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2021学年3.1 椭圆第2课时当堂达标检测题
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这是一份2021学年3.1 椭圆第2课时当堂达标检测题，共17页。试卷主要包含了已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是 ( )
A.63 B.-63 C.±63 D.±33
4.已知直线y=kx+1和椭圆x2+2y2=1有公共点,则k的取值范围是( )
A.k<-22或k>22 B.-22
题组二 直线与椭圆的相交弦问题
5.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为( )
A.67 B.167 C.716 D.76
6.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
7.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于( )
A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.±13
8.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .
9.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e为32,短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过P(2,1)作弦且弦被P平分,求此弦所在的直线方程及弦长.
题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用
11.设椭圆C:x29+y24=1的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为( )
A.13 B.12 C.33 D.32
12.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为 .
13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.
(1)求四边形PQRS面积的最大值;
(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.
能力提升练
题组一 直线与椭圆的相交弦问题
1.()已知椭圆x2+y24=1 和点A12,12,B12,1,若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为( )
A.[-4,-2] B.[-2,-1]
C.[-4,-1] D.-1,-12
2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A.y=2x-3 B.y=2x+1
C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
3.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为 .
4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为32.
(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.
5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.
题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用
6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为( )
A.0或1 B.2
C.1 D.0
7.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为 ( )
A.55 B.33
C.105 D.3310
8.(多选)()已知椭圆C:x24+y22=1的左,右两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2<90°
C.直线BE的斜率为12k
D.∠PAB>90°
9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x225+y29=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P的坐标为 .
10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作斜率为12的直线l与C交于A,B两点,若|OF1|=|OA|,则椭圆C的离心率为 .
11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且过点1,22和22,32.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求△ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.
12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为22.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.
(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;
(ii)点Q是直线l上异于F2的一点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.
13.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
解法二:联立直线与椭圆的方程,得y=x+1,x25+y24=1,消去y得,9x2+10x-15=0,
Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.
2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
3.C 由y=kx+2,x23+y22=1,
消去y并整理,
得(2+3k2)x2+12kx+6=0,
由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,
解得k=±63,故选C.
4.C 由y=kx+1,x2+2y2=1,得(2k2+1)x2+4kx+1=0.
∵直线与椭圆有公共点,
∴Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,
解得k≤-22或k≥22.
5.B 设直线AB的方程为y=kx+b(k≠0),易求直线AB的方程为y=3(x+2).由y=3(x+2),x2+2y2=4,消去y并整理,得7x2+122x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=87.
由弦长公式,得|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+(3)2×-12272-4×87=167.
6.C 联立方程,得y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0).
∴x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23,y0=x0+1=13,∴中点坐标为-23,13.
7.B 由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).
不妨设直线l过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l的方程为y=x-1.
代入x22+y2=1得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2=0,x1+x2=43,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1-43=-13,
所以OA·OB=x1x2+y1y2=0-13=-13.
8.答案 -12
解析 设弦两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).因为(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,将A,B两点代入椭圆方程,
得x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减得x22-x1236+y22-y129=0,整理得y2-y1x2-x1=-x2+x14(y2+y1),即kAB=y2-y1x2-x1=-12.
9.答案 53
解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x25+y24=1联立,消去y,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2×(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×0=553.设原点到直线的距离为d,则d=|-2|(-1)2+22=255.
所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×255=53.
10.解析 (1)由e=ca=32可设,a=2t,c=3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,
所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.
(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4,y1+y2=2,将A,B两点坐标分别代入椭圆的方程得x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减可得,
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
∴弦所在直线的斜率k=y2-y1x2-x1=-12,
∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0,
联立椭圆的方程得x2-4x=0,解得x=0或x=4,
因此弦长|AB|=1+k2·|x1-x2|=25.
11.B 依题意得,a2=9,b2=4,∴c2=5,
因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5.
由x2+y2=5,x29+y24=1,得x2=95,y2=165,
又点P在第一象限,∴P355,455,
又F1(-5,0),
∴斜率kPF1=455-0355+5=12,故选B.
12.答案 6
解析 由x24+y23=1,可得F(-1,0).
设P(x,y),-2≤x≤2,则OP=(x,y),FP=(x+1,y),
所以OP·FP=x2+x+y2=x2+x+3·1-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,
当且仅当x=2时,OP·FP取得最大值,最大值为6.
