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- 第六章计数原理6.2 综合拔高练 试卷 0 次下载
- 6.2.3 组合6.2.4组合数练习题 试卷 0 次下载
- 6.3.1 二项式定理练习题 试卷 0 次下载
- 6.3.2 二项式系数的性质练习题 试卷 0 次下载
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理免费测试题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理免费测试题，共14页。
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人,则不同的选法种数为( )
A.6B.5C.3D.2
2.从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为 ( )
A.2B.4C.6D.8
3.(2020天津宝坻高二下期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,则可构成真分数的个数为( )
A.8B.9C.10D.11
题组二 分步乘法计数原理
4.(2020海南华侨中学高二上期末)某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加其中的一个社团,且只能参加一个社团,则不同的参加种数为( )
A.64B.81C.24D.72
5.设M、N是两个非空集合,定义M⊗N={(a,b)|a∈M,b∈N},若P={0,1,2},Q={1,2},则P⊗Q中元素的个数是( )
A.4B.9C.6D.3
6.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛,决出第一到第五名的名次(无并列名次).甲、乙两名同学去询问成绩,老师说:“虽然你们都不是第一名,但你们也都不是最后一名.”从上述回答分析,5人的名次不同的情况有( )
A.36种B.48种C.18种D.54种
7.(2020北京平谷高二上期末)从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者,要求男、女生各1人,那么不同的安排有 种.(用数字作答)
8.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上不同的点?
(2)P可以表示多少个第二象限的点?
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?
题组三 两个计数原理的综合应用
9.(2020北京东城高三上期末)从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为( )
A.7B.9C.10D.13
10.(多选)(2020北京第六十六中学高二上期中)某校实行选科走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层班级,该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是( )
A.此人有4种不同的选课方式
B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节
D.自习课可安排在4节课中的任一节
11.某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?
能力提升练
题组一 分类加法计数原理
1.(2019山东泰安一中高二下月考,)若一个三位数的各位数字之和等于10,且各位数字允许重复(如235,505等),则这种三位数的个数是( )
A.54B.50C.60D.58
2.(2020辽宁鞍山一中高二下月考,)某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门,每个部门至少1个名额,那么不同的名额分配方案总数为( )
A.6B.10C.15D.21
3.(2019江西师大附中高二期末,)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={a1,a2,a3},若A⊆S,a1,a2,a3满足a1题组二 分步乘法计数原理
4.(2019北京一零一中学高二下期末,)540的不同约数共有 个.
5.(2020山东临沂高三上期末,)甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个路口有1名或2名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案种数为 ,甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口的分配方案种数为 .(用数字作答)
6.(2020山东东营一中高三上期末,)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值?
题组三 两个计数原理的综合应用
7.(2020辽宁盘锦高级中学高二下月考,)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的九宫格中的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法有 种.
8.(2020山东青岛二中高三上期末,)如图,在由开关组A与B组成的电路中,闭合开关使灯发光的方法有 种.
9.(2019安徽合肥巢湖高二月考,)现有5种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有 种涂法.
10.(2020山东泰安高二下期末,)假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,在①甲只选择空气质量为优的一天出游;②乙不选择4月27日出游;③丙不选择4月24日出游;④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个,求这三人出游的不同方法数.
未来六天空气质量预报
11.(2020山东历城二中高二下月考,)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人抛掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有多少种?
答案全解全析
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础过关练
1.B 选取的方法可分为两类:从3名女大学生中选聘1人,有3种选法;从2名男大学生中选聘1人,有2种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为3+2=5,故选B.
2.D 分两类:当公差大于0时,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个;当公差小于0时,也有4个.根据分类加法计数原理,可组成不同的等差数列的个数为4+4=8.
3.D 分四类:①当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;②当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;③当分子为5时,有58,59,共2个真分数;④当分子为7时,有78,79,共2个真分数.根据分类加法计数原理,可构成4+3+2+2=11个真分数.故选D.
4.A 因为每位同学都可以选择4个不同社团中的一个,即每位同学都有4种选择方案,所以不同的参加种数为4×4×4=64.故选A.
