【专项复习】2022年中考数学专项 第23讲 相似与圆（含答案）学案

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第23讲 相似与圆
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1.垂径定理及其推论.
2.圆周角定理及其推论.
3.切线的判定及其性质.
4.切线长定理.
5.三角形相似的判定及其性质.
【板块一】 求线段比值
方法技巧
1.构造A型或X型相似求比值.
2.用等线段代换求比值.
3.利用两比值相乘求比值.
题型一 直接计算法求比值
【例1】如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且＝.
(1)求证：PD是⊙O的切线；
(2)若AD＝12，AM＝MC，求的值.

【解析】(1)略；
(2)连接CD，由(1)可知：PC＝PD，∵AM＝MC，∴AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2＋AD2＝OA2，∴R2＋122＝9R2，∴R＝3，∴OD＝3，MC＝6.∵＝＝，∴DP＝6，易得BP＝CP＝DP＝6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CDM＝90°，在Rt△BCM中，∵BC＝2DP＝12，MC＝6，∴BM＝6，可证△BCM∽△CDM，∴＝，得MD＝2，∴＝＝.

题型二 构造A型或X型相似求比值.
【例2】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D.
(1)求证：AO⊥BC；
(2)若BC＝6，AB＝3，求的值.

【解析】(1)延长AO交BC于点E，连接OB.∵OB＝OC，AB＝AC，∴点A、O均在BC的垂直平分线上，∴BE＝EC，AO⊥BC；
(2)延长CO交⊙O于点F.AE＝＝9.设AO＝x，则OE＝9－x，32＋(9－x)2＝x2，x＝5.∴FC＝2x＝10.∵BC＝6.∠FBC＝90°，∴BF＝8.可证AE∥FB.∴＝＝.

题型三 先等量代换后用三角形相似求比值
【例3】如图，AB为⊙O的直径，半径OD⊥AB，C为上－点，CD交AB于点F.若F为AO的中点，求的值.

【解析】过点D作CD的垂线交CB的延长线于点E.易证∠C＝∠DOB＝45°.
∵CD⊥DE，∴∠E＝∠C＝45°，∴CD＝DE.设OF＝AF＝1，则AO＝OD＝OB＝2，BD＝2，BF＝3.连接AD，易证∠BDE＝∠ADC＝∠ABC，△CBF∽△EDB，∴＝＝，∵DE＝CD，∴＝.
题型四 运用乘积求比值(·＝)
【例4】如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点C作AB的垂线分别交AB，AE于点H，D.若＝，AE＝4BE，求的值.

【解析】易证△ACB∽△AHC，＝＝，易证△AEB∽△AHD，＝＝4，∴·＝×4＝6，故＝6.

针对练习1
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是Rt△ABC的外接圆，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点E，BD⊥CE于点D，连接DO交BC于点M.
(1)求证：BC平分∠DBA；
(2)若＝，求的值.

解：(1)略；
(2)连接OC，则OC∥BD，∴△EBD∽△EOC，△DBM∽△OCM，∴＝，＝，∴＝，∵＝，设EA＝2k，AO＝3k，∴EB＝8k，EO＝5k，∴＝＝.

2. 如图，△ABC内接于. AH⊥BC于点H，连接OC，过点A作的切线，交CB的延长线于点E.
（1）求证：∠BAH=∠ACO；
（2）若AC=24，AH=18，OC=13，求的值.

解：（1）连接AO并延长交于点D.连接CD.易证∠BAH=∠DAC=∠ACO；
（2）连接BD. ∵AD为直径. ∴∠ACD=90.易证△ABH∽△ADC.
∴ ∴ .
可证. 又∠E=∠E
∴ ∴ .



3. 如图，以Rt△ABC斜边AB上一点O为圆心，OB为半径的圆切AC于点D，与AB交于另一点E，BC交于点F，连接OD，BD.
（1）求证：∠AOD=2∠CBD；
（2）若，求的值.

解：（1）略；
（2） 连接EF交OD于点H，设CF=.则CE=17. EF=4，
可得EH=HF=2，DH=CF=，设OH=，则OD=OE=+，
，，∴ , ∴.



4. 如图，在△ABC中，AB=AC=BC，以AB为直径作，交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F.
（1）求证：DH为的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值.

解：（1）略；
（2）设EA=AH=2，则EH=HC=4，AC=6. OD=AC=3，OD//AC得
. . 易证△FOD∽△FDB，
∴.∴.故.




【板块二】求线段长
方法技巧
1.用方程思想求线段长.
2.用全等（或相似）找线段之间的关系.
3.用特殊边角关系找线段之间的关系.

题型一 用全等找线段关系，列方程求解
【例1】如图，∠ABD=90°，AB是的直径，交AD于点C.CE∥AB交于点E，AE=2AC.AB=.求CD的长.