13.解析 (1)由P在椭圆上得m28+n22=1,
∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m28+n22≥2×m8×n2=mn2,当且仅当m28=n22=12,即m=2,n=1时,等号成立,
易知S四边形PQRS=2m×2n=4mn≤8,当m=2,n=1时取等号,
故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.
(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)8=-(y1-y2)(y1+y2)2(*),
∵M为线段AB的中点,
∴x1+x22=t,y1+y22=1,
∴(*)化为(x1-x2)t4=-(y1-y2),
∴k=-t4,故k∈-12,12.
能力提升练
1.A 设椭圆x2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x12+y124=1,①x22+y224=1,②
①-②,得(x12-x22)+14(y12-y22)=0,
即k=y1-y2x1-x2=-4(x1+x2)y1+y2=-4x0y0.
∵点M在线段AB上,
∴x0=12,12≤y0≤1,
∴k=-4x0y0=-2y0,2≤2y0≤4,故-4≤-2y0≤-2,则k∈[-4,-2],故选A.
2.ACD 直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.
3.答案 y275+x225=1
解析 设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则a2=b2+c2=b2+50.①
设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,
∴b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.
又x1+x2=2×12=1,y1+y2=2×-12=-1,y1-y2x1-x2=3,
∴b2×3×(-1)+a2×1=0,即a2=3b2.②
联立①②得,a2=75,b2=25.
故该椭圆的方程为y275+x225=1.
4.解析 (1)因为离心率e=ca=32,所以c2=34a2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a2-b2=c2,所以a2=16,b2=4,
即椭圆方程为x216+y24=1,
因此, x216+y24=1,y=x+m⇒5x2+8mx+4m2-16=0,因为直线y=x+m与椭圆有公共点,所以Δ=64m2-4×5×(4m2-16)≥0,即m2≤20,解得-25≤m≤25.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),
联立方程y-1=k(x-2),x216+y24=1⇒(4k2+1)x2+8k·(1-2k)x+16k2-16k-12=0,
所以x1+x22=4k(2k-1)4k2+1=2,解得k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.
解法二:x216+y24=1⇒x2+4y2=16,
x12+4y12=16,x22+4y22=16⇒(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)·(y1+y2)=0⇒y1-y2x1-x2=x1+x2-4(y1+y2)=-12,
所以斜率k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.
5.解析 (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp),
由已知得xp=x,yp=54y,因为P在圆上,所以x2+54y2=25,即点M的轨迹C的方程为x225+y216=1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,
整理得x2-3x-8=0,所以x1+x2=3,x1x2=-8,所以|AB|=1+452·(x1+x2)2-4x1x2=415.
6.B 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n2>2,所以m2+n2<4,而m29+n24≤m24+n24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1必有两个交点,故选B.
7.A 设F1的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c,0),故过F1且与x轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b2a.可设A-c,b2a,C(x,y),由题意可得△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,故AF2=2F2C,即有2c,-b2a=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-b2a=2y,则x=2c,y=-b22a,代入椭圆方程可得4c2a2+b24a2=1,即4c2a2+a2-c24a2=1,
∴4e2+14-14e2=1,解得e=55(负值舍去).故选A.
8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;
∵a2=4,b2=2,∴c2=2,
∴∠F1AF2<90°,
又∠F1PF2<∠F1AF2<90°,
故B正确;
由x2+2y2=4,y=kx得x2=41+2k2,y2=4k21+2k2,
结合图形,不妨设k>0,则A21+2k2,2k1+2k2,
B-21+2k2,-2k1+2k2,E21+2k2,0,
∴kBE=2k1+2k221+2k2+21+2k2=12k,故C正确;
取k=2,则A23,43,B-23,-43,E23,0,
∴直线BE的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P149,89,∴PA=-89,49,PB=-209,-209,
∴PA·PB=1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC.
9.答案 -4,95
解析 设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c≠40).
由9x2+25y2=225,4x-5y+c=0,得25x2+8cx+c2-225=0,
令Δ=(8c)2-4×25×(c2-225)=0得,
c2=625,解得c=±25.
结合图形(图略)取c=25,此时,x2+8x+16=0⇒x=-4.
代入4x-5y+25=0得,y=95,
∴P-4,95.
10.答案 53
解析 如图所示,设右焦点为F2,
则|OF1|=|OA|=|OF2|,∴AF1⊥AF2,
又tan∠AF1F2=12,
∴|AF1|=455c,|AF2|=255c.
