【专项复习】2022年中考数学专项 第28讲 三角函数与双曲线、抛物线的综合（含答案）学案

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第28讲  三角函数与双曲线、抛物线的综合知识导航在平面直角坐标系中，通常需要把三角函数值放在一个至少有一边平行于坐标轴或者落在坐标轴上的直角三角形中，再运用三角函数的定义，综合已知条件解决问题. 板块一    由解析式求三角函数值方法技巧由解析式可确定关键点的坐标，再由坐标确定线段长，从而可求三角函数值.题型一 知抛物线解析式求三角函数值例1.如图，抛物线y＝a（x－2）2－1经过点C（4，3），交x轴于A，B两点，（点A在点B的左侧）.（1）顶点M的坐标为           ；（2）连接OC，CM，求tan∠OCM的值.解析（1）根据抛物线的顶点式可确定M（2,－1）；（2）设抛物线的对称轴为直线L，过点C作CE⊥L于点E，连接OM，∵O（0，0），C（4，3），∴OC2＝25，又M（2，－1），∴OM＝，∴CE＝2，EM＝4，∴CM2＝22＋42＝20，∴CM＝2，∴CM2＋OM2＝OC2，∴∠OMC＝90°，在Rt△OCM中，tan∠OCM＝＝＝，∴tan∠OCM的值为. 题型二     知反比例函数解析式求三角函数值例2.已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝的图像交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点，点P关于原点的对称点为P’，求∠P’ AO的正弦值.解析 将P（，8）代入y＝中得k2＝4，∴Q（4，1），∴PQ的解析式为：y＝－2x＋9，∴A（，0），又P’与P关于原点对称，∴P’（－，－8），过点P’作P’D⊥x轴于点D，则OD＝，∴DA＝5，P’ D＝8，∴P’ A＝＝，∴sin∠P’AO＝＝＝. 题型三  由解析式求三角函数和差积商为定值【例3】抛物线，与x轴交于A,B两点，顶点为C，点P为抛物线上一动点,且位于x轴的下方，直线PA ，PB与y轴分别交于E,F两点，当点P运动时，是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．    【解】 由抛物线 的对称性知OA＝OB, 即, 又, ,,  ∴.设，, 由得，  ∴.  同理.∴,   ∵,  ∴b＝2c－n,  ∴,即. 针对练习1.矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3,分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点F是BC边上一个动点（不与B,C重合），过点F的反比例函数的图象与边AC交于点E．连接EF，求∠EFC的正切值．    【解】∵E(4, ), ∴CF＝BC－BF＝3－＝,  又F(,3),  ∴CE＝AC－AE＝4－＝,∴.2．如图，抛物线交x轴于A,B两点，点P在第四象限的抛物线上，连接OP,BP，若∠POB＝2∠PBO，求tan∠POB的值．【解】作PH⊥x轴于H, 在x轴上截取PD＝PO, 则∠PDO＝POD, ∵∠POB＝2∠PBO，∴∠PDO＝2∠PBO, ∴∠PBD＝∠BPD, 即BD＝PD.设P(t,),  ∴ D(2t, 0),m  ∵B(1,0),  ∴BD＝1－2t, PD＝, ∵BD＝PD, 即,  ,  ,   ,∴ ,    ∴3．如图,直线交抛物线于A,B两点，交y轴于点F，求的值．【解】 由,  得,  ∴, ∵,   ,    ∴.4．如图，将抛物线向上平移b个单位得到抛物线，其顶点为P，平行于X轴的直线交, 于第四象限两点A,B，交y轴于点C，若AB＝1，求的值．【解】设A(t, ), B(t＋1, ), C(0, ),将点B坐标代入,  得,  ∴,  ∴P(0, ),∴,  , AC＝t,  BC＝t＋1，∴，  ，∴.  【板块二】  已知三角函数值求其他值利用三角函数的定义，由三角函数值得到相应两边的比，从而得到点的坐标，解决函数有关问题． 题型一  知三角函数值求反比函数的比例系数的值【例1】如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，点O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，求k的值．【解】过点C作CF⊥AO于点F, ∵,  ∴设CF＝4x， OF＝3x， ∴CO＝AO＝5x，∵四边形OABC为菱形， ∴, 即，  ∴， , ,  ∴点C的坐标为(,),  ∴.题型二  知三角函数值求抛物线的解析式【例2】如图，抛物线的顶点为P(l)求证：点P在某条定直线上，并写出该直线的解析式；(2)将抛物线进行平移，若此时该抛物线与x轴交于点A ,B, ，求平移后的解析式.【解】(l)∵，  ∴顶点P(m，－m－3)，∴点P在直线y＝－x－3上.(2) 过点P作PH⊥x轴于点H, ∵, 又PH＝m＋3, ∴AH＝,  ∴A(,0),将点A代入,  得,   ∴,∴(舍), ,  ∴平移后的抛物线解析式为. 题型三 知三角函数值求点的坐标【例3】抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两一点.