高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试免费练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试免费练习，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本章达标检测
(满分:150分;时间:120分钟)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.在▱ABCD中,设AB=a,BC=b,点E为对角线BD上靠近点D的一个五等分点,AE的延长线交CD于点F,则AF+BF=(　　)
A.14a-b B.-12a+2b
C.-34a+12b D.-2a+34b
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积S=13(a2+c2-b2),则tan B的值为(　　)
A.43 B.1
C.32 D.2
3.如图,在圆C中弦AB的长度为6,则AC·AB=(　　)

A.6 B.12
C.18 D.无法确定
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinBsinC=12,(a2-3b2)cos C=CA·CB,则角C=(　　)
A.π6 B.π3
C.π3或π2 D.π6或π2
5.已知|OA|=|OB|=1,∠AOB=60°,OC=λOA+μOB,其中实数λ,μ满足1≤λ+μ≤2,λ≥0,μ≥0,则点C所形成的平面区域的面积为(　　)
A.3 B.334
C.32 D.34
6.设θ为两个非零向量a,b的夹角,已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1,下列说法正确的是(　　)
A.若θ确定,则|a|唯一确定
B.若θ确定,则|b|唯一确定
C.若|a|确定,则θ唯一确定
D.若|b|确定,则θ唯一确定
7.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B-bcos A=35c,则tan(A-B)的最大值为(　　)
A.43 B.1
C.34 D.3
8.在△ABC中,E,F分别为AB,AC上的点,且满足AE=2EB,AF=2FC,P为EF上任一点,实数x,y满足PA+xPB+yPC=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记SiS=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取到最大值时,x,y的值分别为(　　)
A.0,2 B.1,2
C.1,1 D.2,1
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.如图,已知点O为正六边形ABCDEF的中心,下列结论中正确的是(　　)

A.OA+OC+OB=0
B.(OA-AF)·(EF-DC)=0
C.(OA·AF)BC=OA(AF·BC)
D.|OF+OD|=|FA+OD-CB|
10.已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B=π3,a+c=3b,则ac=(　　)
A.2 B.3
C.12 D.13
11.下列说法错误的是(　　)
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6
C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向
D.若向量a≠b,则a与b一定不是共线向量
12.下列命题中正确的是(　　)
A.已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a与b的夹角为5π6
B.若a,b,c是平面内三个非零向量,则(a·b)c=a(b·c)
C.若a=(sin θ,1+cosθ),b=(1,1-cosθ),其中θ∈π,3π2,则a⊥b
D.若O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈(0,+∞),则直线AP一定经过△ABC的内心
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a与b的夹角为　　　,向量a+b与a的夹角为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分) 
14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取C,D两点,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为　　　　. 

15.已知△ABC中,a=6,给出下列结论:
①若b=10,A=π3,则B的值唯一;
②若A=π6,则S△ABC有最大值;
③若b+c=10,则cos A的最小值为725.
其中正确结论的序号为　　　　　　. 
16.如图放置的正方形ABCD,AB=1,A,D分别在x轴、y轴的正半轴(含原点)上滑动,则OB·OC的最大值为　　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在①cos A=35,cos C=255,②csin C=sin A+bsin B,B=60°,③c=2,cos A=18三个条件中任选一个作为下面问题的条件,并加以解答.
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=3,　　　　(填序号),求△ABC的面积S. 
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.








18.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos A=ccos A+acos C.
(1)求A的大小;
(2)若AB·AC=32,b+c=4,求a的值.






19.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,D为BC的中点,O为外心,点M满足OA+OB+OC=OM.
(1)证明:AM=2OD;
(2)若|BA+BC|=|AC|=6,设AD与OM相交于点P,E,F关于点P对称,且|EF|=2,求AE·CF的取值范围.





20.(本小题满分12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的中线AD=m,且a2+2bc=4m2.
(1)求∠BAC;
(2)若a=4,求△ABC的周长的取值范围.






21.(本小题满分12分)已知向量a=(sin x,cos x),b=sinx-π6,sinx,函数f(x)=2a·b,g(x)=fπ4x.
(1)求f(x)在π2,π上的最值,并求出相应的x的值;
(2)计算g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2 014)的值;
(3)已知t∈R,讨论g(x)在[t,t+2]上零点的个数.






22.(本小题满分12分)如图,M为△ABC的中线AD的中点,过点M的直线分别交AB,AC两边于点P,Q(异于点A),设AP=xAB,AQ=yAC,记x,y的关系式为y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设△APQ的面积为S1,△ABC的面积为S2,且S1=kS2,求实数k的取值范围.
(参考:三角形的面积等于两边长与这两边夹角的正弦值的乘积的一半)
















答案全解全析
一、单项选择题
1.B　易得△DEF∽△BEA,所以DFAB=DEBE=14,所以DF=14AB,所以AF=AD+DF=BC-14BA,BF=BC+CF=BC+34BA,
所以AF+BF=BC-14BA+BC+34BA
=2BC-12AB=-12a+2b.
2.A　由S=12acsin B,cos B=a2+c2-b22ac,S=13(a2+c2-b2),可得12acsin B=23accos B,整理,得sin B=43cos B,
因此,tan B=43.故选A.
3.C　如图所示,取线段AB的中点D,连接CD,则CD⊥AB,所以|AC|·cos A=|AD|=12|AB|,所以AC·AB=|AC|·|AB|·cos A=12|AB|2=18.故选C.

