数学选择性必修 第三册6.3 二项式定理免费同步训练题

这是一份数学选择性必修 第三册6.3 二项式定理免费同步训练题，共13页。试卷主要包含了2n,n∈N*的展开式的项数是，用二项式定理展开1+1x4=　等内容，欢迎下载使用。

基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.(a+b)2n,n∈N*的展开式的项数是( )
A.2nB.2n+1C.2n-1D.2(n+1)
2.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1,则S等于( )
A.(x-1)3B.(x-2)3C.x3D.(x+1)3
3.设A=37+C72×35+C74×33+C76×3,B=C71×36+C73×34+C75×32+1,则A-B的值为( )
A.128B.129C.47D.0
4.用二项式定理展开1+1x4= .
5.(2019海南海口实验中学高三上月考)3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn= (n∈N*).
题组二 二项展开式的特定项、项的系数及二项式系数
6.(2020河北石家庄高二下阶段测试)3x3-1x7的展开式中x7的系数是( )
A.5 103B.21C.-945D.945
7.(2020湖南岳阳高二上期末)若x-ax26的展开式的常数项为60,则实数a的值为( )
A.4B.2C.8D.6
8.(2020四川绵阳中学高三4月线上学习评估)(2x+a)5(其中a≠0)的展开式中,x2的系数与x3的系数相同,则实数a的值为( )
A.±12B.12C.-2D.2
9.(2020四川成都双流中学高三月考)若(1-x)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,则sinnπ-π3=( )
A.12B.12或-12C.32D.32或-32
10.(2020辽宁本溪高三下线上模拟)若x6+1xxn(n∈N*)的展开式中含有常数项,则n的最小值等于( )
A.3B.4C.5D.6
11.(2020辽宁大连高三第一次模拟)12x+2y6的展开式中x2y4的系数为 .
12.(2020山东枣庄高三上期末)x+1x6的展开式中的常数项等于 ,有理项共有 项.
13.已知2x-1xn(n∈N*)的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5.
(1)求n的值;
(2)求展开式的常数项.
题组三 赋值法求系数和
14.(2020山东济宁高二下质量检测)若x-12n(n∈N*)的展开式的第3项的二项式系数是15,则展开式的所有项系数之和为( )
A.132B.164C.-164D.1128
15.(2020山东烟台栖霞一中高二下月考)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29B.49C.39D.59
16.(2020陕西宝鸡高考模拟检测)若5x-3xn(n∈N*)的展开式的各项系数之和为32,则展开式中x的系数为 .
17.(2020山东枣庄滕州一中高二下月考)已知(1+mx)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,其中m≠0,且a6+14a3=0.
(1)求实数m的值;
(2)求a2+a4+a6+a8+a10.
能力提升练
题组一 多项式展开式中的特定项及项的系数
1.(2020山东济宁高二下质量检测,)(1-2x)7x的展开式中x2的系数为( )
A.-84B.84
C.-280D.280
2.(2020广东珠海高三教学质量检测,)(x+1)·2x-1x5的展开式的常数项为( )
A.-40B.40
C.-80D.80
3.(2020山东枣庄第三中学高二下月考,)在1+x+1x2 02010的展开式中,x2的系数为( )
A.30B.45
C.60D.90
4.(2020陕西榆林二中高三月考,)若x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为21,则实数a的值为( )
A.3B.-3
C.2D.-2
5.(2020辽宁沈阳二中高二下月考,)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a9(x-1)9,则a6=( )
A.-28B.-448
C.112D.448
6.(2019河北邯郸第一中学高三期中,)(x+2y)·(x-y)5的展开式中x3y3的系数为 .
7.(2020天津杨村第一中学高三上一模,)(a+x)(1+x)4的展开式中,若x的奇数次幂的项的系数之和为32,则a= .
题组二 赋值法求系数和
8.(2020山东济南一中高二下第二次月考,)已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+…+a7x7,若a0+a1+…+a7=0,则a3=( )
A.-5B.-20
C.15D.35
9.(2020浙江杭州高级中学高三下模拟,)已知(x+2)5(2x-5)=a0+a1x+…+a6x6,则a0= ,a5= .
10.(2020湖南长沙长郡中学高三月考,)设(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,则a1+a2+…+a10= .
11.(2019浙江杭州高考模拟,)若(x-3)3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0= ,a0+a2+…+a8= .
12.()在(2x-3y+1)5的展开式中,不含y的所有项的系数和为 (用数值作答).
13.()已知(1+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1-2a2+3a3-4a4= .
14.()已知An5=56Cn7,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求a12+a222+…+an2n的值.
题组三 二项式定理的应用
15.(2020湖南衡阳高二期末,)1.957的计算结果精确到个位的近似值为( )
A.106B.107
C.108D.109
16.(2019江西九江高二期末,)1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是( )
A.2B.1
C.86D.87
17.(2020辽宁阜新高二调研,)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 020+a能被13整除,则a=( )
A.0B.1
C.11D.12
18.(2020山东青岛莱西一中高二下期中,)求302 020被7除的余数.