5.C 因为P={0,1,2},Q={1,2},
所以a有3种选法,b有2种选法,
根据分步乘法计数原理,可得P⊗Q中元素的个数为3×2=6.故选C.
6.A 甲和乙不是第一名也不是最后一名,所以丙、丁和戊3人中有人获得第一名和最后一名,共有3×2种情况,剩下的一人和甲、乙分别获得第二、三、四名,共有3×2×1种情况,所以根据分步乘法计数原理可知,共有3×2×3×2×1=36种情况.
7.答案 24
解析 先选一名男生,有3种方法,再选一名女生,有4种方法,最后选出的2人再安排不同的工作,根据分步乘法计数原理,不同的安排有3×4×2=24种.
8.解析 (1)分两步.第一步确定a,有6种方法;第二步确定b,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36个不同的点.
(2)分两步.第一步确定a,只能从-3,-2,-1中选,有3种方法;第二步确定b,只能从1,2中选,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6个.
(3)分两步.第一步确定a,从集合M中的6个元素中任选一个,有6种方法;第二步确定b,从剩下的5个元素中任选一个,有5种方法,根据分步乘法计数原理,不在直线y=x上的点共有6×5=30个.
9.C 从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,可分为三类情况:(1)当三个数为1,1,4时,4可以在个位、十位、百位,所以共有3个这样的三位数;
(2)当三个数为1,2,3时,共有3×2×1=6个这样的三位数;
(3)当三个数为2,2,2时,只有1个这样的三位数.
由分类加法计数原理可得,共有3+6+1=10个,即这样的三位数共有10个.
故选C.
10.BD 由于生物在B层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类:
若生物选第2节,则地理可安排在第1,3节,有2种选法,其他任意选即可,故有2×2=4种(此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节);
若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选在第2节,故有1种.
根据分类加法计数原理可得,共有4+1=5种不同的选课方式.由以上分析可知,自习课可安排在4节课中的任一节.
11.解析 (1)根据题意,选其中一人为负责人,可分为3类.
第1类:选出的是高一学生,有13种选法;
第2类:选出的是高二学生,有12种选法;
第3类:选出的是高三学生,有9种选法.
由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种选法.
(2)根据题意,共分为3步.
第1步:从高一学生中选出1人,有13种选法;
第2步:从高二学生中选出1人,有12种选法;
第3步:从高三学生中选出1人,有9种选法.
由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1 404种选法.
(3)根据题意,可分为3类.
第1类:选出的是高一、高二学生,有13×12=156种选法;
第2类:选出的是高一、高三学生,有13×9=117种选法;
第3类:选出的是高二、高三学生,有12×9=108种选法.
由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种选法.
能力提升练
1.A 若百位为1,则十位可从0,1,2,…,9中任选一个数,有10种选法,因为各位数字之和等于10,所以个位只有1种选法,所以有10个满足条件的数;
若百位为2,则十位可从0,1,2,…,8中任选一个数,此时个位只有1种选法,所以有9个满足条件的数;
同理,若百位分别为3,4,5,6,7,8,9,依次可得满足条件的数有8,7,6,5,4,3,2个.
根据分类加法计数原理,共有10+9+8+…+2=54个.
2.A 5个名额分给3个部门,每个部门至少1个名额,存在两类分配方式,即2,2,1和3,1,1.
若分配方式为2,2,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可,有3种可能;
若分配方式为3,1,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可,有3种可能.
综上,共有3+3=6种方案.
3.答案 55
解析 因为a14.答案 24
解析 将540进行质因数分解为540=22×33×5,对于因数2,可以不选或选1次或选2次,对于因数3,可以不选或选1次或选2次或选3次,对于因数5,可以不选或选1次,
因此,540的不同约数共有3×4×2=24个.
5.答案 18;36
解析 甲、乙在同一路口,分步完成:
第一步:甲、乙选择一个路口,有3种选法;
第二步:剩下的3人中选1人,有3种选法,此人再在剩下的两个路口中选择一个路口服务,有2种选法,所以有3×2=6种选法;
第三步:剩下的2人一起选择最后的一个路口,只有1种选法.
根据分步乘法计数原理,有3×6×1=18种选法.
甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口.