4.C　若sinBsinC=12,则bc=12,即c=2b.
由(a2-3b2)cos C=CA·CB,
可得(a2-3b2)cos C=abcos C,
所以cos C=0或a2-3b2=ab.
若cos C=0,则C=π2;
若a2-3b2=ab,则cos C=a2+b2-c22ab=a2-3b22ab=ab2ab=12,则C=π3.
故选C.
5.B　作OP=2OA,OQ=2OB,OC与线段AB交于D,如图.

设OC=xOD,因为OC=λOA+μOB,λ≥0,μ≥0,所以点C在∠QOP内部(包含边界),
根据共线向量定理有OD=mOA+nOB,m+n=1,
所以OC=xOD=xmOA+xnOB,m+n=1,
又OC=λOA+μOB,所以λ=xm,μ=xn,
因为1≤λ+μ≤2,即1≤xm+xn≤2,
所以1≤x≤2,所以点C所在区域为梯形APQB内部(含边界),
S梯形APQB=S△OPQ-S△OAB=12×2×2×sin 60°-12×1×1×sin 60°=334.故选B.
6.B　|b+ta|2=b2+2ta·b+t2a2=|a|2t2+2|a|·|b|cos θ·t+|b|2.
因为|b+ta|min=1,
所以4|a|2·|b|2-4|a|2·|b|2cos2θ4|a|2
=|b|2(1-cos2θ)=1.
所以|b|2sin2θ=1,所以|b|sin θ=1,即|b|=1sinθ.所以若θ确定,则|b|唯一确定.
故选B.
7.C　∵acos B-bcos A=35c,
∴结合正弦定理与sin C=sin(A+B),
可得sin Acos B-sin Bcos A=35(sin Acos B+cos Asin B),
整理,得sin Acos B=4sin Bcos A,两边同除以cos Acos B,得tan A=4tan B,
由此可得tan(A-B)=tanA-tanB1+tanAtanB=3tanB1+4tan2B=31tanB+4tanB,
∵A,B是三角形的内角,且tan A与tan B同号,∴A,B都是锐角,即tan A>0,tan B>0,
∴tan(A-B)=31tanB+4tanB≤34,当且仅当1tanB=4tan B,即tan B=12时,tan(A-B)取得最大值34,故选C.
8.C　由题意可得EF∥BC,∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的13,可得S1=13S,则S2+S3=23S,λ2+λ3=23.由此可得λ2·λ3≤λ2+λ322=19,当且仅当λ2=λ3=13,即S2=S3,P为EF的中点时,等号成立.延长AP交BC于点D,则D为BC的中点,AP=2PD=PB+PC,∴PA+PB+PC=0.又PA+xPB+yPC=0,∴根据平面向量基本定理,得x=y=1.故当λ2·λ3取到最大值时,x,y的值分别为1,1,故选C.

二、多项选择题
9.BC　设正六边形ABCDEF的边长为1.
对于A选项,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴四边形OABC为菱形,
∴OA+OC=OB,∴OA+OC+OB=2OB≠0,
∴A错误;
对于B选项,(OA-AF)·(EF-DC)=(EF-AF)·(EF+AF)=EF2-AF2=0,∴B正确;
对于C选项,(OA·AF)BC=1×1×cos 120°×BC=-12BC=12OA,OA(AF·BC)=OA×1×1×cos 60°=12OA,∴C正确;
对于D选项,|OF+OD|=|OE|=1,
|FA+OD-CB|=|FA+OD+AO|=|FA+AD|=|FD|=3,
∴|OF+OD|≠|FA+OD-CB|,∴D错误.
故选BC.
10.AC　∵B=π3,a+c=3b,
∴(a+c)2=a2+c2+2ac=3b2,①
由余弦定理可得,a2+c2-2accos π3=b2,②
联立①②,可得2a2-5ac+2c2=0,
即2ac2-5ac+2=0,
解得ac=2或ac=12.故选AC.
11.AD　对于A,如果a,c都是非零向量,b=0,显然满足已知条件,但是结论不一定成立,所以A中说法错误;
如图,D,E分别是AC,BC的中点,