答案全解全析
6.3.1 二项式定理
基础过关练
1.B 根据二项式定理可知,展开式共有2n+1项.
2.C S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1
=C30(x-1)3+C31(x-1)2+C32(x-1)+C33
=[(x-1)+1]3=x3.
3.A A-B=C70×37-C71×36+C72×35-C73×34+C74×33-C75×32+C76×31-C77×30
=(3-1)7=27=128.
4.答案 1+4x+6x2+4x3+1x4
解析 解法一:1+1x4=C401x0+C411x1+C421x2+C431x3+C441x4=1+4x+6x2+4x3+1x4.
解法二:1+1x4=1x4(x+1)4=
1x4(C40x4+C41x3+C42x2+C43x+C44x0)
=1+4x+6x2+4x3+1x4.
5.答案 4n-1
解析 3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn=Cn0+3Cn1+9Cn2+27Cn3+…+3nCnn-1=(1+3)n-1=4n-1.
6.D 3x3-1x7的展开式的通项是
Tr+1=C7r(3x3)7-r-1xr=(-1)r37-rC7rx21-7r2,
令21-7r2=7,解得r=4,所以展开式中x7的系数是(-1)437-4C74=945.故选D.
7.A x-ax26的展开式的通项为Tr+1=C6rx6-r-ax2r=(-1)rar2C6rx6-3r,
令6-3r=0,解得r=2,则常数项为(-1)2aC62=60,解得a=4.故选A.
8.D (2x+a)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-rar=25-rarC5rx5-r,
因为x2的系数与x3的系数相同,所以22a3C53=23a2C52,即4a3=8a2,又a≠0,所以a=2.故选D.
9.C ∵(1-x)n(n∈N*)的展开式的第2、3、4项的二项式系数成等差数列,
∴2Cn2=Cn1+Cn3(n≥3),解得n=7,
∴sinnπ-π3=sin7π-π3=sin2π3=32.故选C.
10.C x6+1xxn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x6)n-r1xxr=Cnrx6n-6r-32r=Cnrx6n-152r ,
令6n-152r=0 ,得n=54r.
又n∈N*,所以当r=4 时,n取得最小值5.
故选C.
11.答案 60
解析 12x+2y6的展开式的通项为Tr+1=C6r12x6-r(2y)r=22r-6C6rx6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系数为60.
12.答案 15;4
解析 x+1x6的展开式的通项为Tr+1=C6r(x)6-r1xr=C6rx6-3r2.
当6-3r2=0时,r=2,
此时常数项为C62=15.
当6-3r2为整数时,对应的项为有理项,
因为r∈N且r≤6,所以r可取0,2,4,6,故共有4项为有理项.
13.解析 2x-1xn的展开式的通项为Tr+1=Cnr(2x)n-r-1xr=(-1)r2n-rCnrxn-32r.
(1)由展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5,可得Cn1∶Cn2=2∶5,
解得n=6.
(2)由(1)知Tr+1=(-1)r26-rC6rx6-32r,
令6-32r=0,解得r=4,
所以展开式的常数项为(-1)4×26-4×C64=60.
14.B 由题意知Cn2=n(n-1)2=15,解得n=6或n=-5(舍去),故x-12n=x-126,令x=1,得所有项系数之和为126=164.
15.B 易得(1-3x)9的展开式的通项为Tr+1=C9r(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|
=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
16.答案 2 025
解析 依题意,令x=1,得(5-3)n=32,解得n=5,则该式为5x-3x5,其展开式的通项为Tr+1=C5r5x5-r(-3x12)r=55-r·(-3)r·C5rx3r2-5,
令32r-5=1,得r=4,所以x的系数为55-4×(-3)4×C54=2 025.
故答案为2 025.
17.解析 (1)(1+mx)10的展开式的通项为Tr+1=C10r(mx)r=C10rmrxr,所以a3=C103m3,a6=C106m6,
依题意得C106m6+14C103m3=0,即210m6+14×120m3=0,整理得m3(m3+8)=0,因为m≠0,所以m3=-8,所以m=-2.
(2)由(1)得m=-2,所以(1-2x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=(1-2)10=1.①
令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+a8-a9+a10=(1+2)10=310.②
①+②得2(a0+a2+a4+a6+a8+a10)=1+310,
即a0+a2+a4+a6+a8+a10=1+3102.
又a0=C100(-2)0=1,
所以a2+a4+a6+a8+a10=1+3102-1=310-12=29 524.
能力提升练
1.C 易得(1-2x)7的展开式的通项为Tk+1=(-2)kC7kxk,则(1-2x)7x的展开式的通项为(-2)kC7kxk-1,令k-1=2,得k=3,所以x2的系数为(-2)3C73=-280.故选C.