先把另外3人依次1人选择1个路口,有3×2×1=6种选法,然后甲随意选择一个路口,有3种选法,最后乙选择一个路口,有2种选法,
根据分步乘法计数原理,有6×3×2=36种选法.
6.解析 第一步,取底数,有8种取法;
第二步,取真数,有7种取法.
根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数.
但在这些对数中,lg24=lg39,lg42=lg93,lg23=lg49,lg32=lg94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值.
7.答案 108
解析 分三步:第一步,先给标号1,5,9的小正方形涂色,有3种涂法.
第二步,给标号2,3,6的小正方形涂色,又分两类:一是标号3与标号1,5,9涂色相同,则标号2,6各有2种涂法,共4种涂法;二是标号3与标号1,5,9涂色不同,则标号3有2种涂法,此时标号2,6只有1种涂法,共2种涂法.综上可知,标号2,3,6的小正方形的涂法有4+2=6种.
第三步,给标号4,7,8的小正方形涂色,显然跟标号2,3,6的小正方形涂色方法一样,也是6种.
根据分步乘法计数原理,符合条件的所有涂法有3×6×6=108种.
8.答案 21
解析 分两类,每类中分两步.第一类:第1步:A组开关闭合一个,有2种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共2×(3+3+1)=14种闭法.
第二类:第1步:A组开关闭合2个,共1种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共1×(3+3+1)=7种闭法.
综上,共14+7=21种闭法.
9.答案 420
解析 第1类:顶点A,C同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×1×3=180种.
第2类:顶点A,C不同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×2×2=240种.综上,不同的涂法共有180+240=420种.
10.解析 若选择①②③,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100.
若选择①②④,则需分两类,第一类,若甲选择4月27日出游,则三人出游的不同方法数N1=5×6=30;第二类,若甲不选择4月27日出游,则三人出游的不同方法数N2=3×4×6=72.故这三人出游的不同方法数N=N1+N2=102.
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100.
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
11.解析 由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,
抛掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,
点数中三个数字能够使得和为12的有1、5、6,2、4、6,3、4、5,3、3、6,5、5、2,4、4、4,共6种组合.
①1、5、6,2、4、6,3、4、5这三种组合中,每一种又可以列出6种不同结果,所以有3×6=18种;
②3、3、6,5、5、2这两种组合中,每种有3种结果,所以有2×3=6种;
③组合4、4、4只有1种结果.
根据分类加法计数原理知,共有18+6+1=25种不同走法.
第一节
第二节
第三节
第四节
地理1班
化学A层
3班
地理2班
化学A层
4班
生物A层
1班
化学B层
2班
生物B层
2班
历史B层
1班
物理A层
1班
生物A层
3班
物理A层
2班
生物A层
4班
物理B层
2班
生物B层
1班
物理B层
1班
物理A层
4班
政治1班
物理A层
3班
政治2班
政治3班
4月24日
4月25日
4月26日
4月27日
4月28日
4月29日
优
优
优
优
良
良
基础过关练
题组一 分类加法计数原理
1.某中学需从2020年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人,则不同的选法种数为( )
A.6B.5C.3D.2
2.从1,2,3,4,5五个数中任取3个,可组成不同的等差数列的个数为 ( )
A.2B.4C.6D.8
3.(2020天津宝坻高二下期中)用1,3,5,7中的任意一个数作分子,2,4,8,9中的任意一个数作分母,则可构成真分数的个数为( )
A.8B.9C.10D.11
题组二 分步乘法计数原理
4.(2020海南华侨中学高二上期末)某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加其中的一个社团,且只能参加一个社团,则不同的参加种数为( )
A.64B.81C.24D.72
5.设M、N是两个非空集合,定义M⊗N={(a,b)|a∈M,b∈N},若P={0,1,2},Q={1,2},则P⊗Q中元素的个数是( )
A.4B.9C.6D.3
6.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛,决出第一到第五名的名次(无并列名次).甲、乙两名同学去询问成绩,老师说:“虽然你们都不是第一名,但你们也都不是最后一名.”从上述回答分析,5人的名次不同的情况有( )
A.36种B.48种C.18种D.54种
7.(2020北京平谷高二上期末)从3名男生和4名女生中选出2人分别担任2项不同的社区活动服务者,要求男、女生各1人,那么不同的安排有 种.(用数字作答)
8.设集合M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.