因此,2a=|AF1|+|AF2|=655c⇒e=ca=53.
11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得1a2+12b2=1,12a2+34b2=1,解得a2=2,b2=1,
所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由A在x轴上方,可知直线AF2的斜率不为0,所以设直线AF2的方程为x=ty+1,
联立x22+y2=1,x=ty+1⇒(t2+2)y2+2ty-1=0,
得y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,所以|AB|=1+t2·|y1-y2|=22(1+t2)t2+2.
设原点到直线AF2的距离为d,则d=11+t2,
所以S△ABC=2S△OAB=2×12×|AB|×d=22(1+t2)t2+2=221+t2+11+t2≤2,
当且仅当1+t2=11+t2,即t=0时,等号成立,此时直线AB的方程为x=1,所以A1,22,B1,-22,C-1,-22,
所以此时直线BC的方程为y=-22.
12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,所以半焦距c=1.
因为离心率为22,所以a=2,所以b=1.所以椭圆的方程是x22+y2=1.
(2)(i)由(1)知F2(1,0),
当直线l的斜率不存在时,不妨设A1,22,B1,-22,所以|AF2|·|BF2|=12.
当直线l的斜率存在时,直线l的方程可设为y=k(x-1).
联立方程x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.
所以|AF2|=(x1-1)2+y12=1+k2|x1-1|,|BF2|=(x2-1)2+y22=1+k2|x2-1|.
所以|AF2|·|BF2|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)+1|
=(1+k2)2k2-21+2k2-4k21+2k2+1=1+k21+2k2 =121+11+2k2.
因为11+2k2∈(0,1],
所以|AF2|·|BF2|的取值范围是12,1.
因为当直线l的斜率不存在时,|AF2|·|BF2|=12,
所以|AF2|·|BF2|的最小值是12.
(ii)证明:由题意得,直线l的斜率一定存在.因为点Q在直线l上,所以设点Q的坐标是(m,k(m-1)).
因为|QA||QB|=|F2A||F2B|,
所以点Q一定在BA的延长线上,
所以m-x1m-x2=x1-11-x2,
即(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0.
所以4k2(m+1)1+2k2-2(2k2-2)1+2k2-2m=0.
化简得m=2.所以点Q的坐标是(2,k).
因此点Q在定直线x=2上.
13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为b2-322,由直线m的倾斜角为30°得b2-322=c2,
由e=ca=22得a2=2c2,即b2+c2=2c2,
∴b2=c2,将其与b2-322=c2联立,
得b=c=1,∴a=2,∴椭圆方程为x22+y2=1.
(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).
①若直线l垂直于x轴,l与椭圆交于(0,1),(0,-1),
取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.
②若直线l不垂直于x轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x22+y2=1整理得,
(2k2+1)x2+12kx+16=0,令Δ=16k2-64>0,则k<-2或k>2,x1+x2=-12k2k2+1(*),x1x2=162k2+1(**),
对于|PA|=2|AB|,包含两种情况:
(i)PA=2AB,即(x1-0,y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),
∴x1=2(x2-x1),即x2=32x1,
代入(*)(**)得52x1=-12k2k2+1,32x12=162k2+1,消去x1得3225×-12k2k2+12=162k2+1,解得k=±52,
∴l的方程为y=52x+3或y=-52x+3.
(ii)PA=2BA,即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),∴x1=2x2,
代入(*)(**)得3x2=-12k2k2+1,2x22=162k2+1,消去x2得,
213×-12k2k2+12=162k2+1,有2k2=2k2+1,无解.
综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用
基础过关练
题组一 直线与椭圆的位置关系
1.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.无法判断
2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是 ( )
A.63 B.-63 C.±63 D.±33
4.已知直线y=kx+1和椭圆x2+2y2=1有公共点,则k的取值范围是( )
A.k<-22或k>22 B.-22
题组二 直线与椭圆的相交弦问题
5.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为( )
A.67 B.167 C.716 D.76
6.直线y=x+1被椭圆x24+y22=1所截得线段的中点的坐标是( )
A.23,53 B.43,73
C.-23,13 D.-132,-172
7.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于( )
A.-3 B.-13 C.-13或-3 D.±13
8.(2019广东深圳中学高二上期中)若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 .
9.过椭圆x25+y24=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 .
10.(2020河北唐山一中高二上期中)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e为32,短轴长为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过P(2,1)作弦且弦被P平分,求此弦所在的直线方程及弦长.