2.A 2x-1x5的展开式的通项为Tr+1=
C5r(2x)5-r-1xr=(-1)r25-rC5rx5-2r,
令5-2r=-1,得r=3,
令5-2r=0,得r=52(舍去),
所以(x+1)2x-1x5的展开式的常数项为(-1)3×22×C53=-40.故选A.
3.B 1+x+1x2 02010的展开式的通项为Tr+1=C10rx+1x2 020r,r≤10,r∈N.
x+1x2 020r的展开式的通项为Tk+1=Crkxr-2 021k,k≤r,k∈N,
令r-2 021k=2,可得r=2+2 021k,
只有k=0,r=2满足题意,
故x2的系数为C102×C20=45,
故选B.
4.A x+12x8的展开式的通项为Tr+1=C8r(x)8-r12xr=12rC8rx8-3r2 ,
令8-3r2=-12,得r=3,
此时x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为123C83a=7a,
令8-3r2=12,得r=73∉N,舍去,
所以x+12x8(ax-1)的展开式中含x12的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.故选A.
5.A 由x(x-2)8=[(x-1)+1][(x-1)-1]8知,
当第一个因式取(x-1)时,第二个因式取C83(x-1)5(-1)3,其系数为-56,
当第一个因式取1时,第二个因式取
C82(x-1)6(-1)2,其系数为28,
故a6=-56+28=-28.
故选A.
6.答案 10
解析 (x+2y)(x-y)5=(x+2y)(C50x5-C51x4y+C52x3y2-C53x2y3+C54x1y4-C55y5),
故它的展开式中x3y3的系数为-C53+2C52=10,故答案为10.
7.答案 3
解析 因为(1+x)4=1+4x+6x2+4x3+x4,所以(a+x)(1+x)4的展开式中含x的奇数次幂的项分别为4ax,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.
8.A 由题意,令x=1,可得a0+a1+…+a7=(1+1)(a-1)6=2×(a-1)6=0,解得a=1,
∴(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6=(1-x)6+x×(1-x)6,
∴展开式中x3的系数为C63(-1)3+C62(-1)2=-20+15=-5,故选A.
9.答案 -160;15
解析 令x=0,得25×(-5)=a0,即a0=-160.
a5为x5的系数,由(x+2)5(2x-5)=2x(x+2)5-5(x+2)5可知,x5的系数为C51×21×2+C50×(-5)=15,即a5=15.
10.答案 512
解析 ∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,
令x=12,得14+1×4×12-28=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
故答案为512.
11.答案 -27;-940
解析 令x=0,得(-3)3=a0,所以a0=-27.
令x=1,得(-2)3×35=a0+a1+a2+…+a8,①
令x=-1,得(-4)3×(-1)5=a0-a1+a2-…+a8,②
①+②得2(a0+a2+…+a8)=-1 880,
∴a0+a2+…+a8=-940.
12.答案 243
解析 要求(2x-3y+1)5的展开式中不含y的项,只需令y=0,所以(2x-3y+1)5的展开式中不含y的所有项的系数和为(2x+1)5的展开式中各项的系数和,令x=1,得35=243.故答案为243.
13.答案 -8
解析 等式两边同时对x求导,可得8(1+2x)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3,令x=-1,得a1-2a2+3a3-4a4=-8.
14.解析 (1)易知n≥7,n∈N.∵An5=56Cn7,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)=56×
n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)7×6×5×4×3×2×1,
整理可得(n-5)(n-6)90=1,
即n2-11n-60=0,
解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值为15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=12,可得1-2×1215=a0+a12+a222+a323+…+a15215=0,
∴a12+a222+…+a15215=-1.
15.B ∵1.957=(2-0.05)7=27-C71×26×0.05+C72×25×0.052-…-0.057≈107.21,
∴1.957≈107.故选B.
16.B 1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010=(1-90)10=(1+88)10=1+88C101+882C102+883C103+…+8810C1010=1+88(C101+88C102+882C103+…+889C1010),所以1-90C101+902C102-903C103+…+9010C1010除以88的余数是1,故选B.
17.D 因为51=52-1,所以512 020=(52-1)2 020=C2 0200522 020-C2 0201522 019+…-C2 0202 019521+1,
又因为52能被13整除,所以只需1+a能被13整除,因为a∈Z,0≤a≤13,所以a=12,故选D.
18.解析 302 020=(28+2)2 020=282 020+C2 0201×282 019×2+…+C2 0202 019×28×22 019+22 020=28×(282 019+C2 0201×282 018×2+…+C2 0202 019×22 019)+22 020,
故只需求出22 020被7除的余数即可,
因为22 020=2×8673=2×(7+1)673=2×(7673+C6731×7672+C6732×7671+…+C673672×7+1)=2×7×(7672+C6731×7671+C6732×7670+…+C673672)+2,所以余数为2.