高中数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第1课时免费当堂达标检测题

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6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理、正弦定理
基础过关练
题组一　余弦定理　　　 　　　　　 　　　　　
1.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=1,c=2,cos B=12,则b=(　　)
A.2 B.3 C.2 D.3
2.在△ABC中,|BC|=3,|CA|=5,|AB|=7,则CB·CA的值为(　　)
A.-32 B.32 C.-152 D.152
3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是(　　)
A.150° B.90°
C.135° D.120°
4.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若(a-b-c)(a-b+c)+ab=0且sin A=12,则B=(　　)
A.π2 B.π3
C.π4 D.π6
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=10,b=15,A=30°,则此三角形(　　)
A.无解 B.有一个解
C.有两个解 D.解的个数不确定
6.(2020福建厦门双十中学高三上期中)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=60°,c=8,a=b+2,那么△ABC的周长等于(　　)
A.12 B.20 C.26 D.103
7.(2020山东济宁高一上期末)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则cos∠BAC=(　　)
A.31010 B.1010
C.-1010 D.-31010
8.(2019山东菏泽一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=-24,则b的值为　　　　. 
9.在△ABC中,abca2+b2+c2cosAa+cosBb+cosCc=　　　　. 
10.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为　　　　. 
11.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,且∠DAC=90°,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3.求BD的长.









12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=3,b=2,2cos2 A+B2-cos 2C=1.
(1)求C的大小;
(2)求cb的值.







题组二　正弦定理
13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.下列关系式中一定成立的是(　　)
A.a>bsin A B.a=bsin A
C.aπ,不合题意.故选A.
5.C　由a2=b2+c2-2bccos A,得102=152+c2-2×15×ccos 30°,∴c2-153c+125=0,解得c=153±572∈(5,25),
∴c有两解,即△ABC有两个解,故选C.
6.B　根据cos A=b2+c2-a22bc及已知得12=b2+64-(b+2)216b,解得b=5,所以a=b+2=7,所以△ABC的周长等于7+5+8=20.故选B.
7.C　设BC边上的高为AD,则BC=3AD,又知B=π4,所以AD=BD,所以DC=2AD,所以AC=AD2+DC2=5AD,AB=2AD.在△ABC中,由余弦定理的推论,知cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=2AD2+5AD2-9AD22×2AD×5AD=-1010,故选C.
8.答案　1
解析　由余弦定理的推论可得cos A=b2+c2-a22bc=b2+2-422b=-24,整理得b2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去).
9.答案　12
解析　原式=abca2+b2+c2·
bccosA+accosB+abcosCabc=
bcb2+c2-a22bc+aca2+c2-b22ac+aba2+b2-c22aba2+b2+c2=a2+b2+c22(a2+b2+c2)=12.
10.答案　7
解析　由余弦定理的推论及已知得cos A=AB2+AC2-BC22·AB·AC=92+82-722×9×8=23.设AC边上的中线长为x,由余弦定理,得x2=AC22+AB2-2·AC2·ABcos A=42+92-2×4×9×23=49,所以x=7(负值舍去).所以AC边上的中线长为7.
11.解析　∵∠DAC=90°,
∴sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)=cos∠BAD,
∴cos∠BAD=223.
在△ABD中,由余弦定理,得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,即BD2=18+9-2×32×3×223=3,∴BD=3.
12.解析　(1)∵在△ABC中,2cos2A+B2-cos 2C=1,∴2sin2 C2-cos 2C=1,
∴cos 2C+1-2sin2 C2=cos 2C+cos C=0,
∴2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去).
又∵0