高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积随堂练习题，共20页。

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积　　　　 　　　　　 　　　　　
1.(2019湖南长沙雅礼中学高一上期末)圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为(　　)
A.π B.3π C.2π D.4π
2.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为(　　)
A.81π B.100π C.168π D.169π
3.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为(　　)
A.120° B.150° C.180° D.240°
4.(2020湖南长沙一中高一上第二次阶段性考试)已知圆锥的母线长为5,高为4,则这个圆锥的表面积为(　　)
A.21π B.24π C.33π D.39π
5.(2020重庆南开中学高二上期末)已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为(　　)
A.2+14 B.2+13 C.22 D.13
6.(2019上海大学附属中学高二下期中)若一圆柱的侧面积为6π,则经过圆柱的轴的截面的面积为　　　　. 

题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积
7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是162π,则圆锥的体积是(　　)
A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π
8.(2020四川乐山十校高二上期中联考)圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是(　　)
A.233π B.23π C.736π D.733π
9.(2019福建莆田一中高一下期中)若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为　　　　. 
10.(2020湖南长沙一中高一上期中)如图所示的圆锥SO中,母线长为4,且其侧面积为8π,则该圆锥的体积为　　　　. 

题组三　球的表面积和体积
11.(2020浙江舟山高二上期末)半径为2的球的表面积是(　　)
A.16π3 B.32π3 C.16π D.32π
12.(2019湖南常德高一下期末)已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为(　　)
A.1∶3 B.1∶3 C.1∶9 D.1∶27
13.(2019河南濮阳高一下期末)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为(　　)
A.100π3 B.208π3 C.500π3 D.4163π3
14.(2019重庆永川高二下期末)64个直径都为a4的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则(　　)
A.V甲>V乙且S甲>S乙 B.V甲 C.V甲=V乙且S甲>S乙 D.V甲=V乙且S甲=S乙
题组四　简单组合体的表面积和体积
15.某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为3,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为(　　)

A.20 B.43+12
C.16 D.43+8
16.(2020安徽铜陵高二上期末)直角梯形ABCD如图放置,已知∠C=∠D=90°,CD=2,BC=3,AD=4.现将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成几何体.求这个几何体的体积.


能力提升练　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)圆锥的高h和底面半径r之比为2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为(　　)
A.185π B.9(1+25)π
C.95π D.9(1+5)π
2.(2020福建高三下月考,)已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为(　　)
A.8∶53 B.4∶53
C.23∶5 D.4∶113
3.(2019山东潍坊高二下期末,)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为5π,则该圆锥的体积为(　　)
A.13π B.23π
C.2π D.163π
4.(2019重庆八中高二下期中,)南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造,其最著名的成就是祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱体和一个长方体,它们的底面面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱体的体积为4π,则根据祖暅原理可推断圆柱体的高(　　)
A.有最小值π B.有最大值π
C.有最小值4π D.有最大值4π
5.(2020浙江宁波余姚中学高二上期中,)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积是　　　　;若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是　　　　. 
6.(2020福建南平高一上期中,)用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为　　　　. 
7.(2020上海高三模拟,)某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24π cm,高为30 cm,圆锥的母线长为20 cm.
(1)求这种“笼具”的体积(π≈3.14,结果精确到0.1 cm3);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?(π≈3.14,结果精确到1元)


8.(2020辽宁葫芦岛高一期末,)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2,求:
(1)圆台的高;
(2)圆台的体积;
(3)截得此圆台的圆锥的表面积.深度解析






9.(2019上海行知中学高二下期中,)如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.





