【专项复习】2022年中考数学专项 第3讲 实际问题与一元二次方程（含答案）学案

这是一份【专项复习】2022年中考数学专项 第3讲 实际问题与一元二次方程（含答案）学案，共6页。学案主要包含了知识导航，方法技巧，题型一 围栏靠墙，题型二 矩形中通道，题型三 边框设计，针对练习1，题型一 循环问题，题型二 增长率问题等内容，欢迎下载使用。
第3讲  实际问题与一元二次方程【知识导航】面积问题，增长率问题，传染问题，循环及握手问题，经济问题等．【板块一】面积问题【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一  围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m，墙的对面开一个1m宽的门，现有竹篱笆总长31m．(1)若要围成的鸡场面积为120m2，求鸡场的长和宽各是多少m？(2)当边AB的长为______m时，鸡场面积最大，最大面积为______ m2答案：(1)设鸡场的宽AB为xm，则BC＝(31－2x＋1)m，依题意得， x(31－2x＋1)＝120,解得x1＝6，x2＝10，由0＜31－2x＋1≤14得9≤x＜16，∴x＝10．答：长为12m，宽为10m．(2)S＝x(31－2x＋1)＝－2(x－8)2＋128，当x＝8时，S有最大值为128．【点评】矩形开口就是增加长度，要注意取值范围．【题型二  矩形中通道】【例2】如图，要设计一副宽20cm、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？答案：设横彩条的宽为2xcm，竖彩条的宽为3xcm，依题意，得：(20－2x)(30－3x)＝81%×20×30．解之，得x1＝1，x2＝19当x＝19时，2x＝38＞20，不符题意，舍去．所以x＝1答：横彩条的宽为2cm，竖彩条的宽为3cm．【题型三  边框设计】【例3】第七届世界军人运动会将于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，小郑幸运获得了一张军运会吉祥物“兵兵”的照片．如图，该照片(中间的矩形)长29cm、宽为20cm，她想为此照片配一个四条边宽度相等的镜框(阴影部分)，且镜框所占面积为照片面积的，为求镜框的宽度，他设镜框的宽度为xcm，依题意列方程得________．答案：设镜框的宽度为xcm，依题意列方程，(29＋2x)(20＋2x)＝×29×20，化简得，4x2＋98x－145＝0． 【针对练习1】1．如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为(    )cmA．1 B．1．5 C．2 D．2．5答案：B2．要为一幅长30cm、宽20cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的，则镜框边的宽度为(    )A．1cm B．2cm C．2cm D．2．5cm答案：D3．如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m2，求甬道宽．答案：设甬道宽为xm，依题意得，(32－x)(20－x)＝540，解得x1＝2，x2＝50，∵x＜20，∴x＝2答：甬道宽为2m．4．如图，一幅长20cm、宽12cm的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．答案：设横彩条的宽度为3xcm，竖彩条的宽度为2xcm．(20－4x)(12－3x)＝20×12×(1－)解得x1＝1，x2＝8．∵3x＜12，∴x＜4，∴x＝1．答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm． 5．如图，利用一面墙(墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为xm．(1)若两个鸡场总面积为96m2，求x；(2)若两个鸡场总面积和为Sm2，求S关于x的关系式；(3)两个鸡场面积和S有最大值吗？若有，最大值是多少？答案：(1)x＝8，提示：x(36－3x)＝96，x＝4或x＝8，当x＝4，AD＝24＞0，舍去；(2)S＝ AD×AB＝(36－3x)x＝－3x2＋36x(≤x≤)；(3)S＝－3x2＋36x＝－3(x－6)2＋108，当x＝6，即AB＝6时，S取得最大值108． 【板块二】循环向题、增长率问题、传染等问题1．n支球队参加单循环比赛、一共赛n(n－1)场；n支球队参加双循环比赛，一共赛n(n－1)场；2．基数A经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x，两轮后结果为A(1士x)2；3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x人，两轮后感冒人数为(1＋x)2【题型一  循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【解析】设应邀请x个球队参加比赛，依题意得，x(x－1)＝15，解得x1＝6，x2＝－5(舍去)答：应邀请6个球队参加比赛． 【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x名学生，根据题意列出方程为________．答案：x(x－1)＝1980．【题型二  增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是(    )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640答案：选D【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________答案：200(1－x)2＝98．【题型三  传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？答案：(1)设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，依题意得，1＋x＋(1＋x)x＝81，解得x1＝8，x2＝－10(舍去)∴平均一台电脑会感染8台电脑；(2)三轮感染后，(1＋x)2＝729＞700，∴被感染的电脑会超过700台  【题型四  树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？答案：设每个支干长出x个小分支，依题意得，1＋x＋x2＝73，解得x1＝8，x2＝－9(舍去)答：每个支干长出8个小分支   【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给(    )个人A．9 B．10 C．11 D．12答案：C【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为(    )A．7 B．8 C．9 D．10答案：C2．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________答案：x(x－1)＝363．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出(    )根小分支A．5 B．6 C．7 D．8答案：C4．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为(   )     A．9．5% B．20% C．10% D．11%答案：C5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________答案：12000(x＋1)2＝145206．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．答案：10【板块三】利润问题【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？答案：设售价为x元，依题意得：[x－21][100－10(x－25)]＝400，解得x1＝25，x2＝31．∵21(1＋20％)≤x≤21(1＋50％)，∴25．2≤x≤31．5，∴x＝3当x＝31时，铺售量为100－10(x－25)＝40件．故每件商品的售价为31元时，可卖出40件，每天可赚400元． 【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【解析】（1）24间（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则（30－）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，解得 ＝0.5， ＝5.答：当每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元时，该公司的年收益为275万元. 针对练习31.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现， 在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？解:设每千克水果应涨价x元，则（500 —20x)(10＋x) ＝ 6000，解得 ＝5， ＝10. 要使顾客得到实惠，应取x＝5.答：每千克应涨价5元.  2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为           （用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值                       解：（1）30－x；（2）w＝（x－20）（30－x）＝－ ＋32x－600＝－ ＋1960当x＝160时，w有最大值为1960；（3）令w＝1870，则－ ＋1960＝1870，解得 ＝130， ＝190.故当x＝130或x＝190时，利润为1870元.