【专项复习】2022年中考数学专项 第10讲 旋转作图（含答案）学案

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第二十三章  旋转第10讲  旋转作图知识导航旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度；选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的旋转效果.【板块一】旋转三要素方法技巧对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，同一旋转图中旋转角是相等的，根据这一性质可以画旋转图形；各对应点到旋转中心的距离相等，通过作两对对应点的中垂线，可以确定旋转中心。题型一  已知旋转中心与旋转角确定对应点【例1】如图，△ABC绕B点旋转后，点O是点A的对应点，画出△ABC旋转后的三角形.                      【解析】要画出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C '.【例2】如图，在下面的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点。已知A（－2，2），C（－1，－2），将△ABC绕着点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（   ）A.（2，－2） B.（－5，－3） C.（2，2） D.（3，－1） 答案：D .【解析】将点A右移2个单位，再下移2个单位到原点O，如图建立直角坐标系，取点D（－1，2），则△ADC为直角三角形，且AD＝1，DC＝4，将△ADC绕点C顺时针旋转90°到RtB△A'D'C，则A'D'＝1，CD'＝4.即将点C右移4个单位，然后上移1个单位，得点A'（3，－1）.      题型二 已知旋转中心及旋转角度画旋转后的图形【例3】如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为点E，试确定点B，点C，点D的对应点的位置以及旋转后的四边形。              【解析】如图，点B，C，D的对应点分别是点F，G，H，四边形EFGH是四边形ABCD绕点O旋转后得到的四边形。 题型三   已知旋转前后的图形，确定旋转中心【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A'B'C'由△ABC绕点P旋转得到，则点P坐标为          .答案：（1，－1）.【解析】连AM '，CC '，分别作它们的中垂线，两中垂线的交点为P（1，－1）.1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）.（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，则点C2的坐标为         ；（3）若△A2B2C2可以看作△ABC绕某点旋转得来，则旋转中心的坐标为          .解：（1）如图C1（1，1）；（2）如图C2（－3，3）；（3）如图，作BB2的中垂线，作CC2的中垂线，两中垂线的交点为（－3，－1），即旋转中心为（－3，－1）.【板块二】直角坐标系中画旋转图形方法技巧紧扣三要素画图，数形结合求坐标.题型一   直角坐标系中画旋转图形【例1】如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，OA＝2，∠AOB＝30°，∠ABO＝45°（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转120°后的图形；（2）求旋转变换后点B的对应点B'的坐标；【解析】（1）如图；（2）过点A作AC⊥OB于点C，可求AC＝OA＝1，OC＝，OB＝O'B＝＋1，因∠B'OB＝120°，故点B'与点B关于y轴对称，过点B作BD⊥x轴于点D，BD＝OB＝＋，OD＝BD＝＋，故点B的坐标为（＋，＋），点B'坐标为（－－，＋）. 题型二  直角坐标系中求点的坐标【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－4，0），B（0，2），点P（a，a）.若∠APB＝90°，请直接写出a的值        .答案：－1或0【解析】∵AP2＝（a＋4）2＋a2，BP2＝（a－2）2＋a2，AB2＝16＋4＝20，∠APB＝90°，∴AP2＋BP2＝AB2，即2a2＋8a＋16＋2a2－4a＋4＝20，a1＝－1，a2＝0.针对练习21.如图，已知直线y＝2x＋2与x轴，y轴分别交于点A，B，将该直线绕点B顺时针旋转45°，求旋转后所得直线的解析式.解：A（－1，0），B（0，2），过点A作AC⊥AB交旋转后的直线于点C，作CD⊥x轴于点D，∵∠ABC＝45°，∴AB＝AC，再证△AOB≌△CDA，∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，∴C（－3，1），由B（0，2），C（－3，1），可求旋转后直线的解析式为y＝x＋2. 2.已知点A的坐标为（2，4），点M为x轴上一动点，将点A绕点M（m，0）顺时针旋转90°得到点C.若点C恰好落在坐标轴上，则m＝         .    