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    6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例练习题

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用免费达标测试

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用免费达标测试,共14页。
    6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例基础过关练题组一 平面几何中的向量方法         1.已知A,B,C是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),ABC的形状为(  )A.直角(非等腰)三角形B.等腰(非等边)三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确2.在直角三角形ABC,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,=(  )A.2 B.4 C.5 D.103.已知OABC所在平面内的一点,(+)·=(+)·=(+)·=0,则点OABC(  )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心4.已知点PABC所在的平面内,2+3+4=3, PABPBC的面积的比值为    . 5.已知正方形ABCD,EF分别是CDAD的中点,BECF交于点P,连接AP.用向量法证明: (1)BECF;(2)AP=AB.       题组二 向量在物理中的应用举例6.某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(  )A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.7.(2020山东济南高三下模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10 N/kg,1.732)(  )A.63 kg B.69 kg C.75 kg D.81 kg8.一条渔船距对岸4 km,2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为(  )A.2 km/h B.2 km/hC. km/h D.3 km/h9.一个物体同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8 m,已知|F1|=2 N,方向为北偏东30°,|F2|=4 N,方向为北偏东60°,|F3|=6 N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为(  )A.24 J B.24 J C.24 J D.24 J10.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.(1)请说明|F1||F2|随角θ的变化而变化的情况;(2)|F1|2|G|,求角θ的取值范围.       能力提升练题组一 平面几何中的向量方法                 1.()已知PABC所在平面上一点,|-|-|+-2|=0,ABC的形状是(  )A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形2.(2019湖南岳阳一中高一期末,)ABC内部一点M任作一条直线EF,ADEFD,BEEFE,CFEFF,++=0,则点MABC(  )A.三条高的交点B.三条中线的交点C.三边中垂线的交点D.三个内角平分线的交点3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a=,=a-b,=a+b.OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,AOB的面积是    . 4.()如图,已知ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,ADDB=BEEC=21,AE,CD交于点P,APC的面积为    cm2. 5.(2020河南新乡高一上期末,)在平行四边形ABCD,AB=2,BC=,B=30°,E,F分别在边BC,CD(不与端点重合),=,·的取值范围为    . 6.()如图,ABC,BAC=120°,AB=AC=3,D在线段BC,BD=DC.:(1)AD的长;(2)DAC的大小.     题组二 向量在物理中的应用举例7.(2019广东惠州高一期中,)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40 m/s,则鹰的飞行速率为(  )A. m/s B. m/sC. m/s D. m/s8.()一条两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度为2 m/s,为使所走路程最短,小船应朝    的方向行驶. 9.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,F在小车位移上的投影向量为    ,F做的功为    . 10.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,v1v2的夹角为θ(0°<θ<180°).(1)cos θ多大时,船能垂直到达对岸?(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?        答案全解全析基础过关练1.C 由题意,=(3,-1),=(-1,-3),·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,||=||=,ABC为等腰直角三角形.2.D =====-6=42-6=10.3.A 由已知得(+)·(-)=(+)·(-)=(+)·(-)=0,-=-=-=0,所以||=||=||,所以点OABC的外心.故选A.4.答案  解析 2+3+4=3,2+3+4=3(-),5=-4,P在线段AC,||=||.PABPBC分别以PA,PC为底时,高相同,PABPBC的面积的比值为=.5.证明 如图,建立平面直角坐标系xOy,不妨设AB=2,A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),·=-1×(-2)+2×(-1)=0,,BECF.(2)P(x,y),=(x,y-1),=(x-2,y),(1)=(-2,-1),=(-1,2),,-x=-2(y-1),x=2y-2.同理,,y=-2x+4.联立①②,解得P,.=2+2=4=,||=||,AP=AB.6.B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.7.B 设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为m kg,mg=|F1+F2|===400692.8,可得m69 kg.故选B.8.A 如图,A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4 km,实际航程AC=8 km,BCA=30°,|vAB|=2 km/h,|vAC|=4 km/h,|vBC|=2 km/h,故选A.9.D 如图,以正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以合力F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).由题意得,位移s=(4,4),故合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=6×4=24(J).故选D.10.解析 画出物体的受力分析图,如图.(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=,|F2|=|G|·tan θ.当角θ趋向于90°,|F1||F2|都逐渐增大.(2)|F1|=2|G|,cos θ.θ<90°,θ60°,θ的取值范围是θ60°.能力提升练1.B PABC所在平面上一点,|-|-|+-2|=0,||-|(-)+(-)|=0,||=|+|,|-|=|+|,两边平方并化简得·=0,,A=90°,ABC是直角三角形.无法判断ABC是不是等腰三角形.故选B.2.B 根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0,+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,EF经过A点时,EFBC边上的中线,EF经过B点时,EFAC边上的中线,因此,MABC的三条中线的交点,故选B.3.答案 1解析 ,·=(a-b)·(a+b)=0,a2-b2=0,|a|=|b|,||=||,|a-b|=|a+b|,a2+b2-2a·b=a2+b2+2a·b,a·b=0,|a|=1,ab是互相垂直的单位向量,||=||=,SOAB=||×||=1.4.答案 4解析 =a,=b,a,b为一组基底,=+=a+b,=+=a+b.A,P,E与点D,P,C分别共线,存在实数λμ,使a+λb,=μab.=+=ab,解得SPAB=SABC=14×=8 cm2,SPBC=14×=2 cm2,SAPC=14-8-2=4 cm2.5.答案 -,1解析 B为坐标原点,BC所在直线为x,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,A(,1).=可设BE=tBC=t,CF=tCD=2t(0<t<1),E(t,0),F(+t,t),=(t-,-1),=(t,t-1),·=t·(t-)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-2-,0<t<1,t=,·有最小值,-;t无限趋近于0,·无限趋近于1.·的取值范围为-,1.6.解析 (1)=a,=b,=+=+=+(-)=+=a+b.||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos 120°+×9=3,AD=(负值舍去).(2)DAC=θ(0°<θ<120°),θ的夹角.cos θ=====0,θ=90°,DAC=90°.7.C 如图所示,设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,|v2|=40 m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成30°角向下,所以|v1|== m/s.8.答案 与水速成120°解析 如图,为使小船所走路程最短,v+v应与岸垂直.|v|=||=1,|v|=||=2,ADC=90°,所以CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.9.答案 25e;1 000 J解析 |F|=50,F与小车的位移方向的夹角为60°,F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°e=25e.F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F做的功W=25×40=1 000(J).10.解析 (1)船垂直到达对岸,v1+v2v2垂直,(v1+v2)·v2=0.所以v1·v2+=0,|v1||v2|cos θ+|v2|2=0,所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-.(2)设船航行到对岸所需的时间为t,t===(h).故当θ=90°,船的航行时间最短, h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的. 

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