(1)若OA＝20B，求ak的值；(2)在(1)的条件下，若OA＝2，点C为第二象限的抛物线上一点，若,求点C的坐标.【解】(1)∵B(0,k), OA＝2OB,  ∴A(2k,0), 把A代入, 得,  ∴；(2) ∵OA＝2, ∴OB＝1, ∴A(－2,0), B(0,1),  ∴,  ∵tan∠ACH＝2,  tan∠ABO＝2, ∴∠ACH＝∠ABO, 延长CA交y轴于点D,  过点B作BE⊥AD于点E,∴OB＝BE＝1,  ∵△AOD∽△BED,  ∴,   设BD＝t,  AD＝2t,   又,∴ ,   ∴(舍),  ,  ∴OD＝,  ∴D(0,－),   ∴AC的解析式为,   由,  得点C的坐标(－,). 题型四   知三角函数值求线段之比【例4】如图，已知等边三角形OAB与反比例函数的图象交于A,B两点．将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为__________.(已知）【解】 过点O作OM⊥AB于点M, 则AM＝BM,  ∠AOM＝∠BOM＝30°, ∴A,B两点关于直线OM对称,又∵A,B两点在反比例函数的图象上, 且图象关于直线y＝x对称,  ∴直线OM的解析式为y＝x,∴∠BOD＝45°－30°＝15°. 过点B作BF⊥x轴于点F, 过点C作CN⊥x轴于点N, ，∵∠BOC＝60°, ∠BOD＝15°,∴∠CON＝45°,  ∴CN＝ON, 设CN＝x， 则CO＝，∴OB＝， ∴， ∴BF＝，易证， △BDF∽△CDN, ∴. 1.如图，在Rt△AOB中，两直角边OA ,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△，若反比例函数的图象恰好经过斜边的中点C, , tan∠BA0＝2，则k的值为______________ ．【答】24 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点0是线段CH的中点，AC＝，cos∠ACH＝，点B的坐标为（4，n），求该反比例函数和一次函数的解析式．【解】∵AH⊥x轴于点H, AC＝,  ,  ∴,  解得HC＝4,∵点O是线段CH的中点,  ∴HO＝CO＝2,  ∴AH＝,  ∴A(－2,8),  ∴反比例函数解析式为,   ∴B(4,－4),  设一次函数解析式为,  则,解得,   ∴一次函数为. 3．已知反比例函数（k是为常数）,设点P(m，n)(m＞0)是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，若tan∠POM＝2，PO＝（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式的解集．【解】∵点P(m,n) 在反比例函数图象上, m＞0, n＜0, ∴OM＝m, PM＝－n, ∵, ∴－n＝2m,  又∵PO＝, ∴,  即, ∴m＝1, n＝－2,∴P(1,－2),  ∴,  ∴k＝±1.①当k＝－1时,  不等式的解集为或；②当k＝1时,  不等式的解集为.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,1)，抛物线上存在一点B，使得tan∠AOB＝，求点B的坐标．   【解】过点A作AE⊥OA交OB于点E, AC⊥x轴于点C, 点E作ED⊥CA交CA延长线于点D,则△AED∽△OAC, ∴,  ∴.又∵A(2,1), ∴OC＝2, AC＝1, ∴DE＝,  AD＝,  ∴E(,),  ∴直线OE的解析式为y＝x，由， 得B(1,1).5．已知抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）,交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MH⊥x轴于点H，tan∠MOH＝2．(l)求此抛物线的解析式；(2)过点H的直线与y轴相交于点P，过O,M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E,F，若，求点P的坐标．【解】 (1)M为抛物线的顶点， M(2,c)， OH＝2,  MH＝， ∵a＜0， MH＝c，∴,∴, c＝4， ∴M(2,4),  ∴.(2) ∵OE⊥PH, MF⊥PH, MH⊥OH, ∴∠EHO＝∠FMH, ∠OEH＝∠HFM, ∴△OEH∽△HFM,  ∴,,  MF＝HF,  ∴∠OHP＝∠FHM＝45°,  ∴OP＝OH＝2,  ∴P(0,2),当点P在y轴负半轴上, 同理可得P(0,－2),综上点P的坐标为(0,2) 或(0,－2)． 6．如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，问抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．【解】 过点A作AD⊥AC交CP的延长线于点D, 过点D作DH⊥x轴于点H,∵,  ∴,   ,  ∵△AOC∽△DHA,  ∴,∵OC＝2,  OA＝1,  ∴AH＝4, DH＝2,  ∴D(5,2),   ∴CD∥x轴,  ∴P(3,2).