(1)P可以表示多少个平面上不同的点?
(2)P可以表示多少个第二象限的点?
(3)P可以表示多少个不在直线y=x上的点?
题组三 两个计数原理的综合应用
9.(2020北京东城高三上期末)从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,则这样的三位数的个数为( )
A.7B.9C.10D.13
10.(多选)(2020北京第六十六中学高二上期中)某校实行选科走班制度,张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科,且生物在B层班级,该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示,张毅选择三个科目的课各上一节,另外一节上自习,则下列说法正确的是( )
A.此人有4种不同的选课方式
B.此人有5种不同的选课方式
C.自习课不可能安排在第2节
D.自习课可安排在4节课中的任一节
11.某学校共有34人自愿组成数学建模社团,其中高一年级13人,高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每个年级各选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级,有多少种不同的选法?
能力提升练
题组一 分类加法计数原理
1.(2019山东泰安一中高二下月考,)若一个三位数的各位数字之和等于10,且各位数字允许重复(如235,505等),则这种三位数的个数是( )
A.54B.50C.60D.58
2.(2020辽宁鞍山一中高二下月考,)某单位把5个“先进个人奖”分给3个部门,每个部门至少1个名额,那么不同的名额分配方案总数为( )
A.6B.10C.15D.21
3.(2019江西师大附中高二期末,)设集合S={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={a1,a2,a3},若A⊆S,a1,a2,a3满足a1
4.(2019北京一零一中学高二下期末,)540的不同约数共有 个.
5.(2020山东临沂高三上期末,)甲、乙等5名同学参加志愿者服务,分别到三个路口疏导交通,每个路口有1名或2名志愿者,则甲、乙在同一路口的分配方案种数为 ,甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口的分配方案种数为 .(用数字作答)
6.(2020山东东营一中高三上期末,)从集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数,可得到多少个不同的对数值?
题组三 两个计数原理的综合应用
7.(2020辽宁盘锦高级中学高二下月考,)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的九宫格中的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1,5,9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法有 种.
8.(2020山东青岛二中高三上期末,)如图,在由开关组A与B组成的电路中,闭合开关使灯发光的方法有 种.
9.(2019安徽合肥巢湖高二月考,)现有5种不同的颜色给如图所示的几何体的五个顶点P,A,B,C,D涂色,要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同,则一共有 种涂法.
10.(2020山东泰安高二下期末,)假设今天是4月23日,某市未来六天的空气质量预报情况如下表所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天(4月24日~4月29日)内选择一天出游,在①甲只选择空气质量为优的一天出游;②乙不选择4月27日出游;③丙不选择4月24日出游;④甲与乙不选择同一天出游这四个条件中任选其中三个,求这三人出游的不同方法数.
未来六天空气质量预报
11.(2020山东历城二中高二下月考,)某人设计了一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为3个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人抛掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有多少种?
答案全解全析
第六章 计数原理
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
基础过关练
1.B 选取的方法可分为两类:从3名女大学生中选聘1人,有3种选法;从2名男大学生中选聘1人,有2种选法.根据分类加法计数原理,不同的选法种数为3+2=5,故选B.
2.D 分两类:当公差大于0时,有①1,2,3,②2,3,4,③3,4,5,④1,3,5,共4个;当公差小于0时,也有4个.根据分类加法计数原理,可组成不同的等差数列的个数为4+4=8.
3.D 分四类:①当分子为1时,有12,14,18,19,共4个真分数;②当分子为3时,有34,38,39=13,共3个真分数;③当分子为5时,有58,59,共2个真分数;④当分子为7时,有78,79,共2个真分数.根据分类加法计数原理,可构成4+3+2+2=11个真分数.故选D.
4.A 因为每位同学都可以选择4个不同社团中的一个,即每位同学都有4种选择方案,所以不同的参加种数为4×4×4=64.故选A.
5.C 因为P={0,1,2},Q={1,2},
所以a有3种选法,b有2种选法,
根据分步乘法计数原理,可得P⊗Q中元素的个数为3×2=6.故选C.
