数学19.3 正方形教学课件ppt

19.3 正方形

【知识与技能】

1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．

2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.

【过程与方法】

经历探索正方形有关性质、判定重要条件的过程.在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

【情感态度】

通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力．

【教学重点】

正方形的判定方法.

【教学难点】

正方形的判定方法.

一、情境导入,初步认识

1.在我们的生活中，除了平行四边形、矩形、菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？

2.出示正方形图片，学生观察它们有什么共同特征？

【教学说明】学生回答后，再举例.使学生感受生活中到处存在数学，激发其学习热情.

【归纳结论】有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

二、思考探究，获取新知

1.正方形是我们熟悉的图形，它是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？

2.正方形有哪些性质？正方形可以看成哪些图形？

【归纳结论】正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的对角线相等且互相垂直平分.

正方形可以看成是：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.

3.议一议：平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地说明吗？

【教学说明】小组交流，引导学生从角、对角线的角度归纳总结.使学生感受变化过程，更清晰地了解各种四边形之间的联系与区别.

三、运用新知，深化理解

1.如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（  ）

A.12              B.13

C.26              D.30

分析：根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数，由于图中全等三角形的对数较多，可以根据斜边长的不同确定对数，可以做到不重不漏．

解：设AB=3，图中所有三角形均为等腰直角三角形，其中，斜边长为1的有5个，它们组成10对全等三角形；

斜边长为的有6个，它们组成15对全等三角形；斜边长为2的有2个，它们组成1对全等三角形；共计26对．

故选C．

2.已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为________和________．（只写一组）

分析：首先根据正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），在坐标系内找出这两点，根据正方形各边相等，从而可以确定C，D的坐标．

解：∵正方形ABCD的点A（0，1），点B（0，0），

∴AD∥x轴，CD∥y轴，这样画出正方形，即可得出C与D的坐标，分别为：C（1，0），D（1，1）．或C(-1,0),D(-1,1).(写其中一组即可)

3.如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，求∠EAF度数.

分析：根据角平分线的判定，可得出△ABF≌△AGF，故有∠BAF=∠GAF，再证明△AGE≌△ADE，有∠GAE=∠DAE；

所以可求∠EAF=45°

解：在Rt△ABF与Rt△AGF中，

∵AB=AG，AF=AF，∠B=∠AGF=90°，

∴△ABF≌△AGF（HL），

∴∠BAF=∠GAF，

同理易得：△AGE≌△ADE，

有∠GAE=∠DAE；

即∠EAF=∠EAG+∠FAG=∠DAG+∠BAG=∠DAB=45°，

故∠EAF=45°.

4.如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．

（1）求证：DF+BE=EF；

（2）求∠EFC的度数；

分析：（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG．利用正方形的性质，证明△A′BG≌△ADF，△FAE≌△GAE，得出DF+BE=EF；

（2）根据△AGE≌△AFE及角之间的关系从而求得∠EFC的度数；

解：（1）延长EB至G，使BG=DF，连结AG

∵正方形ABCD，

∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，

∵BG=DF，

∴△ABG≌△ADF，

∴AG=AF，∠GAB=∠DAF.

∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，

∴∠FAE=∠GAE=45°，

∵AE=AE，

∴△FAE≌△GAE，

∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；

（2）∵△AGE≌△AFE，

∴∠AFE=∠AGE=75°，

∵∠DFA=90°-∠DAF=75°，

∴∠EFC=180°-∠DFA-∠AFE=180°-75°-75°=30°，

∴∠EFC=30

5.已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F.且BF=CE.

（1）求证：△ABC是等腰三角形；

（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．

分析：先利用HL判定Rt△BDF≌Rt△CDE，从而得到∠B=∠C，即△ABC是等腰三角形；

由已知可证明它是矩形，因为有一组邻边相等即可得到四边形AFDE是正方形．

（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，

∴∠BFD=∠CED=90°，

又∵BD=CD，BF=CE，

∴Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴∠B=∠C．

故△ABC是等腰三角形；

（2）解：四边形AFDE是正方形．

证明：∵∠A=90°，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴四边形AFDE是矩形，

又∵Rt△BDF≌Rt△CDE，

∴DF=DE，

∴四边形AFDE是正方形．

6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

分析：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由题意易得AO=OC.又∵△AEC是等边三角形.∴BE⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；

（2）根据有一个角是90°的菱形是正方形．由题意易得∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=2∠DAO=90°，∴四边形ABCD是正方形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC（三线合一）

∴四边形ABCD是菱形．

（2）从上易得：△AOE是直角三角形，

∴∠AED+∠EAO=90°

∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAO=60°，

∴∠AED=30°

∵∠AED=2∠EAD

∴∠EAD=15°，

∴∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°

∵四边形ABCD是菱形．

∴∠BAD=2∠DAO=90°

∴平行四边形ABCD是正方形．

【教学说明】由学生独立完成以培养学生的独立意识.

四、师生互动，课堂小结

1.师生共同回顾正方形有哪些性质？

2.师生共同回顾正方形有哪些判定定理？

3.通过本节课的学习，你还有哪些疑惑？请与同伴交流.

1.布置作业:教材“习题19.3”中第1、2、3题.

2.完成本课时对应练习.

本课虽然是学习正方形的性质和判定，实际上也是对平行四边形、矩形、菱形的复习、归纳和总结，培养了学生的发散思维能力.前边已经学习了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，正方形的判定是平行四边形、矩形、菱形的判定的综合.可以通过本节的学习，总结、归纳前面所学内容，弄清学习中存在的一些模糊概念，有助于我们发展演绎推理能力.