高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试同步测试题

专题强化练4　空间几何体的内切球和外接球

一、选择题　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020内蒙古呼和浩特第二中学高一上期末,)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,AB=2,AA1=4,则球O的表面积为(　　)

A. B.32π

C.64π D.

2.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高一上期末,)如图,正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长都等于2,则它的外接球的表面积为(　　)

A.16π B.12π

C.8π D.4π

3.(2020安徽合肥六校联盟高二上期末,)已知圆锥的底面半径为3,母线长为5,球O与圆锥的底面和侧面均相切,设球O的体积为V1,圆锥的体积为V2,则=(　　)

A. B.

C. D.

4.()设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(　　)

A.12 B.18

C.24 D.54

5.()在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是(深度解析)

A.4π B.

C.6π D.

6.(2020江西高安中学高一上期中,)已知球O是正三棱锥A-BCD的外接球,BC=3,侧棱AB=2,点E在线段BD上,且BD=3BE,过点E作球O的截面,则所得截面圆面积的取值范围是(　　)

A. B.[2π,4π]

C. D.

二、填空题

7.(2020湖南郴州高一上期末,)如图所示,边长为2的正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2,G2G3的中点,沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个三棱锥S-EFG,使G1、G2、G3三点重合,重合后记为G,则三棱锥S-EFG的外接球的表面积为　　　　. 

8.(2020安徽合肥高三一模,)如图,已知四棱锥P-ABCD的外接球O的体积为36π,PA=3,侧棱PA与底面ABCD垂直,四边形ABCD为矩形,点M在球O的表面上运动,则四棱锥M-ABCD体积的最大值为　　　　. 

9.(2020广东中山第一中学高一上第二次段考,)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为12 cm,该纸片上的正方形ABCD的中心为O,E,F,G,H为圆O上的点,△ABE,△BCF,△CDG,△ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF,△CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合,得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时,该四棱锥的外接球的表面积为　　　　. 

10.(2020广东广州白云高三下模拟,)将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为2,则r的最大值为　　　　. 

答案全解全析

一、选择题

1.D　过球心O作底面ABC的垂线,垂足为O',易知OO'=2,O'A=××2=.

由球的截面的性质可得OA2=OO'2+O'A2,

所以OA==,

所以球O的表面积S=4π·OA2=.

故选D.

2.A　设正四棱锥外接球的球心为O,半径为R,正四棱锥底面的中心为O1,则O在正四棱锥的高PO1上.在直角三角形ABC中,AC=AB=×2=4,所以AO1=2,

所以正四棱锥的高PO1====2,

因为PO1=AO1,所以O与O1重合,即正四棱锥外接球的球心是底面的中心O1,且球的半径R=2,故球的表面积S=4πR2=16π.故选A.

3.B　该几何体的轴截面如图所示,设球O的半径为r.易得圆锥的高为=4,故S△SAB=×6×4=×(5+5+6)r,解得r=,

故V1=π×r3=π,V2=π×32×4=12π,故=×=.

4.B　设△ABC的边长为a,则S△ABC=a·a·sin 60°=9,解得a=6(负值舍去).设△ABC的外接圆半径为r,则2r=,得r=2,则球心到平面ABC的距离为=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6=18,故选B.

5.B　易得AC=10.设△ABC的内切圆的半径为r,则×6×8=×(6+8+10)×r,所以r=2,因为2r=4>3,所以当球与三棱柱的上、下底面相切时,体积最大,所以最大球的直径为3,则半径R=,

此时球的体积V=πR3=.故选B.

解题反思

要使球的体积取最大值,该球的半径应取到最大值,即该球与三棱柱内切,因此需要讨论底面三角形内切圆直径与三棱柱高的关系,从而确定出球半径的最大值.

6.B　设△BCD的中心为O1,球O的半径为R,连接AO1,则O在AO1上.连接O1D,OD,O1E,OE,如图,

则O1D=3×sin 60°×=,AO1===3.

在Rt△OO1D中,R2=3+(3-R)2,解得R=2.

∵BD=3BE,∴DE=2.

在△DEO1中,

O1E==1,

∴OE===.

过点E作球O的截面,当截面与OE垂直时,截面圆的面积最小,此时,截面圆的半径为=,面积为2π;当截面过球心时,截面圆的面积最大,最大面积为4π,故选B.

二、填空题

7.答案　6π

解析　设三棱锥S-EFG外接球的半径为R.

由题意可知,SG⊥EG,SG⊥GF,GE⊥GF,

所以将三棱锥S-EFG补成如图所示的长方体,它们有同一外接球,因为SG=2,GE=GF=1,

所以外接球的直径2R==,

即R=.

所以三棱锥S-EFG的外接球的表面积S=4πR2=6π.

8.答案　

解析　设球O的半径为R,则πR3=36π,故R=3.

由题易知PA,AB,AD两两垂直,所以将四棱锥P-ABCD补成长方体,可知外接球的直径为长方体的体对角线,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,且c=3,因为a2+b2+32=62,所以a2+b2=27,又a2+b2≥2ab,所以ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立.要使得四棱锥M-ABCD的体积最大,只需点M为平面ABCD的中心O'与球心O所在的直线与球的交点(点M、O'在球心O两侧),

又OO'===,

所以四棱锥M-ABCD体积的最大值为××=.

9.答案　 cm2

解析　如图1,连接OE交AB于点I.

图1

设正方形的边长为x cm(x>0),则OI= cm,IE= cm.

因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍,所以4××=2x2,解得x=8.

设E,F,G,H重合于点P,该四棱锥的外接球的球心为Q,如图2,

图2

易知OC=4 cm,PC=EA==4 cm,所以OP==4 cm.

设外接球的半径为R cm,

则R2=+,解得R=,

所以外接球的表面积S=4π×=π(cm2).

10.答案　1

解析　如图1,设△BCD的中心为O1,则其外接球球心O在AO1上,连接OD,O1D.

图1

O1D=×CD×=2,AO1==4,设外接球的半径为R,则R2=+D,解得R=3.设正四面体A-BCD内切球的半径为r1,根据等体积法可得r1×××sin 60°×4=×××sin 60°×4,故r1=1,

根据题意R=3≥3r,r≤r1,所以r≤1.

设OO1与外接球球面相交于点Q,如图所示,画出截面图,O1Q=R-OO1=2≥2r,故r≤1.

综上所述,r≤1,故r的最大值为1.

图2