新疆维吾尔自治区喀什第六中学2021年高三上学期期中模拟数学试题（A卷）（含答案）

绝密★启用前

2021-2022学年高三第一学期期中考试

数学A

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{x∈R|x（x﹣2）≤0}，则M∩N＝（　　）

A．{﹣1，0，1} B．{0，1}

C．{﹣2，﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0}

2．某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况，从该年级的1120名学生中随机抽取了100名学生的数学成绩，发现都在内现将这100名学生的成绩按照，分组后，得到的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．频率分布直方图中a的值为0.040 B．样本数据低于130分的频率为0.3

C．总体的中位数（保留1位小数）估计为123 D．总体分布在的频数一定与总体分布在的频数相等

3．复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．

4．已知函数的定义域为，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

5．在中，若，则的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

6．已知某几何体的一条棱的长为m，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为a与b，且，则m的最小值为（    ）

A． B． C． D．2

7．正项等比数列，，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（    ）

A．346 B．373 C．446 D．473

9．在中，，若点P是所在平面内任意一点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲、丁不相邻的不同的排法种数为

A．12 B．14 C．16 D．18

11．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

12．函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数恰有一个零点，则实数的取值集合是（          ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．不与轴重合的直线与曲线与均相切，则的斜率为___________.

14．已知向量，，，若，则实数______.

15．已知椭圆右顶点为，上顶点为，该椭圆上一点与的连线的斜率，中点为，记的斜率为，且满足.若、分别是轴、轴负半轴上的动点，且四边形的面积为2，则三角形面积的最大值是______.

16．已知，存在实数，使得对任意，，则的最小值是___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题为10分，其余各题均为12分.

17．(本题10分)随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使用的手机也越来越智能．某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了名学生进行问卷调查．经统计，有的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占．

（1）请根据以上信息完成列联表，并分析是否有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？

（2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出人，再从这人中随机抽取人，设这人中在校期间使用手机的学生人数为，求的分布列和数学期望．

参考公式：，其中．．

参考数据：

18．(本题12分)从①，，②，，③这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答．

已知数列的前项和为，，且 ____．

（1）求；

（2）已知是，的等比中项，求数列的前项和．

19．(本题12分)如图所示，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，(为大于零的常数)，为等腰直角三角形，，为的中点，，

（1）求的长，使得；

（2）在（1）的条件下，求二面角的大小.

20．(本题12分)已知椭圆，其离心率为．

（1）若，点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．

（2）是否存在过椭圆的右焦点的直线，使得其与椭圆交于，两点，线段的中点为，且满足坐标原点关于点的对称点在椭圆上．若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．

21．(本题12分)已知函数在处取得极值，．

（1）求的值与的单调区间；

（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．

22．(本题12分)若是定义在上的增函数，且对任意，满足，已知.

（1）解不等式；

（2）若，求的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数在区间上的图象.

答案解析

1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．B 11．C 12．D

13．

14．

15．

16．

17.解：（1）列联表如下：

的观测值，

所以有的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”．

（2）从学习成绩优秀的学生中按在校是否使用手机分层抽样选出人，

其中在校使用手机的学生有人，

在校不使用手机的学生有人．

可能的取值为，，，

，

，

，

的分布列为：

的数学期望为．

18．

解：（1）选条件①时，，，

整理得，

故（常数），

所以数列是以2为首项，3为公差的等差数列．

故（首项符合通项），

故．

选条件②时，，，

整理得，

故，

故数列是等差数列

公差，

故（首项符合通项），

选条件③时，

所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，

所以，

则时，．又，

所以．

（2）由（1）得：，

由于是，的等比中项，

所以，

则，

故：．

19．

平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点，

,，

由已知可得，，

，

令，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，

由题可设，

（1），，

，

，即，

，于是，

四边形为矩形，

故.

（2）设点为中点，连结，

平面，

，

而为等腰直角三角形，，平面，

为平面的一个法向量，而.

设为平面的一个法向量，而，，

又，

，即，

令，则，，

设二面角的平面角为，则

二面角的平面角为.

20．

解：（1）由题意可得，，所以，，

则椭圆的方程为．

设，，其中，因为，

因为，即，所以，

①当时，，而在椭圆上，

则，即，解得，

故此时直线的方程为；

圆的圆心到的距离为，此时直线与圆相切；

②当时，直线的方程为，

即，圆心到直线的距离，

又，，故，

此时直线与圆相切．

综上可得，直线与圆相切．

（2）由题意可得，，

故，椭圆的方程为，右焦点，

设过的直线的方程为或，

当为时，的中点即为原点，显然不满足题意；

当直线的方程为时，由可得，

则，故，

由在直线上，可得，

所以，则点关于的对称点的坐标为，

又在椭圆上，可得，

即，即，解得，

此时直线的斜率为，

21．

解：（1）由题意得的定义域为，，

函数在处取得极值，

（2），解得，

则由得或，

、、的关系如下表：

函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；

（2）由（1）得函数，

当时，对任意、，，都有，

即当，，时，，

在，上单调递减，，，，

在，上单调递减，

则，，

则，

即，解得或，结合，得，

故实数的取值范围为．

22．

（1）∵ ，∴ ，

∵，∴，

∴等价于，

又是定义在上的增函数，

∴，得.

∴原不等式的解集为.

（2）∵，∴，∴，

∵，∴ ，又在上递增，

∴.

结合函数性质可知，在区间上单调递增，

函数在区间上的图象如图所示：