题组二　球的表面积和体积
10.(2019福建龙岩一级达标校高一下期末,)一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为(　　)
A.1∶3 B.3∶1
C.2∶3 D.3∶2
11.(2019广东东莞高三上期末调研,)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆的圆心)的侧面积与底面积的比是2∶1,则圆锥SD与它的外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为(　　)
A.9∶32 B.8∶27
C.9∶22 D.9∶28
12.(2020河南三门峡高一上期末,)麻团又叫煎堆,呈球形,北方地区称麻团,是一种古老的传统特色油炸面食.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒的上、下底、侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576 cm2,则一个麻团的体积为(　　)

A.36π cm3 B.48π cm3
C.24π cm3 D.72π cm3
13.(2020重庆八中高二上月考,)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何体,就是圆柱容器里放了一个球,这个球“顶天立地”,四周碰边,如图,若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1,圆柱的表面积和体积分别为S2和V2,则(　　)

A.S1S2 C.S1S2>V1V2 D.S1S2与V1V2的大小关系不确定
14.()已知球、母线长和直径相等的圆柱、正方体的体积依次为V1,V2,V3,若它们的表面积相等,则V12∶V22∶V32=(　　)
A.6∶2∶π B.3∶2∶π
C.6∶4∶π D.3∶2∶π
题组三　简单组合体的表面积和体积
15.(2020四川成都树德中学高三上月考,)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为π∶4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为(　　)
A.16 B.163
C.163 D.32
16.(2020山西高二上期中联考,)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为(　　)

A.0,3S10π B.3S10π,+∞
C.S5π,3S10π D.3S10π,S2π
17.(2019黑龙江牡丹江一中高一下期末,),如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,则该几何体的体积是(　　)

A.7π B.9π
C.11π D.13π
18. (2020辽宁省实验中学高三上月考,)已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为8的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为3的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为　　　　. 

答案全解全析
基础过关练
1.D　因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积S=2π×12+π×2×1=4π.
故选D.
2.C　圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l=h2+(R-r)2=(4r)2+(3r)2=5r=10,所以r=2,R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
故选C.

3.A　设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πrl+πr2=4πr2,∴l=3r,
∴圆锥的侧面展开图的圆心角为2πrl=2π3=120°.故选A.
4.B　由题意得,圆锥的底面半径为52-42=3,则底面圆的周长为6π,所以圆锥的侧面积是12×6π×5=15π,又底面积为9π,
所以表面积为15π+9π=24π.故选B.
5.A　设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为2r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,
圆锥的表面积为12·2πr·2r+πr2=(2+1)πr2,
所以圆锥和圆柱的表面积之比为(2+1)πr24πr2=2+14.故选A.
6.答案　6
解析　设圆柱的底面半径为r,高为h,则6π=2πrh,即rh=3,因此圆柱的轴截面的面积为2rh=6.
7.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形,
∴2r=l2+l2,
即l=2r.
由题意得,S侧=πrl=2πr2=162π,解得
r=4,
∴l=42,h=l2-r2=4,
∴圆锥的体积为13×π×42×4=64π3.
故选A.
8.D　由于圆台的上、下底面面积分别是π,4π,故上、下底面半径分别为1,2.
设圆台的母线长为l,高为h.
由圆台的侧面积公式可得π×(2+1)l=6π,则圆台的母线长l=2,圆台的高h=22-12=3,
∴这个圆台的体积V=13×π×3×(4+1+2)=733π.故选D.
9.答案　3∶4
解析　设圆柱与圆锥的底面半径分别为r,R,高均为h,
则2rh=12×2Rh,∴R=2r,
∴圆柱和圆锥的体积之比为πr2h13πR2h=πr2h13π×4r2h=34.
10.答案　83π3
解析　设圆锥底面圆的半径为r,则12·2πr·4=8π,解得r=2,
∴|SO|=42-22=23,
∴圆锥的体积为13πr2·|SO|=13π×4×23=83π3.
11.C　由球的表面积公式可得S=4πR2=16π.故选C.
12.D　设两个球的半径分别为R1,R2.
由题意知,19=4πR124πR22,∴R1R2=13,
∴两个球的体积之比为43πR1343πR23=133=127,故选D.
13.C　如图,过球心O作OO'垂直圆面于O',连接O与圆面上一点A,
则OA=42+32=5,
故球的体积V=43π×53=500π3.故选C.