题组三 直线与椭圆位置关系的综合运用
11.设椭圆C:x29+y24=1的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为( )
A.13 B.12 C.33 D.32
12.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为 .
13.已知P(m,n)(m>0,n>0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.
(1)求四边形PQRS面积的最大值;
(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.
能力提升练
题组一 直线与椭圆的相交弦问题
1.()已知椭圆x2+y24=1 和点A12,12,B12,1,若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为( )
A.[-4,-2] B.[-2,-1]
C.[-4,-1] D.-1,-12
2.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
A.y=2x-3 B.y=2x+1
C.y=-2x-3 D.y=-2x+3
3.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为 .
4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为4,离心率为32.
(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.
5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.
题组二 直线与椭圆位置关系的综合运用
6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为( )
A.0或1 B.2
C.1 D.0
7.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为 ( )
A.55 B.33
C.105 D.3310
8.(多选)()已知椭圆C:x24+y22=1的左,右两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )
A.四边形AF1BF2为平行四边形
B.∠F1PF2<90°
C.直线BE的斜率为12k
D.∠PAB>90°
9.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x225+y29=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P的坐标为 .
10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作斜率为12的直线l与C交于A,B两点,若|OF1|=|OA|,则椭圆C的离心率为 .
11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且过点1,22和22,32.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求△ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.
12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为22.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≥x2)两点.
(i)求|AF2|·|BF2|的最小值;
(ii)点Q是直线l上异于F2的一点,且满足|QA||QB|=|F2A||F2B|,求证:点Q在一条定直线上.
13.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=22,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.A 解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1得,0+14<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交.
解法二:联立直线与椭圆的方程,得y=x+1,x25+y24=1,消去y得,9x2+10x-15=0,
Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.
2.A 直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+14<1,所以点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.
3.C 由y=kx+2,x23+y22=1,
消去y并整理,
得(2+3k2)x2+12kx+6=0,
由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,
解得k=±63,故选C.
4.C 由y=kx+1,x2+2y2=1,得(2k2+1)x2+4kx+1=0.
∵直线与椭圆有公共点,
∴Δ=16k2-4(2k2+1)≥0,
解得k≤-22或k≥22.
5.B 设直线AB的方程为y=kx+b(k≠0),易求直线AB的方程为y=3(x+2).由y=3(x+2),x2+2y2=4,消去y并整理,得7x2+122x+8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-1227,x1x2=87.
由弦长公式,得|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+(3)2×-12272-4×87=167.
6.C 联立方程,得y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.设直线与椭圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(x0,y0).
∴x1+x2=-43,x0=x1+x22=-23,y0=x0+1=13,∴中点坐标为-23,13.
7.B 由x22+y2=1,得a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,则焦点坐标为(±1,0).
不妨设直线l过右焦点,又倾斜角为45°,则直线l的方程为y=x-1.
代入x22+y2=1得x2+2(x-1)2-2=0,即3x2-4x=0.设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1x2=0,x1+x2=43,y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1-43=-13,
所以OA·OB=x1x2+y1y2=0-13=-13.
8.答案 -12
解析 设弦两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).因为(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,将A,B两点代入椭圆方程,
得x1236+y129=1,x2236+y229=1,两式相减得x22-x1236+y22-y129=0,整理得y2-y1x2-x1=-x2+x14(y2+y1),即kAB=y2-y1x2-x1=-12.
9.答案 53
解析 由题意知,右焦点的坐标为(1,0),直线的斜率k=2,所以直线的方程为y=2(x-1),将其与x25+y24=1联立,消去y,得3x2-5x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2×(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×0=553.设原点到直线的距离为d,则d=|-2|(-1)2+22=255.
所以S△OAB=12|AB|·d=12×553×255=53.
10.解析 (1)由e=ca=32可设,a=2t,c=3t(t>0),则b=t=2,因此a=4,
所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.
(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4,y1+y2=2,将A,B两点坐标分别代入椭圆的方程得x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减可得,
(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
∴弦所在直线的斜率k=y2-y1x2-x1=-12,
∴以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0,
联立椭圆的方程得x2-4x=0,解得x=0或x=4,
因此弦长|AB|=1+k2·|x1-x2|=25.
11.B 依题意得,a2=9,b2=4,∴c2=5,
因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5.
由x2+y2=5,x29+y24=1,得x2=95,y2=165,
又点P在第一象限,∴P355,455,
又F1(-5,0),
∴斜率kPF1=455-0355+5=12,故选B.
