AD

2.(2020黑龙江大庆实验中学高一下月考)如图为一平面图形的直观图,则此平面图形是下列选项中的(　　)

3.如图,建立平面直角坐标系,得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是(　　)

4.用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图.

题组二　空间几何体的直观图的画法

5.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为(　　)

A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm

B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm

C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm

D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm

6.已知两个圆锥的底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　)

A.2 cm  B.3 cm  C.2.5 cm  D.5 cm

7.用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.

题组三　平面图形直观图的有关计算

8.(2020安徽合肥一中高二上期中)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD(如图所示),若∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为(　　)

A.+ B.2+

C.+ D.+

9.(2020陕西汉中高一上期末校级联考)如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图,则原平面图形的面积为　　　　. 

10.(2020河南济源高一上期末)已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'如图所示,其中A'D'=2,B'C'=4,A'B'=1,则DC的长度是　　　　. 

能力提升练

题组　与直观图有关的计算　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020黑龙江大庆实验中学高一下期中,)△ABC按斜二测画法得到△A'B'C',如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC的形状是(　　)

A.等边三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形

2.(2020山西大学附属中学高二上期中,)如图,平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=4,O'C'=2,∠A'O'C'=30°,则下列叙述正确的是(　　)

A.原图形是正方形

B.原图形是非正方形的菱形

C.原图形的面积是8

D.原图形的面积是8

3.(2020山东烟台二中高一下月考,)如图,水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形,则原图形的周长是(　　)

A.8 cm B.6 cm

C.2(1+) cm D.2(1+) cm

4.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一下期中,)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形的面积为(　　)

A.5 B.5 C. D.

5.(2020四川绵阳中学高二上月考,)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是(　　)

A.2+ B.

C. D.1+

6.(2020河北衡水武邑中学高一上月考,)如图所示,四边形ABCD为一平面图形的直观图,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,AB∥y'轴,AD∥x'轴,则原四边形的面积为(　　)

A.4 B.8 C.12 D.10

7.(2020江西赣州十五县高二上期中,)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线为　　　　. 

8.(2020黑龙江鸡西第一中学高一下期末,)如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',其中A'D'∥y'轴,则△AOB的周长是　　　　. 

9.()在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形 A'B'C'D',如图,其对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的平面图形并求出其面积.

答案全解全析

基础过关练

1.B　原△ABC的平面图如图所示.

由题意可知,AD⊥BC,BD<DC,所以AC>AB>AD,所以△ABC的AB,AC,AD三条线段中,最长的是AC,最短的是AD.故选B.

2.C　由斜二测画法的规则知,C正确.

3.C　在A、B、D中,三角形ABC的直观图的底和高均相等,它们是全等的,只有C不全等.

4.解析　(1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图①所示.

(2)画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示,在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD;过E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC.

(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.

5.C　由比例可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法可知,直观图的相应尺寸分别为4 cm,0.5 cm,2 cm和1.6 cm.

6.D　由题意可知其直观图如图所示.

由图可知,两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.

7.解析　(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.

(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则面ABCD即为四棱台的下底面.

(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',作平行于轴Oy的轴O'y',在平面x'O'y'内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.

(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理,就得到四棱台的直观图(如图②).

8.B　∵在直观图中,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,

∴BC=1+,

∴原平面图形是上底长为1,下底长为1+,高为2的直角梯形,

∴原平面图形的面积为××2=2+.

故选B.

9.答案　4

解析　由斜二测画法可知,原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形,故面积为×2×4=4.

10.答案　2

解析　画出原图形如下图所示,过点D作DE⊥BC于E,则DC==2.

能力提升练

1.A　原△ABC如图所示.

由图易得,AB=BC=AC=2,故△ABC为等边三角形,故选A.

2.C　过点C'作y'轴的平行线交x'轴于点D',如图(1),由题意得,O'C'=2,∠C'O'D'=30°,∠C'D'O'=135°,∠D'C'O'=15°,所以由正弦定理可得==,

解得O'D'=-1,D'C'=.

图(1)

将直观图还原为平面图形,如图(2),

则OD=O'D'=-1,CD=2D'C'=2,所以OC==,

又OA=OA'=4,所以OC≠OA,所以原图形既不是正方形也不是菱形,原图形的面积为4×2=8.

图(2)

3.A　由斜二测画法的规则知,原平面图形如图所示.

则其周长为2(1+)=8 cm.故选A.

4.B　根据斜二测画法的规则可知,水平放置的图形OABC为直角梯形.由题意可知,OA=2,AB=2,BC=2+1=3,所以原平面图形的面积为×(3+2)×2=5.

5.A　如图所示,建立坐标系,

由图可知,原平面图形OABC为直角梯形,OC=2,BC=1,OA=+1,

所以原平面图形的面积为×(1+1+)×2=2+.故选A.

6.C　根据题意得,∠BAD=45°,原图形为一个直角梯形,且上、下底的长分别与BC,AD相等,高为AB的2倍,

所以原平面图形的面积为×(2+4)×4=12.故选C.

7.答案　

解析　由题易得,△ABC为直角三角形,且AC=3,BC=4,∠C为直角,

所以AB==5,因此,AB边上的中线为AB=.

8.答案　4+4

解析　根据直观图画出原图如下图所示.

根据原图与直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==2,所以△AOB的周长是4+2×2=4+4.

9.解析　四边形ABCD的平面图形如图所示,

因为A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'为正方形,

所以∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,

所以在四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC.

因为DA=2D'A'=2,AC=A'C'=,

所以S四边形ABCD=×AC×AD×2=2.