答案：2或－4解：当m＞2时，点C在第一象限，不合；当m＝2时，若点C在x轴上，AM⊥MC，故△AMC为等腰直角三角形，符合，∴m＝2；当m＜2时，点C只可能在y轴负半轴上，此时△AM2C2为等腰直角三角形，△AM1M2≌△M2OC2，M2O＝AM1＝4，m＝－4，故m＝2或－4.        【板块三】用无刻度的直尺画旋转图形方法技巧格点多边形绕格点旋转90°的整数倍后，各格点仍落在格点上，所以常构造“K型”全等寻找旋转后多边形的顶点。题型一  理解题意，确定旋转中心或旋转角度，再画图例1 如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（－1，－1），B（－3，3），C（－4，1）都是格点，点B关于y轴的对称点为点B1；（1）描出点B1，并写出点B1的坐标。（2）画出△ABC绕某格点按顺时针方向旋转n°（0＜n＜180）后得到△A1B1C1，且A，C的对应点A1，C1都在图中的格点上，写旋转中心的坐标及n的值；（3）写出线段BC与B1C1的关系。【解析】（1）画图略，B1（3，3）；（2）旋转中心的坐标为（0，0），n＝90；（3）BC⊥B1C1且BC＝B1C1.题型二  按题中所给步骤画图【例2】（2019武汉四调第20题）如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（2，1），B（5，4），C（1，8）都是格点。（1）直接写出△ABC的形状；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC统点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB；第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1；第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形；请你按步骤完成作图，并直接写出D，C1，E三点的坐标。【解析】（1）△ABC为直角三角形；（2）D（9，0），C1（7，6），E（6，－1）. 针对练习31.如图，点A（0，2），B（1，2），C（2，4）.将△ABC绕点D旋转90°得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1.（1）画出点D的位置并写出点D的坐标；（2）六个点A，B，C，A1，B1，C1中，取三点能构成直角三角形的个数有___个。解：（1）D（2，1）；（2）4.2．横，纵坐标均为整数的点叫做格点，如图，点A（1，3），B（2，0），C（0，1）都是格点．将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1（点B，C的对应点分别为B1，C1）．（1）作出△AB1C1；（2）找一个格点D，使直线BD平分四边形ACBB1的周长，画出该直线并直接写出点D的坐标．答案：（1）B1（4，4），C1（3，2）；（2）D（3，7）． 3．如图，在下列14×14的网格中，横，纵坐标均为整数的点叫做格点，例如：A（1，3），B（7，－5），C（12，5）都是格点．（1）直接写出△ABC的形状是                          ；（2）爱思考的小明探究出一种在网格中通过作图求△ABC的面积的方法：①作出AB的中点E；②将△ABC绕点E旋转锐角，使//y轴，并且点也是格点，请画出△，直接写出下列点的坐标：（    ，     ），（    ，     ），（    ，     ）；③求△ABC的面积．答案：（1）等腰三角形；（2）①作图略；②（4，4），（4，－6），（14，－1）；③50． 4．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C都在格点上．（1）△ABC的面积是            ；（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点C顺时针旋转a°得到△DEC（其中0＜a＜180），点B的对应点E落在AC所在的网格线上，操作步骤如下：第一步：取格点E，使CE＝CB＝5；第二步：取格点F，使∠FCE＝∠ACB，且CF＝5，连接EF；第三步：在射线AC上取一点N，使CN＝6，另取一点格点M，MN//EF；第四步：延长CF交MN于点D，则△DEC为所作．请你按步骤完成作图，并直接写出AD的长．答案：（1）12；（2）图略，AD＝． 5．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，点A，B，C，M均在格点上．请你在图中找到一个点P，使得AP，AC关于直线AB对称（要求仅用无刻度的直尺作图）．操作步骤如下：（1）第一步：将线段AB向上平移2个单位长度得到格点E，F（其中A，B的对应点分别为点E，F），在图中作出线段EF；（2）第二步：将△MEF绕点O顺时针旋转90°得到△FDC（其中M，F的对应点分别为F，C），在图中作出D，O两点；（3）第三步：连接CD交EF于点P，连接AP，则AP，AC关于直线AB对称，请简要说明理由．答案：（1）见答图；（2）见答图；（3）易证△MEF≌△FDC，∴CD⊥EF，∵AB//EF，∴AB⊥CP，∵FB＝CB，AB//EF，∴AB平分CP，∴AB垂直平分CP，∴AP，AC关于直线AB对称．