【专项复习】2022年中考数学专项 第29讲 与三角函数有关的几何综合探究（含答案）学案

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第 29讲  与三角函数有关的几何综合探究在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝2AC， ，D 是 BC上一点，CD＝,O为AD的中点。（1）          如图1，延长BO交AC于点E,若n＝1,求证：CE＝2AE；（2）          如图2，连接CO，若OB⊥OC,的值及n的值；（3）          如图3，若∠BOD＝∠BAC,AC＝2,直接写出BD长。解：（1）过点D作DF∥AC交OB于点F,易证△AOE≌△DOF,DF＝AE,易证DF∥CE,DF＝CE,∴CE＝2AE(2)过O点作OG⊥BC于点G,设AC＝2,BC＝4, ∴OG＝AC＝1,设GC＝a,则BG＝4－a,∵OB⊥OC,∴,∴a(4－a)＝,∴,∴CD＝2CG＝,∴BD＝,∴,易证tan∠CBO＝tan∠COG＝;(3)过点A作BO的平行线交CB的延长线于点F，延长DC到F,使CF＝1,连接AF,则,∴△ACF∽△BCA,∴∠BAC＝∠F＝∠BOD＝∠EAD,故易证△EAD∽△EFA, ∴∵OA＝OD,OB∥AE,∴DB＝BE,设BD＝b, ∴,∴BD＝(舍负值)                2．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，DC⊥BC,点E在BC上，DE⊥AC,且DC＞CE.(1)如图1.若DC＝BC,求证：DE＝AC;（2）如图2，连接BD,若∠BDE＝45°,AB＝,BE＝,求CE的长；（3）如图3，连接BD,若tan∠BDE＝,且BE＝3CE, 求tan∠ACB.解：(1)证明略（2）过点E作EF⊥DE交BD于F,过点F作FG⊥BC交BC于点G,则△EFG≌△DEC，∴FG＝EC＝x,GE＝DC＝y,则BG＝，由tan∠ACB＝＝，由FG∥CD,得＝,即tan∠ACB＝＝，∴y＝,x＝,∴CE＝(3) 过点E作EF⊥DE交BD于F,过点F作FG⊥BC交BC于点G, 则△EFC∽△DEC，∴2FG＝EC＝2x,2GE＝DC＝2y,∵BE＝3CE,∴BE＝6x,则BC＝8x,由FG∥CD,得＝，∴＝，解得y＝，∴tan∠ACB＝ tan∠CDE＝ ＝＝.          3．如图，正方形ABCD中，P为AB上一点，PB＝NAB,过点B作PD的垂线，交直线PD于点E，AE⊥AF.(1)求证:BE＝DF(2)用含n的式子表示sin∠FAD的值；（3）若∠DFC＝90°时，直接写出sin∠FAD的值。解：(1)易证：△AEB≌△AFD，∴BE＝DF;(2)连接BD，易证∠FAD＝∠BDE＝45°－∠ADF，设AB＝AD＝1，则PB＝n,AP＝1－n,易得PD＝，易证△BEP∽△DAP,得BE＝，∵BD＝,∴sin∠FAD＝ sin∠BDE＝＝＝   4、如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A,C重合）。连接PB,过点P作PE⊥PB,交线段DC于点E,已知sin∠ACD＝,设PC＝nAC.(1)如图1，当n＝时，求证：PB＝BC;(2)如图2，用含n的式子表示tan∠PBC的值；  (3) 如图3 ，当PE平分∠BED时，直接写出n的值。 解： (1)过点B作BF⊥AC于点F,设BC＝AD＝3，则AC＝5,易得CF＝，∵CP＝nAC＝AC＝；∴PF＝CF,∵BF⊥AC,∴PB＝BC;(2)设BC＝AD＝3, 则AC＝5,,过点P作CD的垂线，分别交CD、AB于点M 、N,易证PM＝ ，PN＝3－3n,NB＝CM＝4n,∴tan∠PBC＝ tan∠BPN＝ ;(3) tan∠PED＝ tan∠PEB＝ tan∠PCB＝ ,∴,n＝.