12.答案 6
解析 由x24+y23=1,可得F(-1,0).
设P(x,y),-2≤x≤2,则OP=(x,y),FP=(x+1,y),
所以OP·FP=x2+x+y2=x2+x+3·1-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,
当且仅当x=2时,OP·FP取得最大值,最大值为6.
13.解析 (1)由P在椭圆上得m28+n22=1,
∵m>0,n>0,∴利用基本不等式得1=m28+n22≥2×m8×n2=mn2,当且仅当m28=n22=12,即m=2,n=1时,等号成立,
易知S四边形PQRS=2m×2n=4mn≤8,当m=2,n=1时取等号,
故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.
(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)8=-(y1-y2)(y1+y2)2(*),
∵M为线段AB的中点,
∴x1+x22=t,y1+y22=1,
∴(*)化为(x1-x2)t4=-(y1-y2),
∴k=-t4,故k∈-12,12.
能力提升练
1.A 设椭圆x2+y24=1的某弦的两个端点分别为P(x1,y1),Q(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x12+y124=1,①x22+y224=1,②
①-②,得(x12-x22)+14(y12-y22)=0,
即k=y1-y2x1-x2=-4(x1+x2)y1+y2=-4x0y0.
∵点M在线段AB上,
∴x0=12,12≤y0≤1,
∴k=-4x0y0=-2y0,2≤2y0≤4,故-4≤-2y0≤-2,则k∈[-4,-2],故选A.
2.ACD 直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,因此A、C、D中的直线被椭圆C截得的弦长一定为7,而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7.故选ACD.
3.答案 y275+x225=1
解析 设椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),则a2=b2+c2=b2+50.①
设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,
∴b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.
又x1+x2=2×12=1,y1+y2=2×-12=-1,y1-y2x1-x2=3,
∴b2×3×(-1)+a2×1=0,即a2=3b2.②
联立①②得,a2=75,b2=25.
故该椭圆的方程为y275+x225=1.
4.解析 (1)因为离心率e=ca=32,所以c2=34a2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a2-b2=c2,所以a2=16,b2=4,
即椭圆方程为x216+y24=1,
因此, x216+y24=1,y=x+m⇒5x2+8mx+4m2-16=0,因为直线y=x+m与椭圆有公共点,所以Δ=64m2-4×5×(4m2-16)≥0,即m2≤20,解得-25≤m≤25.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),
联立方程y-1=k(x-2),x216+y24=1⇒(4k2+1)x2+8k·(1-2k)x+16k2-16k-12=0,
所以x1+x22=4k(2k-1)4k2+1=2,解得k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.
解法二:x216+y24=1⇒x2+4y2=16,
x12+4y12=16,x22+4y22=16⇒(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)·(y1+y2)=0⇒y1-y2x1-x2=x1+x2-4(y1+y2)=-12,
所以斜率k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.
5.解析 (1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp),
由已知得xp=x,yp=54y,因为P在圆上,所以x2+54y2=25,即点M的轨迹C的方程为x225+y216=1.
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),
设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,
整理得x2-3x-8=0,所以x1+x2=3,x1x2=-8,所以|AB|=1+452·(x1+x2)2-4x1x2=415.
6.B 因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n2>2,所以m2+n2<4,而m29+n24≤m24+n24<1,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1必有两个交点,故选B.
7.A 设F1的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c,0),故过F1且与x轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=±b2a.可设A-c,b2a,C(x,y),由题意可得△ABF2的面积是△BCF2的面积的2倍,故AF2=2F2C,即有2c,-b2a=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-b2a=2y,则x=2c,y=-b22a,代入椭圆方程可得4c2a2+b24a2=1,即4c2a2+a2-c24a2=1,
∴4e2+14-14e2=1,解得e=55(负值舍去).故选A.
8.ABC 由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;
∵a2=4,b2=2,∴c2=2,
∴∠F1AF2<90°,
又∠F1PF2<∠F1AF2<90°,
故B正确;
由x2+2y2=4,y=kx得x2=41+2k2,y2=4k21+2k2,
结合图形,不妨设k>0,则A21+2k2,2k1+2k2,
B-21+2k2,-2k1+2k2,E21+2k2,0,
∴kBE=2k1+2k221+2k2+21+2k2=12k,故C正确;
取k=2,则A23,43,B-23,-43,E23,0,
∴直线BE的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P149,89,∴PA=-89,49,PB=-209,-209,
∴PA·PB=1609-809>0,∴∠PAB>90°错误.故选ABC.