6.A 甲和乙不是第一名也不是最后一名,所以丙、丁和戊3人中有人获得第一名和最后一名,共有3×2种情况,剩下的一人和甲、乙分别获得第二、三、四名,共有3×2×1种情况,所以根据分步乘法计数原理可知,共有3×2×3×2×1=36种情况.
7.答案 24
解析 先选一名男生,有3种方法,再选一名女生,有4种方法,最后选出的2人再安排不同的工作,根据分步乘法计数原理,不同的安排有3×4×2=24种.
8.解析 (1)分两步.第一步确定a,有6种方法;第二步确定b,也有6种方法,根据分步乘法计数原理,共有6×6=36个不同的点.
(2)分两步.第一步确定a,只能从-3,-2,-1中选,有3种方法;第二步确定b,只能从1,2中选,有2种方法,根据分步乘法计数原理,第二象限的点共有3×2=6个.
(3)分两步.第一步确定a,从集合M中的6个元素中任选一个,有6种方法;第二步确定b,从剩下的5个元素中任选一个,有5种方法,根据分步乘法计数原理,不在直线y=x上的点共有6×5=30个.
9.C 从数字1,2,3,4,5中取出3个数字(允许重复),组成三位数,各位数字之和等于6,可分为三类情况:(1)当三个数为1,1,4时,4可以在个位、十位、百位,所以共有3个这样的三位数;
(2)当三个数为1,2,3时,共有3×2×1=6个这样的三位数;
(3)当三个数为2,2,2时,只有1个这样的三位数.
由分类加法计数原理可得,共有3+6+1=10个,即这样的三位数共有10个.
故选C.
10.BD 由于生物在B层班级,所以只能选第2或第3节,故分两类:
若生物选第2节,则地理可安排在第1,3节,有2种选法,其他任意选即可,故有2×2=4种(此种情况自习课可出现在第1、3、4节中的某节);
若生物选第3节,则地理只能选第1节,政治只能选第4节,自习只能选在第2节,故有1种.
根据分类加法计数原理可得,共有4+1=5种不同的选课方式.由以上分析可知,自习课可安排在4节课中的任一节.
11.解析 (1)根据题意,选其中一人为负责人,可分为3类.
第1类:选出的是高一学生,有13种选法;
第2类:选出的是高二学生,有12种选法;
第3类:选出的是高三学生,有9种选法.
由分类加法计数原理可得,共有13+12+9=34种选法.
(2)根据题意,共分为3步.
第1步:从高一学生中选出1人,有13种选法;
第2步:从高二学生中选出1人,有12种选法;
第3步:从高三学生中选出1人,有9种选法.
由分步乘法计数原理可得,共有13×12×9=1 404种选法.
(3)根据题意,可分为3类.
第1类:选出的是高一、高二学生,有13×12=156种选法;
第2类:选出的是高一、高三学生,有13×9=117种选法;
第3类:选出的是高二、高三学生,有12×9=108种选法.
由分类加法计数原理可得,共有156+117+108=381种选法.
能力提升练
1.A 若百位为1,则十位可从0,1,2,…,9中任选一个数,有10种选法,因为各位数字之和等于10,所以个位只有1种选法,所以有10个满足条件的数;
若百位为2,则十位可从0,1,2,…,8中任选一个数,此时个位只有1种选法,所以有9个满足条件的数;
同理,若百位分别为3,4,5,6,7,8,9,依次可得满足条件的数有8,7,6,5,4,3,2个.
根据分类加法计数原理,共有10+9+8+…+2=54个.
2.A 5个名额分给3个部门,每个部门至少1个名额,存在两类分配方式,即2,2,1和3,1,1.
若分配方式为2,2,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配1个名额即可,有3种可能;
若分配方式为3,1,1,则只需从3个部门中抽取1个部门分配3个名额即可,有3种可能.
综上,共有3+3=6种方案.
3.答案 55
解析 因为a1
解析 将540进行质因数分解为540=22×33×5,对于因数2,可以不选或选1次或选2次,对于因数3,可以不选或选1次或选2次或选3次,对于因数5,可以不选或选1次,
因此,540的不同约数共有3×4×2=24个.
