人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试免费课时训练

专题强化练2　余弦定理、正弦定理的综合应用

一、选择题　　　 　　　　　 　　　　　

1.()若钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=(　　)

A.5 B. C.2 D.1

2.()若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积S==,则sin B=(　　)

A. B. C. D.

3.()在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且BC边上的高为a,则+的最大值为(　　)

A.8 B.6 C.3 D.4

4.(2020广西大学附属中学高三月考,)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若sin(A+C)=,则tan C+的最小值为(　　)

A. B.2 C.1 D.2

二、填空题

5.(2020山东泰安高三上期末,)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若+=,b2+c2-a2=bc,则tan B=　　　　. 

6.(2020北京清华大学附属中学高三下统练,)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b=4,给出下列说法:

①若c=,则角C有两个解;

②若·=12,则AC边上的高为3;

③a+c不可能等于9.

其中正确说法的序号是　　　　. 

7.()在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若|-|=3,·=6,则△ABC面积的最大值为　　　　. 

8.(2020安徽合肥高三模拟,)在锐角△ABC中,BC=2,sin B+sin C=2sin A,则中线AD的取值范围是　　　　. 

三、解答题

9.(2020安徽黄山高一期末,)几千年的沧桑沉淀,凝练了黄山的美,清幽秀丽的自然风光,文化底蕴厚重的旅游环境.自明清以来,文人雅士,群贤毕至,旅人游子,纷至沓来,使黄山成为江南的旅游热点.如图,游客从黄山风景区的景点A处下山至C处有两处路径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A乘景区观光车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从A乘观光车到B,在B处停留20分钟后,再从B匀速步行到C.假设观光车匀速直线运行的速度为250米/分钟,山路AC长为2 340米,经测量,cos A=,cos C=.

(1)求观光车路线AB的长;

(2)乙出发多少分钟后,乙在观光车上与甲的距离最短?

10.(2020四川遂宁高一期末,)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C.

(1)求A;

(2)从下列条件:①a=;②S△ABC=中任选一个作为已知条件,求△ABC周长的取值范围.

答案全解全析

一、选择题

1.B　由题意得,AB·BC·sin B=×1×sin B=,∴sin B=,∴B=或B=.当B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2+2=5,∴AC=(负值舍去),此时△ABC为钝角三角形,符合题意;当B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=1+2-2=1,∴AC=1(负值舍去),此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=.

2.D　∵S=,∴absin C=,即sin C=cos C,∴C=.

∵S=,∴bcsin A=,由正弦定理得sin Bsin Csin A=,

即sin Bsin C=,∴sin B=.故选D.

3.D　∵BC边上的高为a,

∴S△ABC=a×a=bcsin A,

∴a2=2bcsin A,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得2bcsin A=b2+c2-2bccos A,整理得,=2sin A+2cos A,即+=4sin.

∵A∈(0,π),∴A+∈,

∴当A+=,即A=时,

4sin有最大值,为4.

∴+的最大值为4.

4.A　因为sin(A+C)=,即sin B=,

所以sin B=,因为sin B≠0,

所以b2=c2+ac,由余弦定理得,

c2+ac=a2+c2-2accos B,即a-2ccos B=c,

再由正弦定理得sin A-2sin Ccos B=sin C,

因为sin A-2sin Ccos B=sin(B+C)-2sin C·cos B=sin(B-C),所以sin(B-C)=sin C,

所以B-C=C或B-C+C=π,所以B=2C或B=π(舍去).

因为△ABC是锐角三角形,

所以得<C<,

所以tan C∈,

所以tan C+=tan C+≥,

当且仅当tan C=时取等号.故选A.

二、填空题

5.答案　4

解析　∵b2+c2-a2=bc,

∴由余弦定理得b2+c2-a2=2bccos A=bc,

∴cos A=,sin A==.

∵+=,

∴由正弦定理得+=,

∴+=1,∴tan B=4.

6.答案　②③

解析　对于①,当c=时,c<b,∴C<B,角C只有1个解,①错误.

对于②,∵·=12,∴ac·cos B=ac·cos 60°=ac=12,∴ac=24.

∴ac·sin B=×24×=6.

设AC边上的高为h,

则bh=×4h=6,解得h=3,②正确.

对于③,b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-2ac·cos 60°=a2+c2-ac=16,∴a2+c2=16+ac,

∵a2+c2≥2ac(当且仅当a=c时取等号),

∴16+ac≥2ac,∴ac≤16,

∴(a+c)2=a2+c2+2ac=3ac+16≤3×16+16=64,

∴a+c≤8<9,即a+c不可能等于9,③正确.

综上,正确说法的序号是②③.

7.答案　

解析　∵|-|=3,∴||=3,即c=3.

∵·=6,∴abcos C=6,∴cos C=.

由余弦定理得9=a2+b2-2abcos C=a2+b2-12≥2ab-12,∴ab≤(当且仅当a=b时取等号).

∴S△ABC=absin C=ab

=ab=

=≤

=.故△ABC面积的最大值为.

8.答案　

解析　设AB=c,AC=b,BC=a=2,根据正弦定理及sin B+sin C=2sin A,得b+c=2a=4,

∴c=4-b.

∵△ABC为锐角三角形,

∴解得<b<.

故bc=b(4-b)=-b2+4b,结合二次函数的性质,得<bc≤4.

∵=(+),∴||

=

=

==,

∵<bc≤4,∴≤<,即AD的取值范围为.

三、解答题

9.解析　(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=,

从而sin B=sin[π-(A+C)]

=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.

由正弦定理得=,

所以AB=×sin C=×=2 000(m),

所以观光车路线AB的长为2 000 m.

(2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客的距离为d m,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A处250t m,

由余弦定理得d2=(100+50t)2+(250t)2-2×250t×(100+50t)×=1 000(41t2-38t+10)=1 000.

因为0≤t≤,即0≤t≤8,

所以当t= min时,甲、乙两游客的距离最短.

10.解析　(1)因为(b-a)(sin B+sin A)=(b-c)sin C,

所以由正弦定理得(b-a)(b+a)=(b-c)c,

即b2+c2-a2=bc,

由余弦定理得cos A==,

又A∈(0,π),

所以A=.

(2)选择①a=.

由正弦定理得===2,

所以△ABC的周长l=2sin B+2sin C+=2sin B+2sin+=3sin B+cos B+=2sin+,

因为B∈,

所以<B+<,

<sin≤1,

所以2<2sin+≤3,

即△ABC周长的取值范围为(2,3].

选择②S△ABC=.

由S△ABC=bcsin A=bc=,得bc=4.

由余弦定理得a2=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12,

所以△ABC的周长l=a+b+c=+b+c,

因为b+c≥2=4,

当且仅当b=c=2时,等号成立,

所以l=a+b+c≥+4=6,

即△ABC周长的取值范围为[6,+∞).