9.答案 -4,95
解析 设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c≠40).
由9x2+25y2=225,4x-5y+c=0,得25x2+8cx+c2-225=0,
令Δ=(8c)2-4×25×(c2-225)=0得,
c2=625,解得c=±25.
结合图形(图略)取c=25,此时,x2+8x+16=0⇒x=-4.
代入4x-5y+25=0得,y=95,
∴P-4,95.
10.答案 53
解析 如图所示,设右焦点为F2,
则|OF1|=|OA|=|OF2|,∴AF1⊥AF2,
又tan∠AF1F2=12,
∴|AF1|=455c,|AF2|=255c.
因此,2a=|AF1|+|AF2|=655c⇒e=ca=53.
11.解析 (1)将两点代入椭圆方程,得1a2+12b2=1,12a2+34b2=1,解得a2=2,b2=1,
所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由A在x轴上方,可知直线AF2的斜率不为0,所以设直线AF2的方程为x=ty+1,
联立x22+y2=1,x=ty+1⇒(t2+2)y2+2ty-1=0,
得y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,所以|AB|=1+t2·|y1-y2|=22(1+t2)t2+2.
设原点到直线AF2的距离为d,则d=11+t2,
所以S△ABC=2S△OAB=2×12×|AB|×d=22(1+t2)t2+2=221+t2+11+t2≤2,
当且仅当1+t2=11+t2,即t=0时,等号成立,此时直线AB的方程为x=1,所以A1,22,B1,-22,C-1,-22,
所以此时直线BC的方程为y=-22.
12.解析 (1)因为椭圆的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,所以半焦距c=1.
因为离心率为22,所以a=2,所以b=1.所以椭圆的方程是x22+y2=1.
(2)(i)由(1)知F2(1,0),
当直线l的斜率不存在时,不妨设A1,22,B1,-22,所以|AF2|·|BF2|=12.
当直线l的斜率存在时,直线l的方程可设为y=k(x-1).
联立方程x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.
所以|AF2|=(x1-1)2+y12=1+k2|x1-1|,|BF2|=(x2-1)2+y22=1+k2|x2-1|.
所以|AF2|·|BF2|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)+1|
=(1+k2)2k2-21+2k2-4k21+2k2+1=1+k21+2k2 =121+11+2k2.
因为11+2k2∈(0,1],
所以|AF2|·|BF2|的取值范围是12,1.
因为当直线l的斜率不存在时,|AF2|·|BF2|=12,
所以|AF2|·|BF2|的最小值是12.
(ii)证明:由题意得,直线l的斜率一定存在.因为点Q在直线l上,所以设点Q的坐标是(m,k(m-1)).
因为|QA||QB|=|F2A||F2B|,
所以点Q一定在BA的延长线上,
所以m-x1m-x2=x1-11-x2,
即(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0.
所以4k2(m+1)1+2k2-2(2k2-2)1+2k2-2m=0.
化简得m=2.所以点Q的坐标是(2,k).
因此点Q在定直线x=2上.
13.解析 (1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为b2-322,由直线m的倾斜角为30°得b2-322=c2,
由e=ca=22得a2=2c2,即b2+c2=2c2,
∴b2=c2,将其与b2-322=c2联立,
得b=c=1,∴a=2,∴椭圆方程为x22+y2=1.
(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).
①若直线l垂直于x轴,l与椭圆交于(0,1),(0,-1),
取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.
②若直线l不垂直于x轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x22+y2=1整理得,
(2k2+1)x2+12kx+16=0,令Δ=16k2-64>0,则k<-2或k>2,x1+x2=-12k2k2+1(*),x1x2=162k2+1(**),
对于|PA|=2|AB|,包含两种情况:
(i)PA=2AB,即(x1-0,y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),
∴x1=2(x2-x1),即x2=32x1,
代入(*)(**)得52x1=-12k2k2+1,32x12=162k2+1,消去x1得3225×-12k2k2+12=162k2+1,解得k=±52,
∴l的方程为y=52x+3或y=-52x+3.
(ii)PA=2BA,即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),∴x1=2x2,
代入(*)(**)得3x2=-12k2k2+1,2x22=162k2+1,消去x2得,
213×-12k2k2+12=162k2+1,有2k2=2k2+1,无解.
综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
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