14.C　V甲=64×43π×a83=πa36,S甲=64×4π×a82=4πa2,V乙=43π×a23=πa36,S乙=4π×a22=πa2.
故V甲=V乙且S甲>S乙,故选C.
15.A　由题意得,正四棱锥P-EFGH的斜高为3+1=2,故该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4×12×2×2=20.故选A.
16.解析　旋转后的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体.该几何体的体积为4π×3+13π×4×1=403π.
能力提升练
1.D　由题意得,h=2r.设圆锥的母线长为l.
∵圆锥的体积V=18π,即13πr2h=2πr33=18π,解得r=3,∴h=6,
∴l=h2+r2=62+32=35,
∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=π×3×35+π×32=9(1+5)π.故选D.
2.A　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h1,则πr2=12×12×2πr·l,所以l=2r,所以圆锥的高h1=3r,圆锥的体积为13πr2h1=33πr3.
由题意知,圆柱的底面半径为r2,设圆柱的高为h2.
因为圆锥与圆柱的表面积相等,所以3πr2=2πr22+2π×r2×h2,解得h2=52r,
所以圆柱的体积为πr22h2=58πr3.
所以圆锥与圆柱的体积之比为33πr358πr3=853,故选A.
3.B　设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则高为2R,母线长l=(2R)2+R2=5R,
又S侧=πRl=5πR2=5π,所以R=1,
所以圆锥的体积为13×πR2×2R=23π.故选B.
4.C　由题意得,长方体的体积为4π.
设圆柱的高为h,长方体的底面相邻两边长分别为x,y,则x+y=2,
xy≤x+y22=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴h=4πxy≥4π.故选C.
5.答案　2π;4∶3
解析　设圆柱的底面半径为r,则2πr=2,故r=1π,
又圆柱的高为2,所以圆柱的体积为π×1π2×2=2π.
设圆锥的底面半径为r,则底面周长为2πr,故展开后的扇形弧长为2πr,
又扇形圆心角为120°=23π,半径为1,故2πr1=23π,所以r=13,故圆锥的侧面积为12×1×2π×13=π3,表面积为π3+π×132=49π.
故表面积与侧面积的比是49ππ3=43.
6.答案　163π2
解析　由题意得,圆柱的底面圆的周长为2R.设圆柱的底面圆的半径为r1,则2πr1=2R,即r1=Rπ.
又圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为πr12×2R=2R3π.
由题意得,圆锥的底面圆的周长为πR.
设圆锥的底面圆的半径为r2,则2πr2=πR,即r2=R2,所以圆锥的高为R2-r22=32R,
所以圆锥的体积为13πr22×32R=3πR324.
所以圆柱与圆锥的体积之比为2R3π3πR324=163π2.
7.解析　设圆柱的底面半径为r cm,圆锥的高为h1 cm.
(1)由题意得,2πr=24π,所以r=12,h1=202-122=16,
所以“笼具”的体积为30πr2-13πr2h1=3 552π≈11 158.9 cm3.
(2)圆柱的侧面积为2πr×30=720π cm2,圆柱的底面积为πr2=144π cm2,
圆锥的侧面积为πr×20=240π cm2,
所以“笼具”的表面积为720π+144π+240π=1 104π cm2,
故制作50个“笼具”共需1 104π×50×8104=1 104π25≈139元.
8.解析　(1)圆台的轴截面示意图如图所示:

