【专项复习】2022年中考数学专项 第7讲 二次函数与一元二次方程（含答案）学案

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第7讲  二次函数与一元二次方程知识导航1．利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，观察一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况．2．直线与抛物线的交点的坐标与方程组的解的对应关系．3．二次函数与根与系数的关系．【板块一】二次函数与一元二次方程的关系方法技巧(1)二次函数的图象与x轴的交点横坐标，对应一元二次方程的根；(2)二次函数的图象与x轴的交点个数，对应一元二次方程根的情况． 题型一：二次函数的图象与a，b，c之间的联系例1：如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；①一元ニ次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是(     )A．1    B．2     C．3      D．4【解析】∵抛物线与x轴的一个交点在(3，0)和(4，0)之间，由对称性知另一交点在(－2，0)和(－1，0)之间，当x＝－1时，y＞0，a－b＋c＞0，故①正确；由对称轴，b＝－2a，3a＋b＝3a－2a＝a＜0故②不正确：顶点(1，n)，∴n＝，∴b2＝4ac－4an＝4a(－m)故③正确；∵抛物线与直线y＝n只有一个公共点，∴抛物线与直线y＝n＝1有两个交点，∴一元二次方程a2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根，故④正确，选C． 题型二：方程的解与交点横坐标的对应【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于A，B两点．(1)方程ax2＋bx＋c＝kx＋m的解为         ；(2)不等式ax2＋bx＋c≤kx＋m的解集为            ．【解析】(1)方程的解就是两图象交点的横坐标，即x1＝－1，x2＝2；结合图象，根据增减性可知，解集为≤－1或x≥2． 题型三：二次三项式的值恒为正(或负)的条件【例3】无论x为何值，二次三项式a2＋2(a＋1)x＋a＋的値恒为负数，则a的取值范固是(     )A．     B．     C．         D．【解析】设y＝a2＋2(a＋1)x＋a＋，值恒为负，则，即，解得，选C．针对练习11．二次函数y＝a2＋2(a＋1)x＋a＋(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b＋c＞0；④b2－4ac＞0．其中正确结论有(   B  ）A．①②③     B．①②①     C．①③①      D．②③④答案：B                                   第1题图                              第2题图2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n的图象如图所示：(1)方程ax2＋bx＋c＝mx＋n的解为：           ．(2)不等式ax2＋(b－m)x＋c－n＜0的解集为：          ．答案：（1）x1＝－2，x2＝1 （2） －2＜x＜13．二次函数y＝(m－1)x2＋2mx－1的图象都在x轴的下方，求m的取值范围．答案：解：，解得4．无论x为何值，二次根式恒有意义，求m的取值范围．答案：解：设y＝(m＋1)x2－2mx＋m＋3，则y恒为非负数，∴，即解得m≥ 板块二：函数图象的交点与解方程方法技巧联立两函数的解析式，求图象交点的坐标；交点的个数与方程的判别式有关．少题型一二次函数的图象与x轴的交点【例1】已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(    )A．k＜4      B．k≤4       C．k＜4且k≠3       D．k≤4且k≠3【解析】当k－3＝0时，该函数为一次函数y＝2x＋1，其图象与x轴有交点，当k－3≠0时，该函数为二次函数，△≥0．22－4(k－3)＝0，即k≤4且k≠3，综上，当k≤4时，函数图象与x轴有交点，故选B． 题型二：二次函数的图象与直线y＝k(k≠0)的交点例2：已知一元二次方程1－(x－3)(x＋2)＝0有两个实数根x1，x2，(x1＜x2)，则下列判断正确的是(       )A．－2＜x1＜x2＜3           D．x1＜－2＜3＜x2          C．－2＜x1＜3＜x2        D．x1＜－2＜x2＜3【解析】画出直线y＝1与ニ次函教y＝(x－3)(x＋2)的图象，由图象可知：x1＜－2＜3＜x2，故选B．【注】方程ax2＋bx＋c－k＝0的解，即函数y＝ax2＋bx＋c的图象与函数y＝k的图象的交点的横坐标．题型三：二次函数的图象与直线y＝kx＋b(k≠0)的交点【例3】直线AB:y＝x＋4与抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m＋4交于A，B两点，试判断AB的长是否发生变化?若不变，求出其值;若变化，求出其取值范围．【解析】联立，∴x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0．∴(x－m)(x－m－1)＝0，∴xA＝m，xB＝m＋1∴BH＝xA－xB＝1，AH＝yB－ yA＝(xB＋4)－(xA＋4)＝1在R△AHB中，AB＝＝，即AB的长不发生支化，其长为．