【解析】连接BE，BC.易证△BCA≌△AEB，
∴AE=BC=2AC.设AC=,则BC=2，AB=，=1
易证△ABC∽△ADB.∴=AC·AD.得AD=5.
∴CD=AD-AC=5-1=4.

题型二 用相似找线段关系，列方程求解
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是AC上一点，以OC为半径作与AB相切于点D，交AC于点E，OB交CD于点F.
（1）求证：OB·DE=；
（2）若，AB=10，求半径.

【解析】（1）易证=OF·OB，DE=2OF，OC=CE.
∴DE·0B，.∴OB·DE=；
（2）设OF=，则OB=5，，
∴OC=..由DE∥OB可得.
∴，.,,.

题型三 利用特殊边角关系找联系
【例3】如图，点O，E分别为△ABC的外心和内心，AB=AC，AE的延长线交于点D，交BC于点F.
（1）求证：BD=DE；
（2）若∠BAC=30°，BD=，求OE的长.

【解析】（1）连接BE，易证∠DBE=∠DEB，∴BD=DE；
（2） 连接BO.易证AF⊥BC，BF=FC.∴点O在AD上.
设BF=.∠BOF=2∠BAF=∠BAC=30°.∴OB=2BF=2，OF=，DF=.
易证△BDF∽△ADB.∴，
解得，∴OE=OD－DE=OB－BD=2－




针对练习2
1.如图，AB是的直径，点C在上，CD是的切线，AD⊥CD，垂足为D，E是AB延长线上点.CE交于点F，连接OC，AC.
（1）求证：AC平分∠DAO；
（2）连接BF，若∠DAO=105°，∠E=30°，AC=4+，求BF的长.

解：（1）略；
（2）过点O作OG⊥CE，垂足为G.易证∠C0A=75°，∠OCG=45°.
设CG=，则GF=CG=OG=.
OE=2.GE=.EF=，AE=（2+）.易证△EFB∽△EAC.
∴，，∴.





2.如图，△ABC内接于，AB是的直径，I是△ABC内一点，AI的延长线交BC于点D，交于点E，连接BE，BI，BE=EI，BI平分∠ABC，若OI⊥AE于点I，BA=，求CD的长.

解：易证∠BAE=∠CBE=∠CAE.OI⊥AE，
∴AI－EI=BE.设BE=,则AE=2，，
，，，.易证△BED∽△AEB.
∴.可得ED=，.易证△ABE∽△ADC，
，得CD= .




3. 如图，A，B，C三点在上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE//AB交弦BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE.
（1）求证：DF是的切线；
（2）连接AF交DE于点M，若AD=4，DE=5，求DM的长.

解：（1）略；
（3） 连接CD，易证△ABD≌△CBD. ∴CD=AD=4，AB=BC.
∵DE=5， ∴CE=3. EF=DE=5.
∵∠CBD=∠BDE，∴BE=DE=5.
∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8.
∴AB=BC=8. ∵DE/AB. ∴△ABF∽△MEF.
∴. ∴ME=4. ∴DM=DE－EM=1.



【板块三】求线段之积
方法技巧
1.直接法：分别求出两条线段长.
2.整体法：利用三角形相似求两条线段之积.

题型一 利用母子相似求同一直线上两条线段之积
【例1】如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，是△ABC的外接圆，AD是的直径.
（1）求证：PA是的切线；
（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，∠P=45°，CP=AP，若AG·AB=15，求CP的长。

【解析】（1）略；
（2）易证△ACG∽△ABC，得=AG·AB=15，
过点C作CM⊥AP，垂足为点M，设CP=，则AP=，
易证CM=MP=，则AM=，AC=，
∴5=15，=3，x=.故CP==.


题型二 利用射影定理求同一直线上两条线段之积
【例2】在中，，AD⊥AB交BC延长线于点D，连接AO，AB=8.
（1）求BC·BD的值；
（2）若OA=5，求CD的长.

【解析】（1）延长AO交BC于点E，易证AE⊥BC，
BE=EC=BC.易证△ABE∽△DBA，∴=BE·BD=64.
∴BC·BD=64. BC·BD=128.
（2）过.点O作OF⊥AB于点F，则AF=BF=4，OF=3，
易证△AOF∽△ABE，得BE=.BC=2BE=.由（1）知BD=. CD=BD－BC=.


题型三 利用相似求不在同一条直线上两条线段之积
【例3】如图，AB，CD都是的直径，DB的延长线与过点C的切线交于点P，CE⊥AB，垂足为点E.AD=2，求CE·CP的值.

【解析】连接BC，AC，易证四边形ADBC为矩形，∴CB=AD=2.
易证△CEB∽△CBP，得CE·CP==4.

针对练习3
1.如图.CD为的直径，AD，AB，BC分别与相切于点D，E，C（AD