若2OA+OB+3OC=0,则2(OA+OC)+(OB+OC)=0,即4OD+2OE=0,OE=-2OD,所以O,D,E三点共线,
所以OD=16AB,则S△AOC∶S△ABC=1∶6,所以B中说法正确;
两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向,所以C中说法正确;
若向量a≠b,则a与b可能是共线向量,比如它们为相反向量,所以D中说法错误.故选AD.
12.CD　对于A选项,设a,b的夹角为θ,
∵b⊥(a+2b),∴b·(a+2b)=a·b+2b2=0,
∴|a|·|b|cos θ+2|b|2=0,∵|a|=4|b|,
∴4|b|2cos θ+2|b|2=0,∴cos θ=-12,
∵θ∈[0,π],∴θ=2π3,∴A错误.
对于B选项,设a·b=λ,b·c=t,λ,t∈R,
则(a·b)c=a(b·c)⇔λc=ta,
∵a,c均为任意向量,∴λc=ta不一定成立,∴B错误.
对于C选项,∵θ∈π,3π2,∴sin θ6,∴△ABC无解,①错误;
对于②,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,
得36=b2+c2-3bc≥(2-3)bc,
∴bc≤362-3=36(2+3),
当且仅当b=c时,等号成立,
∴S△ABC=12bcsin A=14bc≤9(2+3),
∴S△ABC有最大值,②正确;
对于③,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=(b+c)2-2bc-a22bc=32bc-1,
又∵bc≤b+c22=25,当且仅当b=c时,等号成立,
∴cos A≥3225-1=725,∴③正确.故填②③.
16.答案　2
解析　设∠DAO=θ,则∠BAx=π2-θ,
∴OA=cos θ,OD=sin θ,
∴点B的坐标为(cos θ+sin θ,cos θ).
过点C作y轴的垂线CE,E为垂足,则∠CDE=θ,
由此可得点C的坐标为(sin θ,cos θ+sin θ),∴OB·OC=(cos θ+sin θ)sin θ+cos θ(cos θ+sin θ)=sin2θ+cos2θ+2sin θ·cos θ=1+sin 2θ≤2,当且仅当θ=π4时,等号成立.
故OB·OC的最大值为2.
四、解答题
17.解析　若选①:∵cos A=35,cos C=255,
∴sin A=45,sin C=55,(2分)
∴sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=45×255+35×55=11525,(5分)
由正弦定理可得b=asinBsinA=3×1152545=33520,(8分)
∴S=12absin C=12×3×33520×55=9940.(10分)
若选②:∵csin C=sin A+bsin B,
∴由正弦定理可得c2=a+b2,(3分)
∵a=3,∴b2=c2-3,(5分)
又∵B=60°,∴b2=c2+9-2×3×c×12=c2-3,∴c=4,(8分)
∴S=12acsin B=33.(10分)
若选③:∵c=2,cos A=18,
∴由余弦定理可得18=b2+22-322b×2,(3分)
即b2-b2-5=0,解得b=52或b=-2(舍去).(6分)
易得sin A=378,(8分)
∴△ABC的面积S=12bcsin A=12×52×2×378=15716.(10分)
18.解析　(1)∵2bcos A=ccos A+acos C,
∴2sin Bcos A=sin Ccos A+sin Acos C,(2分)
2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B,(4分)
∵sin B≠0,∴cos A=12,(5分)
又∵A∈(0,π),∴A=π3.(6分)
(2)∵AB·AC=32,∴|AB||AC|cos A=32,∴bccos A=32,∴bc=3,(8分)
∴a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-2bc-bc=16-9=7.(11分)
∴a=7(负值舍去).(12分)
19.解析　(1)证明:由题意得AM=OM-OA=OB+OC=2OD.(4分)
(2)解法一:由|BA+BC|=|AC|=6,得
|BA+BC|=|BC-BA|⇒BA·BC=0⇒∠ABC=90°,(5分)
此时O为AC的中点,M与B重合,P为△ABC的重心,(6分)
所以|PO|=13|BO|=1,(8分)
所以AE·CF=(AP+PE)·(CP+PF)
=AP·CP+AP·PF+PE·CP+PE·PF
=|PO|2-|AO|2+PF·(AP-CP)-1
=-9+PF·AC
=-9+6cos∈[-15,-3].(12分)
解法二:由|BA+BC|=|AC|=6,得
|BA+BC|=|BC-BA|⇒BA·BC=0⇒∠ABC=90°,(5分)
此时O为AC的中点,M与B重合,P为△ABC的重心.(6分)
建立如图所示的平面直角坐标系,

设A(0,a),C(c,0),则Pc3,a3,
且a2+c2=36,(7分)
设E(x0,y0),则F2c3-x0,2a3-y0,则有
AE=(x0,y0-a),CF=-c3-x0,2a3-y0,且x0-c32+y0-a32=1.(9分)
设x0=c3+cos θ,y0=a3+sin θ,θ∈[0,2π],
则AE·CF=x0-c3-x0+(y0-a)·2a3-y0=c3+cosθ-2c3-cosθ+-2a3+sinθa3-sinθ=-29(a2+c2)-1+asin θ-ccos θ=-9+a2+c2sin(θ-φ)=-9+6sin(θ-φ)∈[-15,-3],其中cos φ=aa2+c2,sin φ=ca2+c2.(12分)
20.解析　(1)在△ABD中,c2=m2+14a2-macos∠ADB.
在△ACD中,b2=m2+14a2-macos∠ADC.(2分)
∵∠ADB+∠ADC=π,
∴cos∠ADB+cos∠ADC=0,
∴b2+c2=2m2+12a2,∴m2=12(b2+c2)-14a2.(4分)
∵a2+2bc=4m2,∴a2+2bc=2b2+2c2-a2,即b2+c2-a2=bc,
∴cos∠BAC=b2+c2-a22bc=12.
∵0