题型四：分段函数与交点【例4】若函数y＝b的图象与函数y＝x2－3－4x－3的图象恰有三个交点，则b的值是6或 ．【解析】当x≥1时，y＝x2－7x，当x＜1时，y＝x2－x－6，结合图象知b＝一6或． 题型五：抛物线与直线在定区间有唯一公共点【例5】已知抛物线y＝x2－mx－3与直线y＝2x＋3m在一2＜x＜2之间有且只有一个公共点，则m的取值范围是           ．【解析】∵x2－mx－3＝2x＋3m，，x2－2x－3＝m(x＋3)，即直线y＝m(x＋3)与抛物线y＝x2－2x－3，在一2＜x＜2有唯一公共点，把(一2，5)代入y＝m(x＋3)，得m＝5，把(2，－3)代入y＝m(x＋3)，得m＝，∴≤m＜5，x2－(m＋2)x－3－3m＝0，△＝(m＋2)2＋12＋12m＝0，解得m＝－8－(舍去)，m＝－8＋，综上，≤m＜5或m＝－8＋．【注】“动抛物线＋动直线＋定区间”类问题的处理策略是特化为“定地物线＋动直线定区间”类问题解决，其中动直往经过定点．  针对练习21．已知抛物线y＝(m－1)x2－2mx＋m＋1(m＞1)．(1)求抛物线与x轴的交点坐标；(2)若一次函数y＝kx－k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．答案：(1)y＝0时，(m－1)x2－2mx＋m＋1＝0，∴(x－1)[(m－1)x－(m＋1)]＝0，∴x1＝1，x2＝，∴抛物线与x轴的交点空为(1，0)，(，0)．(2)    联立，∴(m－1)x2－(2m＋k)x＋m＋1＋k＝0，△＝(2m＋k)2－4(m－1)(m＋1＋k)＝k2＋4k＋4＝(k＋2)2＝0，∴ k＝－2，∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2．2．将二次函邮y＝2x2＋4x－6的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y＝x＋b与此图象有两个公共点时，求b的取值范围．答案：解:A(3，0)，B(1，0)，当直线过A点时，b＝，当直线经过B点时，b＝．∴，联立得，，综上，或，有两个公共点．     3．若直线y＝2x－5m与抛物线y＝x2－mx－3在0≤x≤4之间有且只有一个公共点，求m的取值范围．答案：联立得，即与直线在0≤x≤4有唯一公共点．①把（0，－3）代入得，把（4，5）代入得m＝－5，∴－5≤m＜．②当直线与抛物线“相切”时，，，∴，得，（舍），综上，－5≤m＜或．4．已知关于x的二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0），若2＜m＜3，则a的取值范围是____    ___．答案：当y＝0时，，∴（ax－1）（x＋a）＝0，∴，，当时，，当2＜－a＜3时，－3＜a＜－2，即或－3＜a＜－2．【板块三】二次函数与根与系数的关系方法技巧（1）若二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于（x1，0），（x2，0），则．（2）．题型一    抛物线截水平线段的长【例1】若点P（，c），点Q（，c）在函数的图象上，且x1＜x2，PQ＝2a，则的值为（  C  ）A．－2                B．3               C．5                D．6【解析】∵对称轴为x＝2，P（，c），Q（，c）关于直线x＝2对称，PQ＝2a，∴，，∴，故选C．【例2】抛物线交x轴于两点A（，0）B（，0）两点（x1＜x2），直线经过点A，若函数y＝y1＋y2的图象与x轴有且只有一个公共点，则线段AB的长为（  B  ）A．4                 B．8               C．12               D．16【解析】经过点A（，0），∴0，，．∵与x轴有且只有一个公共点，∴有等根，∴，∴，∴AB＝8，选B．题型二   抛物线斜线段【例3】抛物线与x轴交于A，B两点，直线与抛物线交于C，D两点，求△BCD面积的最小值． 【解析】直线，经过定点E（3，4），又B（3，0），∴，∴BE∥y轴，∴，联立得，∴，，∴≥64，∴的最小值为8，∴的最小值为16．题型三   动抛物线与动线段【例4】如图，抛物线交x轴于A，B两点，点P为第二象限抛物线上的一个动点，直线PA，PB分别交y轴于M，N两点，求OM－ON的值．【解析】∵抛物线的对称轴为y轴，∴OA＝OB，设OA＝t＝OB．∴A（－t，0），B（t，0），设PA：，PB：．联立得，∴．∴，同理，，∴．∵M（0，mt），N（0，－nt），∴OM＝－mt，ON＝－nt，∴OM－ON＝－mt－（－nt）＝nt－mt＝4，即OM－ON的值为4．针对练习31．直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点M，若MA＝MB，求k，b的值或范围．答案：过点A，B作AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，∵MA＝MB，∴△ACM≌△BDM，∴AC＝BD，∴，联立得，∴k＋2＝0，∴k＝－2，，∴b ＞ －3．2．如图，已知直线与抛物线交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，延长AD，BO相交于点E，求证：DE＝CO．答案：设A（m，），B（n，），联立，∴，∴，设OB的解析式，∴，t＝an，∴直线OB的解析式为y＝anx，当时，，∴DE＝b，∵OC＝b，∴DE＝CO．