过点D作DH⊥AB于H.
因为圆台的上底面面积为4π cm2,
所以上底面圆的半径DG=2 cm.
因为圆台的下底面面积为25π cm2,
所以下底面圆的半径BE=5 cm,
所以BH=5-2=3 cm,所以圆台的高DH=DB2-BH2=144-9=315 cm.
(2)圆台的体积为13×DH×(4π+25π+4π×25π)=13×315×39π=3915π cm3.
(3)设圆锥的母线长为l',圆台的母线长为l,则l'-ll'=DGBE=25,所以l'=20 cm,
所以圆锥的表面积为25π+π×5×20=125π cm2.
解题反思
求解圆台的有关问题时,画出圆台的轴截面示意图是关键,求解圆台所在的圆锥的有关问题时,可将圆台轴截面示意图中的两条母线延长相交于一点,根据比例关系求解相关值.
9.解析　(1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,
圆柱的体积为π×12×2=2π.
(2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC'的位置,使其与平面PAB共面,且C'在AB的反向延长线上.此时C'D与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.

∵PA=AB=2,∴∠PBA=π4,BD=12BP=2,又BC'=BA+AC'=2+1=3,
∴在△C'BD中,由余弦定理得C'D=32+(2)2-2×3×2×22=5,
∴CE+ED的最小值为5.
10.D　设圆柱的底面半径为r,轴截面正方形的边长为a,则a=2r,
所以圆柱的侧面积为2πra=4πr2.
设与圆柱侧面积相等的球的半径为R,则球的表面积为4πR2=4πr2,解得R=r.
因此圆柱的体积为πr2×a=2πr3,球的体积为43πR3=43πr3.
所以圆柱的体积与球的体积之比为32.
11.A　设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则侧面积为πrl,
所以侧面积与底面积的比为πrlπr2=lr=2,所以l=2r,h=l2-r2=3r,
所以圆锥的体积为13πr2h=33πr3.
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图,则OB=OS=R,OD=h-R=3r-R,
BD=r.
在直角三角形BOD中,由勾股定理得
OB2=OD2+BD2,即R2=r2+(3r-R)2,
整理,得R=23r,所以外接球的体积为43πR3=43π×833r3=32πr393.
故所求体积比为33πr332πr393=932.故选A.

12.A　设麻团的半径为r cm.
因为麻团与长方体纸盒的上、下底、侧面都相切,
所以长方体的长为4r cm,宽为4r cm,高为2r cm.
又长方体的表面积为576 cm2,所以32r2+16r2+16r2=576,解得r=3,故麻团的体积为43πr3=36π(cm3).
13.B　设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
∴V2=πR2×2R=2πR3,V1=43πR3,S2=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S1=4πR2,
∴V1V2=43πR32πR3=23,
S1S2=4πR26πR2=23,
∴S1S2=V1V2.故选B.
14.C　设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,正方体的棱长为a.
由它们的表面积相等,得4πR2=6πr2=6a2,则R2∶r2∶a2=14π∶16π∶16,
所以V12∶V22∶V32=43πR32∶(2πr3)2∶(a3)2=6∶4∶π.故选C.
15.C　因为正方体的棱长为2,
所以其内切球的半径r=1,
所以V球=43π×13=43π,
又V球V牟合方盖=π4,
所以V牟合方盖=4π×43π=163,
故选C.
16.D　设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=S2-πR2,
所以V=23πR3+πR2h=23πR3+S2-πR2R=-π3R3+S2R≤43πR3,
解得R≥3S10π.
又h>0,所以S2-πR2>0,解得R 所以3S10π≤R 17.A　原空间几何体如图所示.

该几何体的体积为43π×23×12×34+13π×22×3×34=7π.故选A.
18.答案　16963π
解析　由题得三个球是平放在一起的,三个球的球心O1,O2,O3组成一个边长为23的等边三角形,其中心为O″,所以O1O″=(23)2-(3)2×23=2.
由题得圆台的高为23,其轴截面如图所示,

由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x,则BM=x,
在直角三角形ABG中,(x+2)2=(23)2+(2-x)2,所以x=32,
所以下底面的半径为2+32=72,
所以圆台的体积为1342π+722π+42π·722π×23=16963π.
故答案为16963π.