5.答案 18;36
解析 甲、乙在同一路口,分步完成:
第一步:甲、乙选择一个路口,有3种选法;
第二步:剩下的3人中选1人,有3种选法,此人再在剩下的两个路口中选择一个路口服务,有2种选法,所以有3×2=6种选法;
第三步:剩下的2人一起选择最后的一个路口,只有1种选法.
根据分步乘法计数原理,有3×6×1=18种选法.
甲、乙不在同一路口,且另外三名同学均不在同一路口.
先把另外3人依次1人选择1个路口,有3×2×1=6种选法,然后甲随意选择一个路口,有3种选法,最后乙选择一个路口,有2种选法,
根据分步乘法计数原理,有6×3×2=36种选法.
6.解析 第一步,取底数,有8种取法;
第二步,取真数,有7种取法.
根据分步乘法计数原理,共得到8×7=56个对数.
但在这些对数中,lg24=lg39,lg42=lg93,lg23=lg49,lg32=lg94,所以可以得到56-4=52个不同的对数值.
7.答案 108
解析 分三步:第一步,先给标号1,5,9的小正方形涂色,有3种涂法.
第二步,给标号2,3,6的小正方形涂色,又分两类:一是标号3与标号1,5,9涂色相同,则标号2,6各有2种涂法,共4种涂法;二是标号3与标号1,5,9涂色不同,则标号3有2种涂法,此时标号2,6只有1种涂法,共2种涂法.综上可知,标号2,3,6的小正方形的涂法有4+2=6种.
第三步,给标号4,7,8的小正方形涂色,显然跟标号2,3,6的小正方形涂色方法一样,也是6种.
根据分步乘法计数原理,符合条件的所有涂法有3×6×6=108种.
8.答案 21
解析 分两类,每类中分两步.第一类:第1步:A组开关闭合一个,有2种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共2×(3+3+1)=14种闭法.
第二类:第1步:A组开关闭合2个,共1种闭法,第2步:B组开关闭合1个,有3种闭法;B组开关闭合2个,有3种闭法;B组开关闭合3个,有1种闭法.此时共1×(3+3+1)=7种闭法.
综上,共14+7=21种闭法.
9.答案 420
解析 第1类:顶点A,C同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A同色,只有1种颜色可选,顶点D有3种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×1×3=180种.
第2类:顶点A,C不同色.顶点P有5种颜色可供选择,顶点A有4种颜色可供选择,顶点B有3种颜色可供选择,此时顶点C与顶点A不同色,有2种颜色可选,顶点D有2种颜色可供选择,不同的涂法有5×4×3×2×2=240种.综上,不同的涂法共有180+240=420种.
10.解析 若选择①②③,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100.
若选择①②④,则需分两类,第一类,若甲选择4月27日出游,则三人出游的不同方法数N1=5×6=30;第二类,若甲不选择4月27日出游,则三人出游的不同方法数N2=3×4×6=72.故这三人出游的不同方法数N=N1+N2=102.
若选择①③④,则三人出游的不同方法数N=4×5×5=100.
若选择②③④,则三人出游的不同方法数N=5×5×5=125.
11.解析 由题意知正方形ABCD(边长为3个单位)的周长是12,
抛掷三次骰子后,棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12,
点数中三个数字能够使得和为12的有1、5、6,2、4、6,3、4、5,3、3、6,5、5、2,4、4、4,共6种组合.
①1、5、6,2、4、6,3、4、5这三种组合中,每一种又可以列出6种不同结果,所以有3×6=18种;
②3、3、6,5、5、2这两种组合中,每种有3种结果,所以有2×3=6种;
③组合4、4、4只有1种结果.
根据分类加法计数原理知,共有18+6+1=25种不同走法.
第一节
第二节
第三节
第四节
地理1班
化学A层
3班
地理2班
化学A层
4班
生物A层
1班
化学B层
2班
生物B层
2班
历史B层
1班
物理A层
1班
生物A层
3班
物理A层
2班
生物A层
4班
物理B层
2班
生物B层
1班
物理B层
1班
物理A层
4班
政治1班
物理A层
3班
政治2班
政治3班
4月24日
4月25日
4月26日
4月27日
4月28日
4月29日
优
优
优
优
良
良
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